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1、新編高考數學復習資料 g3.1031數列與函數的極限（2） 一、知識回顧 1、函數的極限 1） 當x→∞時函數f(x)的極限: ；； 當自變量x取正值并且無限增大時,如果函數f(x)無限趨近于一個常數a,就說當x趨向于正無窮大時, 函數f(x)的極限是a,記作,(或x→+∞時,f(x)→a) 當自變量x取負值并且無限增大時,如果函數f(x)無限趨近于一個常數a,就說當x趨向于負無窮大時, 函數f(x)的極限是a,記作,(或x→-∞時,f(x)→a) 注：自變量x→+∞和x→-∞都是單方向的，而x→∞是雙向的，故有以下等價命題 令，分別求 2） 當x→x0時函

2、數f(x)的極限: ； ； 如果當x從點x=x0左側（即x＜x0）無限趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于常數a。就說a是函數f(x)的左極限，記作。 如果當x從點x=x0右側（即x＞x0）無限趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于常數a。就說a是函數f(x)的右極限，記作。 注：1與函數f（x）在點x0處是否有定義及是否等于f（x0）都無關。 2。并且可作為一個判斷函數在一點處有無極限的重要工具。 注：極限不存在的三種形態(tài)：①左極限不等于右極限；②時，，③時，的值不唯一。 4）函數極限的運算法則： 若，，那么；； ；；。 注：以上規(guī)則對于x→∞的情況仍然成立。 5）兩個

3、重要的極限：；和一個法則：羅必塔法則： 2、函數的連續(xù)性 (1)函數連續(xù)性的概念: ①如果函數f(x)在x=x0處及其附近有定義,而且,就說函數f(x)在x=x0處連續(xù)。 注：函數f(x)在x=x0處連續(xù)必須具備三個條件：Ⅰ）函數f(x)在x=x0處及其附近有定義；Ⅱ）函數f(x)在x=x0處有極限；Ⅲ）函數f(x)在x=x0處的極限值等于這一點處的函數值f(x0)。 ②右連續(xù)（或左連續(xù)）：如果函數f(x)在x=x0處及其右側（或左側）有定義，而且（或）。 ③若函數f(x)在(a,b)內每一點都連續(xù),且在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。 注：函數f(

4、x)在(a,b)內連續(xù)，只要求在(a,b)內每一點都連續(xù)即可，對在端點處是否連續(xù)不要求。 (2)函數連續(xù)性的運算: ①若f(x)，g(x)都在點x0處連續(xù)，則f(x)±g(x)，f(x)?g(x)，(g(x)≠0)也在點x0處連續(xù)。 ②若u(x)都在點x0處連續(xù)，且f(u)在u0=u(x0)處連續(xù),則復合函數f[u(x)]在點x0處連續(xù)。 (3)初等函數的連續(xù)性: ①基本初等函數（指數函數，對數函數，三角函數等）在定義域里每一點處都連續(xù)。 ②基本初等函數及常數經過有限次四則運送所得到的函數，都是初等函數，初等函數在其定義域里每一點處的極限都等于該點的函數值。 （3） 圖甲表

5、示的是f(x)在點x0處的左、右極限存在但不相等，即不存在 圖乙表示的是f(x)在點x0處的左極限存在、右極限不存在，也屬于不存在 圖丙表示的是存在，但函數f(x)在點x0處沒有定義 圖丁表示的是存在，但它不等于函數f(x)在點x0處的函數值。 注意：函數f(x)在x=x0處連續(xù)與函數f(x)在x=x0處有極限的聯系與區(qū)別?！斑B續(xù)必有極限，有極限未必連續(xù)?！? 二、基本訓練 1、是函數在點xo處存在極限的（　　） （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 2、m<0,n>0時，的值是（ ） （A）

6、 （B）0 （C）1 （D） 3、（ ） （A）0 （B） （C）－ （D）不存在 4、的值為（ ） （A）1 （B）0 （C）－1 （D）±1 5、f(x)=下面結論正確的是（ ） （A） （B）2 ，不存在 （C）0， 不存在 （D）≠ 6.（05江西卷）8． A．－1 B．1 C．－ D． 7.(05遼寧卷)極限存在是函數在點處連續(xù)

7、的 A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件 8.（1）指出下列函數的不連續(xù)點： ①； ②； ③ （2）已知，確定常數a，使存在。 三、例題分析 例1：判斷下列函數的極限是否存在： （1） （2） （3） （4）， 例2：設 ，問a，b為何值時，存在。 例3：求下列各極限 (1)()； (2) () (3)； (4) (5) 例4：利用連續(xù)函數的圖象特征，判斷方程：是否存在實數根。 例5：已知求 例6：為多項式，且，求。 答案

8、：基本訓練 1—7、CBBCB CB 例1（1）不存在， （2）不存在， （3）存在， （4）不存在， 例2、當b=2，a為任何實數時，存在。 例3.(1) (2) (3)不存在 (4) （5）時，不存在。 例4解：設，則在R上連續(xù)，又，因此在[－3，0]內必存在點x0使得，所以x0是方程的一個實數根，因此方程有實根。 例5. ， 例6. 。 四、作業(yè) g3.1031數列與函數的極限（2） 1．的值為（ ） A．不存在 B.2 C.0 D.1 2．（ ） A

9、．0 B. C.1 D. 3．若，則ab的值是（ ） A．4 B.8 C. 8 D.16 4．下列各式不正確的是（ ） A． B． C． D． 5．給出下列命題 （1）若函數f(x)在x0處無定義，則必不存在； （2）是否存在與函數f(x)在x0處是否有定義無關； （3）與都存在，則也存在； （4）若不存在，則必定不存在. 正確的命題個數是（ ） A．0 B．1 C．

10、2 D．3 6.（05全國卷Ⅲ） ( A ) A B C D 7. （05湖北卷）若，則常數的值為 （ C ） A． B． C． D． 8.（04年廣東卷.3）函數在處連續(xù)，則（ ） A. B. C. D. 9.（04年福建卷.理14）設函數在處連續(xù)，則實數的值為 . 10． 11．(m和n為自然數)=________. 12．=_______. 13．若f(x)=的極限為1，則x的變化趨向是______. 14．（1） = （2）= 15．討論函數f(x)=當時的極限與在x=0處的連續(xù)性. 16.討論函數的連續(xù)性；適當定義某點的函數值，使在區(qū)間(－3,3)內連續(xù)。 17.已知函數 (1) 討論f(x)在點x=-1,0,1處的連續(xù)性；（2）求f(x)的連續(xù)區(qū)間。