新編高考數(shù)學復習資料 g3.1080雙曲線 一、知識要點 1.雙曲線的定義 (1)雙曲線的第一定義:平面內與兩定點F1、F2的距離差的絕對值等于常數(shù)2a(0<2a<｜F1F2｜)的點的軌跡叫雙曲線.兩定點F1、F2是焦點，兩焦點間的距離｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常數(shù)用2a表示. (2)雙曲線的第二定義:若點M到一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個常數(shù)e(e>1) 2.雙曲線的標準方程 (1)焦點在x軸上:,焦點坐標為F1(-c,0),F2(c,0), . (2)焦點在y軸上: ,焦點坐標為F1(0,-c),F2(0,c). . 3.雙曲線簡單幾何性質:以標準方程為例. (1)范圍:|x|≥a;即x≥a,x≤-a. (2)對稱性:對稱軸為x=0,y=0;對稱中心為O(0,0). (3)頂點:A1(-a,0),A2(a,0)為雙曲線的兩個頂點;線段A1A2叫雙曲線的實軸,B1B2叫雙曲線的虛軸,其中B1(0,b),B2(0,b).|A1A2|=2a,|B1B2|=2b. (4)漸近線:雙曲線漸近線的方程為y=x; (5)準線:x=; (6)離心率:e=,e>1. 4.等軸雙曲線:x2-y2=±a2,實軸長等于虛軸長,其漸近線方程為y=±x,離心率e= 二、基本訓練 1．平面內有兩個定點和一動點，設命題甲，是定值，命題乙：點的軌跡是雙曲線，則命題甲是命題乙的 （ ） 充分但不必要條件 必要不充分條件 充要條件 既不充分也不必要條件 2．雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率分別為，則應滿足的關系是（ ） 3．直線 與雙曲線有公共點時，的取值范圍是（ ） 以上都不正確 4．已知，是曲線上一點，當取最小值時，的坐標是_____，最小值是 ． 5．如果分別是雙曲線的左、右焦點，AB是雙曲線左支上過點F1的弦，且，則的周長是___________． 三、例題分析 例1 (05重慶卷) 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為。 (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。 例2 已知雙曲線(＜θ＜π)過點A(4,4).(1)求實軸、虛軸的長；(2)求離心率；(3)求頂點坐標；(4)求點A的焦半徑. 例3.過雙曲線的右焦點作傾角為45°的弦，求弦AB的中點C到右焦點F的距離，并求弦AB的長. 例4.已知雙曲線的離心率e>1+,左,右焦點分別為F1,F2,左準線為l1,能否在雙曲線的左支上找到一點P,使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項? 例5是否同時存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由． （1）漸近線方程為，（2）點到雙曲線上動點的距離最小值為． 四、作業(yè) 同步練習 g3.1080雙曲線 1（05天津卷）設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為 （ ） A． B． C． D． 2共軛雙曲線的離心率分別為e1與e2，則e1與e2的關系為： （ ） A、e1=e2 B、e1e2=1 C、 D、 3若方程表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是： （ ） A、 B、 C、 D、 4（05江西卷）以下四個關于圓錐曲線的命題中： ①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線； ②過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓； ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； ④雙曲線有相同的焦點. 其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號） 5（05上海）若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是__________。 6（05山東卷）設雙曲線的右焦點為，右準線與兩條漸近線交于P、兩點，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率 7．雙曲線上一點的兩條焦半徑夾角為，為焦點，則的面積為_________________． 8．與圓及圓 都外切的圓的圓心軌跡方程為_____________________． 9．過點作直線，如果它與雙曲線有且只有一個公共點，則直線的條數(shù)是____________________．. 10一橢圓其中心在原點，焦點在同一坐標軸上，焦距為，一雙曲線和這橢圓有公共焦點,且雙曲線的半實軸比橢圓的長半軸長小4，且雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比為7:3，求橢圓和雙曲線的方程． 11設雙曲線兩焦點，點為雙曲線右支上除頂點外的任一點，，求證：． 12．已知雙曲線的兩個焦點為，實半軸長與虛半軸長的乘積為，直線過點，且與線段的夾角為，，直線與線段的垂直平分線的交點為，線段與雙曲線的交點為，且，求雙曲線方程．