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2019-2020年新人教A版高中數(shù)學(xué)（選修2-1）3.1《空間向量及其運算》(空間向量及其加減運算)word學(xué)案 . 知識點一　空間向量的概念 　判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由． ① 向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一條直線上； ② ②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=；⑤模為0是一個向量方向不確定的充要條件；⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同. 解 ①不正確，共線向量即平行向量，只要求兩個向量方向相同或相反即可，并不要求兩個向量，在同一條直線上.②不正確，單位向量模均相等且為1，但方向并不一定相同.③不正確，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④不正確，因為A、B、C、D可能共線.⑤正確.⑥不正確，如圖所示，與共線，雖起點不同，但終點卻相同. 【反思感悟】　解此類題主要是透徹理解概念，對向量、零向量、單位向量、平行向量(共線向量)、共面向量的概念特征及相互關(guān)系要把握好． 　下列說法中正確的是(　　) A．若|a|＝|b|，則a、b的長度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b| C．空間向量的減法滿足結(jié)合律 D.在四邊形ABCD中，一定有+= 答案　B 解析|a|=|b|，說明a與b模長相等，但方向不確定；對于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，從而B正確；空間向量只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；一般的四邊形不具有+=，只有平行四邊形才能成立.故A、C、D均不正確. 知識點二　空間向量的加、減運算 　 如圖所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1，M為A1C1與B1D1的交點，化簡下列向量表達式． （1） +；（2）+ ； （3）++； （4）++++; 解 （1） =. （2）  （3） （4） 【反思感悟】 向量的加法利用平行四邊形法則或三角形法則，同平面向量相同，封閉圖形，首尾連續(xù)向量的和為0.. 已知長方體ABCD—A′B′C′D′,化簡下列向量表達式: (1) (2) 解 (1)= =A (2) 知識點三　向量加減法則的應(yīng)用 在如圖所示的平行六面體中，求證： 證明　∵平行六面體的六個面均為平行四邊形， ∴ ＝＋. ∴= 又由于 ＝，＝， ∴ ＋＋= ＋＋=＋＝， ∴＋＋＝2. 【反思感悟】 在本例的證明過程中,我們應(yīng)用了平行六面體的對角線向量=,該結(jié)論可以認(rèn)為向量加法的平行四邊形法則在空間的推廣(即平行六面體法則). 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，畫出表示下列向量的有向線段. （1）＋＋;； （2）;. 解 如圖，  （1）＋＋= ; (2)= 圖中 ，為所求. 課堂小結(jié)： 1．在掌握向量加減法的同時，應(yīng)首先掌握有特殊位置關(guān)系的兩個向量的和或差，如共線、共起點、共終點等． 2．通過掌握相反向量，理解兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為加法． 3．注意向量的三角形法則和平行四邊形法則的要點．對于向量加法運用平行四邊形法則要求兩向量有共同起點，運用三角形法則要求向量首尾順次相連．對于向量減法要求兩向量有共同的起點． 4．a(chǎn)－b表示的是由減數(shù)b的終點指向被減數(shù)a的終點的一條有向線段． 課時作業(yè) 一、選擇題 1．判斷下列各命題的真假： ①向量的長度與向量的長度與向量的長度相等； ②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反； ③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同； ④兩個有公共終點的向量，一定是共線向量； ⑤向量與向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上； ⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段． 其中假命題的個數(shù)為( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C 解析 ①真命題；②假命題，若a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的；③真命題；④假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；⑤假命題，共線向量所在直線可以重合，也可以平行；⑥假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段． 2. 已知向量，，，， 滿足 || ＝ ||＋||，則( ) A．＝＋ B．＝－－ C．與同向 D．與與同向 答案　D 解析 由 || = | | + | | = | | + ||,知C點在線段AB上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，所以與與同向 3. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量表達式化簡后的結(jié)果是（ ） A. B.  C. D. 答案 A 解析 如圖所示， 因 ＝，－＝－＝， ＋＝， ∴－＋＝. 4．空間四邊形ABCD中，若E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的中點，則下列各式中成立的是( ) A.＋＋＋＝0 B. ＋＋＋＝0  C. ＋＋＋＝0 D.－＋＋＝0 答案 B 解析 如圖所示， ＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) = ＋＝0. 5. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，如圖所示，下列各式中運算的結(jié)果為向量的是（ ） ① (－)－； ② (＋)－； ③（－)－2； ④（－)＋. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案 A (－)－ ＝ －＝. (＋)－＝＋＝.∴①、②正確． 二、填空題 6. 如圖所示 a，b是兩個空間向量，則與與是________向量，與是________向量． 答案　相等　相反 7. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,化簡向量表達式+ + 的結(jié)果為 ________． 答案　0 解析 ＋＋＋＝(＋)＋(＋) =＋＝0. 三、解答題 8．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡 （1）＋＋，（2）＋＋，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量． 解 （1）＋＋ = ＋＝. (2)∵E，F(xiàn)，G分別為BC，CD，DB中點． ∴＝，＝. ∴＋＋ = ＋＋ = 9. 已知ABCD是空間四邊形,M和N分別是對角線AC和BD的中點. 求證: = 證明 = 又 =, ∴2 = 由于M,N分別是AC和BD的中點, 所以．= 0. ∴＝ (＋)． 10．設(shè)A是△BCD所在平面外的一點，G是△BCD的重心． 求證：＋)． 證明　連結(jié)BG，延長后交CD于E，由G為△BCD的重心， 知 ∵E為CD的中點， ∴＝＋. ∴＝＋ = ＋ =＋(＋) = + = (＋＋)．