《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
第九節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差
[考綱傳真] (教師用書獨具)1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念.2.會求簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單實際問題.
(對應(yīng)學(xué)生用書第189頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為P(X=ai)=pi(i=1,2,…
3、,r).
(1)均值
EX=a1p1+a2p2+…+arpr,均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”.
(2)方差
DX=E(X-EX)2為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度.
2.均值與方差的性質(zhì)
(1)E(aX+b)=aEX+B.
(2)D(aX+b)=a2DX(a,b為常數(shù)).
3.兩點分布與二項分布的均值、方差
均值
方差
變量X服從兩點分布
EX=p
DX=p(1-p)
X~B(n,p)
EX=np
DX=np(1-p)
[知識拓展] EX反映了x取值的平均水平,DX反映了X針對EX的穩(wěn)定與波動,集中與離散的程度.
區(qū)
4、分、s2、μ、σ2、EX、DX.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無關(guān).( )
(2)隨機變量的均值是常數(shù),樣本的平均值是隨機變量.( )
(3)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小. ( )
(4)在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運動員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.(教材改編)已知X的分布列為
5、
X
-1
0
1
P
設(shè)Y=2X+3,則EY的值為( )
A. B.4
C.-1 D.1
A [EX=-1×+0×+1×=-,
則EY=2EX+3=3-=.]
3.設(shè)隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=(k=2,4,6,8,10),則Dξ等于( )
A.8 B.5
C.10 D.12
A [∵Eξ=(2+4+6+8+10)=6,
∴Dξ=[(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8.]
4.(20xx·全國卷Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=
6、________.
1.96 [由題意得X~B(100,0.02),
所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96.]
5.已知隨機變量X服從二項分布B(n,p),若EX=30,DX=20,則p=________.
[由于X~B(n,p),且EX=30,DX=20,
所以解得p=.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第190頁)
離散型隨機變量的均值、方差
(20xx·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).
7、如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n
8、(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值?
[解] (1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,
P(X=500)==0.4.
因此X的分布列為
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考慮200≤n≤500.
當(dāng)300≤n≤500時,
若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;
若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高氣溫
9、低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
當(dāng)200≤n<300時,
若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;
若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
所以n=300時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值,最大值為520元.
[規(guī)律方法] 求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟
(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.
(2)求X取每個值時的
10、概率.
(3)寫出X的分布列.
(4)由均值的定義求EX.
(5)由方差的定義求DX.
易錯警示:注意E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX的應(yīng)用.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·青島一模)為迎接2022年北京冬奧會,推廣滑雪運動,某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是:滑雪時間不超過1小時免費,超過1小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動,設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為,;1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為,;兩人滑雪時間都不會超過3小時.
(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率;
11、(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ,方差Dξ.
【導(dǎo)學(xué)號:79140377】
[解] (1)兩人所付費用相同,相同的費用可能為0,40,80元.
兩人都付0元的概率為P1=×=,
兩人都付40元的概率為P2=×=,
兩人都付80元的概率為
P3=×=×=,
則兩人所付費用相同的概率為P=P1+P2+P3=++=.
(2)設(shè)甲、乙所付費用之和為ξ,ξ可能取值為0,40,80,120,160,則:
P(ξ=0)=×=;
P(ξ=40)=×+×=;
P(ξ=80)=×+×+×=;
P(ξ=120)=×+×=;
P(ξ=160)=×
12、=.
ξ的分布列為
ξ
0
40
80
120
160
P
Eξ=0×+40×+80×+120×+160×=80.
Dξ=(0-80)2×+(40-80)2×+(80-80)2×+(120-80)2×+(160-80)2×=.
與二項分布有關(guān)的均值、方差
(20xx·鄭州診斷)空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Lndex,簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級,0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;大于300為嚴重污染.一環(huán)保
13、人士記錄某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖10-9-1所示.
圖10-9-1
(1)利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù);(按這個月總共30天計算)
(2)將頻率視為概率,從本月中隨機抽取3天,記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為ξ,求ξ的概率分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
[解] (1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2,空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4,故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為=,
從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30×=18.
(2)由(1)估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為,
ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)=C=,
P(ξ=2)
14、=C=,P(ξ=3)==.
故ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
顯然ξ~B,Eξ=3×=1.8,隨機變量ξ的方差Dξ=3××=.
[規(guī)律方法] 1.求隨機變量ξ的期望與方差時,可首先分析ξ是否服從二項分布,如果ξ~B(n,p),則用公式Eξ=np,Dξ=np(1-p)求解,可大大減少計算量.
2.有些隨機變量雖不服從二項分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布,這時,可以綜合應(yīng)用E(aξ+b)=aEξ+b以及Eξ=np求出E(aξ+b).同樣還可求出D(aξ+b).
[跟蹤訓(xùn)練] 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布
15、直方圖,如圖10-9-4所示.
圖10-9-4
將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.
(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率;
(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),求隨機變量X的分布列,期望EX及方差DX.
[解] (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”,
A2表示事件“日銷售量低于50個”,
B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”,因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A
16、2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為
P(X=0)=C·(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=C·0.6(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=C·0.62(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=C·0.63=0.216.
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因為X~B(3,0.6),所以期望EX=3×0.6=1.8,方差DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
均值與方差在決
17、策中的應(yīng)用
(20xx·廣州綜合測試(二))某商場擬對某商品進行促銷,現(xiàn)有兩種方案供選擇,每種促銷方案都需分兩個月實施,且每種方案中第一個月與第二個月的銷售相互獨立.根據(jù)以往促銷的統(tǒng)計數(shù)據(jù),若實施方案1,預(yù)計第一個月的銷量是促銷前的1.2倍和1.5倍的概率分別是0.6和0.4,第二個月的銷量是第一個月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5;若實施方案2,預(yù)計第一個月的銷量是促銷前的1.4倍和1.5倍的概率分別是0.7和0.3,第二個月的銷量是第一個月的1.2倍和1.6倍的概率分別是0.6和0.4.令ξi(i=1,2)表示實施方案i的第二個月的銷量是促銷前銷量的倍數(shù).
(1)求ξ1,ξ2
18、的分布列;
(2)不管實施哪種方案,ξi與第二個月的利潤之間的關(guān)系如下表,試比較哪種方案第二個月的利潤更大.
銷量倍數(shù)
ξi≤1.7
1.7<ξi<2.3
ξi≥2.3
利潤(萬元)
15
20
25
[解] (1)由題意,ξ1的所有取值為1.68,1.92,2.1,2.4,
因為P(ξ1=1.68)=0.6×0.5=0.30,
P(ξ1=1.92)=0.6×0.5=0.30,
P(ξ1=2.1)=0.4×0.5=0.20,
P(ξ1=2.4)=0.4×0.5=0.20,
所以ξ1的分布列為
ξ1
1.68
1.92
2.1
2.4
P1
0.30
19、
0.30
0.20
0.20
由題意,ξ2的所有取值為1.68,1.8,2.24,2.4,
因為P(ξ2=1.68)=0.7×0.6=0.42,
P(ξ2=1.8)=0.3×0.6=0.18,
P(ξ2=2.24)=0.7×0.4=0.28,
P(ξ2=2.4)=0.3×0.4=0.12,
所以ξ2的分布列為
ξ2
1.68
1.8
2.24
2.4
P2
0.42
0.18
0.28
0.12
(2)令Qi表示實施方案i在第二個月所獲得的利潤,則
Q1
15
20
25
P
0.30
0.50
0.20
Q2
15
20
2
20、5
P
0.42
0.46
0.12
所以EQ1=15×0.30+20×0.50+25×0.20=19.5,
EQ2=15×0.42+20×0.46+25×0.12=18.5.
因為EQ1>EQ2,
所以實施方案1,第二個月的利潤更大.
[規(guī)律方法] 利用均值、方差進行決策的兩個方略
(1)當(dāng)均值不同時,兩個隨機變量取值的水平可見分歧,可對問題作出判斷.
(2)若兩隨機變量均值相同或相差不大.則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,進而進行決策.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·呼和浩特一調(diào))春節(jié)前夕我市某公司要將一批新鮮牛羊肉用汽車運往指定城市A,如果
21、能按約定日期送到,則該公司可獲得銷售收入30萬元,每提前一天送到,可獲得獎勵1萬元,每遲到一天送到,銷售收入將少獲得1萬元.為保證按時送達,公司只能在約定日期的前兩天出發(fā),若行駛路線只能選擇公路1或公路2中的一條,運費及其他信息如下表所示.
【導(dǎo)學(xué)號:79140378】
路線
統(tǒng)計
不堵車的情況下送達到城市A所需的時間(天)
堵車的情況下送達到城市A所需的時間(天)
堵車的概率
運費(萬元)
公路1
2
3
0.1
4
公路2
1
4
0.3
2
(1)記汽車走公路2時公司獲得的毛利潤(收入-運費)為ξ(萬元),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ;
(2)假設(shè)你
22、是公司的決策者,會選擇哪條公路運送,并說明理由.
[解] (1)汽車走公路2時,不堵車時公司獲得的毛利潤ξ=30+1-2=29(萬元).
堵車時公司獲得的毛利潤ξ=30-2-2=26(萬元).
∴汽車走公路2時獲得的毛利潤ξ的分布列為
ξ
29
26
P
0.7
0.3
∴Eξ=29×0.7+26×0.3=28.1(萬元).
(2)設(shè)汽車走公路1時獲得的毛利潤為η,
則不堵車時獲得的毛利潤η=30-4=26(萬元),
堵車時獲得的毛利潤η=30-1-4=25(萬元),
∴汽車走公路1時獲得的毛利潤η的分布列為
η
26
25
P
0.9
0.1
∴Eη=26×0.9+25×0.1=25.9(萬元).
∵Eξ>Eη,∴選擇公路2可以更多獲利.