1 1 課時分層訓(xùn)練(五十五)　曲線與方程 A組　基礎(chǔ)達標 一、選擇題 1．方程x＝所表示的曲線是(　　) A．雙曲線的一部分　　　 B．橢圓的一部分 C．圓的一部分 D．直線的一部分 B　[x＝兩邊平方，可變?yōu)閤2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲線為橢圓的一部分．] 2．(20xx·銀川模擬)已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 D　[由題意知，M為PQ中點，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.] 3．已知動圓Q過定點A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長為4，則動圓圓心Q的軌跡C的方程為(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．x2＝2y D．x2＝4y B　[設(shè)Q(x，y)，因為動圓Q過定點A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長為4， 所以＋|x|2＝|AQ|2， 所以|x|2＋22＝(x－2)2＋y2，整理得y2＝4x， 所以動圓圓心Q的軌跡C的方程是y2＝4x，故選B.] 4．設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：79140301】 A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 D　[因為M為AQ垂直平分線上一點， 則|AM|＝|MQ|， 所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡為以點C，A為焦點的橢圓，所以a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， 所以橢圓的方程為＋＝1.] 5．設(shè)過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標原點．若＝2，且·＝1，則點P的軌跡方程是(　　) A．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0) A　[設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0. 由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0. 即＝， 點Q(－x，y)，故由·＝1， 得(－x，y)·＝1， 即x2＋3y2＝1.故所求的軌跡方程為x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．] 二、填空題 6．平面上有三個點A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，則動點C的軌跡方程是__________． y2＝8x　[＝－(－2，y)＝， ＝(x，y)－＝. ∵⊥，∴·＝0， ∴·＝0，即y2＝8x. ∴動點C的軌跡方程為y2＝8x.] 7．△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________． －＝1(x＞3)　[如圖，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2， |CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x＞3)．] 8．在△ABC中，A為動點，B，C為定點，B，C(a＞0)，且滿足條件sin C－sin B＝sin A，則動點A的軌跡方程是________. 【導(dǎo)學(xué)號：79140302】 －＝1(x＞0且y≠0)　[由正弦定理得－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|，故動點A的軌跡是以B，C為焦點，為實軸長的雙曲線右支(除去頂點)． 即動點A的軌跡方程為－＝1(x＞0且y≠0)．] 三、解答題 9．已知長為1＋的線段AB的兩個端點A，B分別在x軸，y軸上滑動，P是AB上一點，且＝，求點P的軌跡方程． [解]　設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)， 由已知知＝， 又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)， 所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)， 得x0＝x，y0＝(1＋)y. 因為|AB|＝1＋， 即x＋y＝(1＋)2， 所以＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化簡得＋y2＝1. 即點P的軌跡方程為＋y2＝1. 10．如圖8­8­2，已知P是橢圓＋y2＝1上一點，PM⊥x軸于M.若＝λ. 圖8­8­2 (1)求N點的軌跡方程； (2)當N點的軌跡為圓時，求λ的值． [解]　(1)設(shè)點P，點N的坐標分別為P(x1，y1)， N(x，y)，則M的坐標為(x1,0)，且x＝x1， ∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)， ＝(x1－x，－y)＝(0，－y)， 由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)． ∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y. ∵P(x1，y1)在橢圓＋y2＝1上， 則＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1， 故＋(1＋λ)2y2＝1即為所求的N點的軌跡方程． (2)要使點N的軌跡為圓，則(1＋λ)2＝， 解得λ＝－或λ＝－. ∴當λ＝－或λ＝－時， N點的軌跡是圓． B組　能力提升 11．(20xx·湖南東部六校聯(lián)考)已知兩定點A(0，－2)，B(0,2)，點P在橢圓＋＝1上，且滿足||－||＝2，則·為(　　) A．－12　　　　　　 B．12 C．－9 D．9 D　[由||－||＝2，可得點P(x，y)的軌跡是以兩定點A，B為焦點的雙曲線的上支，且2a＝2，c＝2，∴b＝.∴點P的軌跡方程為y2－＝1(y≥1)． 由解得∴·＝(x，y＋2)·(x，y－2)＝x2＋y2－4＝9＋4－4＝9.] 12．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(1,0)，B(2,2)，若點C滿足＝＋t(－)，其中t∈R，則點C的軌跡方程是________. 【導(dǎo)學(xué)號：79140303】 y＝2x－2　[設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去參數(shù)t得點C的軌跡方程為y＝2x－2.] 13．(20xx·全國卷Ⅰ選編)設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. (1)證明|EA|＋|EB|為定值； (2)求點E的軌跡方程，并求它的離心率． [解]　(1)證明：因為|AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圓A的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4， 所以|EA|＋|EB|＝4. (2)由圓A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)． 又B(1,0) 因此|AB|＝2，則|EA|＋|EB|＝4>|AB|. 由橢圓定義，知點E的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓(不含與x軸的交點)， 所以a＝2，c＝1，則b2＝a2－c2＝3. 所以點E的軌跡方程為＋＝1(y≠0)． 故曲線方程的離心率e＝＝.