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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 g3.1092 排列與組合的綜合問題 一、知識(shí)梳理 1.排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置的數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題，排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合問題的基本思維是“先組，后排”. 2.解排列組合的應(yīng)用題，要注意四點(diǎn)： （1）仔細(xì)審題，判斷是組合問題還是排列問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步. （2）深入分析、嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，既不少也不多，辯證思維，多角度分析，全面考慮，這不僅有助于

2、提高邏輯推理能力，也盡可能地避免出錯(cuò). （3）對(duì)于附有條件的比較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡(jiǎn)單的基本問題后應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理來解決. （4）由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決問題的方案是否完備，有無重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看是否相同.在對(duì)排列組合問題分類時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù). 二、基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.（04福建）某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為 A. AC

3、 B. AC C. AA D. 2A 2.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語競(jìng)賽，其中A不參加物理、化學(xué)競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為 A.24 B.48 C.120 D.72 3. 5本不同的書，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為 A.480 B.240 C.120 D.96 4.從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有_____________個(gè).（用數(shù)字作答） 5.市內(nèi)某公共汽車站有10個(gè)候車位（成一排），現(xiàn)

4、有4名乘客隨便坐在某個(gè)座位上候車，則恰好有5個(gè)連續(xù)空座位的候車方式共有_____________種.（用數(shù)字作答） 例1. 從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，問共有多少種參賽方法? 例2. 對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止.若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能? 思考討論 用類似的方法，討論如下問題. 某種產(chǎn)品有5件不同的正品，4件不同的次品，現(xiàn)在一件件地進(jìn)行檢測(cè)，直到4件次品全部測(cè)出為止，則最后一件次品恰好在第6次檢測(cè)時(shí)被測(cè)出，這樣的檢測(cè)方案有多少種？ 提

5、示：?jiǎn)栴}相當(dāng)于從10件產(chǎn)品中取出6件的一個(gè)排列，第6位為次品，前五位有其余3件次品，可分三步：先從4件產(chǎn)品中留出1件次品排第6位，有4種方法；再?gòu)?件正品中取2件，有C種方法；再把3件次品和取出的2件正品排在前五位有A種方法.所以檢測(cè)方案種數(shù)為4×C·A=4800. 例3. 在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的種植方法共有多少種？ 例4. 有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 A.234

6、 B.346 C.350 D.363 例5. （1）一條長(zhǎng)椅上有9個(gè)座位，3個(gè)人坐，若相鄰2人之間至少有2個(gè)空椅子，共有幾種不同的坐法? （2）一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，要求3個(gè)空位中，恰有2個(gè)空位相鄰，共有多少種不同的坐法? 例6. 已知1（1+n）m. 四、同步練習(xí) g3.1092 排列與組合的綜合問題 1.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植.不同的種植方法共有 A.24種 B.18種 C.12種 D.

7、6種 2.四個(gè)不同的小球全部隨意放入三個(gè)不同的盒子中，使每個(gè)盒子都不空的放法種數(shù)為 A.AA B.CA C.CA D.CCC 3．（05湖北卷）把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù) A．168 B．96 C．72 D．144 4.（05江蘇卷）四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品,有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的,沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的,現(xiàn)打算用編號(hào)為①、②、③、④的4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品,那么安全存放的不

8、同方法種數(shù)為 （A）96 （B）48 （C）24 （D）0 5．從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4 × 100米接力賽，如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方案有 A．180種 B．240種 C．300種 D．360種 6.書架上原有5本書，再放上2本，但要求原有書的相對(duì)順序不變，則不同的放法有_____________種. 7.（04浙江）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3，0）（允許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有

9、__________種.（用數(shù)字作答） 8.在一張節(jié)目表上原有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法? 9. 18人的旅游團(tuán)要選一男一女參加生活服務(wù)工作，有兩位老年男人不在推選之列，共有64種不同選法，問這個(gè)團(tuán)中男女各幾人? 10. 如下圖，矩形的對(duì)角線把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有多少種不同的涂色方法? 11. 6名運(yùn)動(dòng)員分到4所學(xué)校去做教練，每校至少1人，有多少種不同的分配方法? 參與答案 基本訓(xùn)練 1. 將4名學(xué)生均分成兩組，方法數(shù)為C，

10、再分配給6個(gè)年級(jí)中的2個(gè)，分配方法數(shù)為A，∴合要求的安排方法數(shù)為C·A. 答案：B 2.若不含A，則有A種；若含有A，則有C·C·A種.∴A+C·C·A=72. 答案：D 3.先把5本書中的兩本捆起來（C），再分成四份（A），∴分法種數(shù)為C·A=240. 答案：B 4.①四位數(shù)中包含5和0的情況： C·C·（A+A·A）=120. ②四位數(shù)中包含5，不含0的情況： C·C·A=108. ③四位數(shù)中包含0，不含5的情況： CCA=72. 綜上，四位數(shù)總數(shù)為120+108+72=300. 答案：300 5.把四位乘客當(dāng)作4個(gè)元素作全排列有A種排法，將一個(gè)空位和余下的4個(gè)

11、空位作為一個(gè)元素插空有A種排法.∴A·A=480. 答案：480 例題分析 例1.解法一：?jiǎn)栴}分成三類：（1）甲、乙兩人均不參加，有A種；（2）甲、乙兩人有且僅有一人參加，有2C（A－A）種；（3）甲、乙兩人均參加，有C（A－2A＋A）種.故共有252種. 解法二：六人中取四人參加的種數(shù)為A，除去甲、乙兩人中至少有一人不排在恰當(dāng)位置的有C A種，因前后把甲、乙兩人都不在恰當(dāng)位置的種數(shù)A減去了兩次.故共有A－C A＋A=252種. 評(píng)述：對(duì)于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種方法處理. 例2.解：C（CC）A=576，第5次必測(cè)出一次品，余下3件在前4次被測(cè)出

12、，從4件中確定最后一件品有C種方法，前4次中應(yīng)有1正品、3次品，有CC種，前4次測(cè)試中的順序有A種，由分步計(jì)數(shù)原理即得. 評(píng)述：本題涉及一類重要問題，即問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即組合）后排列. 例3.解：依題意，A、B兩種作物的間隔至少6壟，至多8壟.（1）間隔6壟時(shí)，有3×A種；（2）間隔7壟時(shí)，有2×A種.（3）間隔8壟時(shí)，有A種.所以共有3A+2A+A=12種種植方法. 例4.解法一：分類討論法. （1）前排一個(gè)，后排一個(gè)，2C·C=192. （2）后排坐兩個(gè)（不相鄰）， 2（10+9+8+…+1）=110. （3）前排坐兩個(gè)，2·（6+5+…

13、+1）+2=44個(gè). ∴總共有192+110+44=346個(gè). 解法二：考慮中間三個(gè)位置不坐，4號(hào)座位與8號(hào)座位不算相鄰. ∴總共有A+2+2=346個(gè). 答案：B 評(píng)述：本題考查分類討論在解排列組合應(yīng)用題中的運(yùn)用.這是一道難度較大的小綜合題. 例5.解：（1）先將3人（用×表示）與4張空椅子（用□表示）排列如圖（×□□×□□×），這時(shí)共占據(jù)了7張椅子，還有2張空椅子，一是分開插入，如圖中箭頭所示（↓×□↓□×□↓□×↓），從4個(gè)空當(dāng)中選2個(gè)插入，有C種插法；二是2張同時(shí)插入，有C種插法，再考慮3人可交換有A種方法. 所以，共有A（C+C）=60（種）. 下面再看另一種構(gòu)造方法

14、： 先將3人與2張空椅子排成一排，從5個(gè)位置中選出3個(gè)位置排人，另2個(gè)位置排空椅子，有AC種排法，再將4張空椅子中的每?jī)蓮埐迦朊績(jī)扇酥g，只有1種插法，所以所求的坐法數(shù)為A·C=60. （2）可先讓4人坐在4個(gè)位置上，有A種排法，再讓2個(gè)“元素”（一個(gè)是兩個(gè)作為一個(gè)整體的空位，另一個(gè)是單獨(dú)的空位）插入4個(gè)人形成的5個(gè)“空當(dāng)”之間，有A種插法，所以所求的坐法數(shù)為A·A=480. 例6.證法一：由二項(xiàng)式定理（1+m）n=Cm0+Cm1+…+Cmn， （1+n）m=Cn0+Cn1+…+C， 又因?yàn)镃=，C=， 而Ami>A，所以Cm2>C，C>Cn3，…，C>C. 又因?yàn)镃=C，C=C

15、， 所以（1+m）n>（1+n）m. 證法二：（1+m）n>（1+n）m nln（1+m）>mln（1+n） >. 令f（x）=，x∈［2，+∞］， 只要證f（x）在［2，+∞］上單調(diào)遞減，只要證f ′（x）<0. f ′（x）==. 當(dāng)x≥2時(shí)，x－lg（1+x）<0， x2（1+x）>0，得f ′（x）<0，即x∈［2,+∞］時(shí)，f ′（x）<0. 以上各步都可逆推，得（1+m）n>（1+n）m. 作業(yè)：1—4 BBDBB 6. 42 7. 5 8. 解法一：添加的三個(gè)節(jié)目有三類辦法排進(jìn)去：①三個(gè)節(jié)目連排，有CA種方法；②三個(gè)節(jié)目互不相鄰，有A種方法

16、；③有且僅有兩個(gè)節(jié)目連排，有CCCA種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有CA+A+CCCA=504種. 解法二：從結(jié)果考慮，排好的節(jié)目表中有9個(gè)位置，先排入三個(gè)添加節(jié)目有A種方法，余下的六個(gè)位置上按6個(gè)節(jié)目的原有順序排入只有一種方法.故所求排法為A=504種. 解法三：=504. 評(píng)述：插空法是處理排列、組合問題常用的方法. 9.解：設(shè)這個(gè)團(tuán)中有男人x人，則有女人18－x人，根據(jù)題意得C· C=64.解得x=10. ∴這個(gè)團(tuán)中有男10人，女8人. 10.解法一：依題意，給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色： 第一類，用4種顏色涂色，有A種方法； 第二類，用3種顏色涂色，

17、選3種顏色的方法有C種；在涂的過程中，選對(duì)頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或B、D）涂同色，另兩部分涂異色有C種選法；3種顏色涂上去有A種涂法.共C·C·A種涂法； 第三類，用兩種顏色涂色.選顏色有C種選法；A、C與B、D各涂一色有A種涂法.共C·A種涂法. 所以共有涂色方法A+C·C·A+C·A=260種. 解法二：區(qū)域A有5種涂色法；區(qū)域B有4種涂色法；區(qū)域C的涂色法有2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色法；若C與A涂不同色，此時(shí)區(qū)域C有3種涂色法，區(qū)域D也有3種涂色法. 所以共有5×4×4+5×4×3×3=260種涂色法. 11.解法一：先取人，后取位子. 1，1，1，3：6人中先取3人

18、有C種取法，與剩余3人分到4所學(xué)校去有A種不同分法，∴共CA種分法； 1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C·C·C種，然后分到4所學(xué)校去，有種不同的分法，共C·C·C·種分法.所以符合條件的分配方法有CA+C·C·C·=1560種. 解法二：先取位子，后取人. 1，1，1，3：取一個(gè)位子放3個(gè)人，有C種取法，6人中分別取3人、1人、1人、1人的取法有C·C·C·C種，∴共有C·C·C·C·C種. 1，1，2，2：先取2個(gè)位子放2（其余2個(gè)位子放1）有C種取法，6人中分別取2人，2人，1人，1人的取法有C·C·C·C種，共有C·C·C·C·C種. 所以符合條件的分配方法有C·C·C·C+C·C·C·C=1560種.