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1、
第8練 函數(shù)的奇偶性和周期性
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)函數(shù)奇偶性的概念;(2)函數(shù)周期性.
訓(xùn)練題型
(1)判定函數(shù)的奇偶性;(2)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求函數(shù)值,求參數(shù));(3)函數(shù)周期性的應(yīng)用.
解題策略
(1)判斷函數(shù)的奇偶性首先要考慮函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;(2)根據(jù)奇偶性求參數(shù),可先用特殊值法求出參數(shù),然后驗(yàn)證;(3)理解并應(yīng)用關(guān)于周期函數(shù)的重要結(jié)論:如f(x)滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期T=2|a|.
一、選擇題
1.(20xx·江西贛州于都實(shí)驗(yàn)中學(xué)大考三)若奇函數(shù)f(x)=3sin x+c的定義域是[a,b],
則a+b+c等于(
2、)
A.3 B.-3
C.0 D.無(wú)法計(jì)算
2.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù),如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(-2,1]上的圖象,則f(2 014)+f(2 015)等于( )
A.3 B.2
C.1 D.0
3.函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集為( )
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
4.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ex,則g(x)等于( )
A.ex-
3、e-x B.(ex+e-x)
C.(e-x-ex) D.(ex-e-x)
5.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)=2x+,則f(log220)等于( )
A.-1 B .
C.1 D.-
6.(20xx·開(kāi)封二模)已知函數(shù)f(x)定義在R上,對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(x+4)=-f(x)+2,若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,f(-1)=2,則f(2 015)等于( )
A.-2+2 B.2+2
C.2-2 D.2
7.已知函數(shù)f(x)=則該函數(shù)是( )
A.偶函數(shù)且單調(diào)遞增 B.偶函數(shù)
4、且單調(diào)遞減
C.奇函數(shù)且單調(diào)遞增 D.奇函數(shù)且單調(diào)遞減
8.對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b,定義兩種運(yùn)算:a?b=,a?b=,則函數(shù)f(x)=( )
A.是奇函數(shù),但不是偶函數(shù)
B.是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)
C.既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)
二、填空題
9.(20xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)若函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),則a=________.
10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,f(x+2)=對(duì)任意x∈R恒成立,則f(2 015)=________.
11.若函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.
12.(20xx·山東乳山
5、一中月考)定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在
[-1,0]上是增函數(shù),下面是關(guān)于f(x)的判斷:
①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱;②f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;③f(x)在[0,1]上是增函數(shù);④f(2)=f(0).
其中正確的是________.(把你認(rèn)為正確的判斷序號(hào)都填上)
答案精析
1.C [因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3sin x+c的定義域是[a,b],并且是奇函數(shù),所以f(0)=0,
即3sin 0+c=0,得c=0,而奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以a+b=0,
所以a+b+c=0.故選C.]
2.A [因?yàn)閒(x)是定
6、義在R上的周期為3的周期函數(shù),所以f(2 014)+f(2 015)=f(671×3+1)+f(672×3-1)=f(1)+f(-1),而由圖象可知f(1)=1,f(-1)=2,所以f(2 014)+f(2 015)=1+2=3.]
3.C [f(x)的圖象如圖.
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),xf(x)>0;
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),xf(x)<0;
當(dāng)x∈(1,3)時(shí),xf(x)>0.
所以x∈(-1,0)∪(1,3).]
4.D [由f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),
得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
因?yàn)閒(x)+g(x)=ex,
所以f(-x)+g(-x)
7、=e-x,
即f(x)-g(x)=e-x,
所以g(x)=(ex-e-x).故選D.]
5.A [因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),-x∈(-1,0),
則f(x)=-f(-x)=-2-x-.
因?yàn)閒(x-2)=f(x+2),
所以f(x)=f(x+4),
所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).
而4
8、=8×251+7,因此f(2 015)=f(7)=f(-1)=2,故選D.]
7.C [當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1-2-x,這時(shí)-x<0,所以f(-x)=2-x-1,
于是f(-x)=-f(x);
當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x-1,這時(shí)-x>0,
所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).
又f(0)=0,故函數(shù)f(x)是一個(gè)奇函數(shù).
又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),f(x)=1-2-x單調(diào)遞增,
當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x-1也單調(diào)遞增,
所以f(x)單調(diào)遞增.故選C.]
8.A [由題意可得
f(x)==,
則
??-2≤x≤2且x≠0.
即此函數(shù)的定義域?yàn)閇-2,
9、0)∪(0,2].
所以-4≤x-2<-2或-2
10、1.
11.-2
解析 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),
所以f(0)=0,
當(dāng)x>0時(shí),-x<0,
由f(-x)=-f(x),
得-(-x)2+a(-x)=-(x2-2x),
則a=-2;
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
由f(-x)=-f(x),
得(-x)2-2(-x)=-(-x2+ax),
得x2+2x=x2-ax,則a=-2.
所以a=-2.
12.①②④
解析 根據(jù)題意有f=-f,結(jié)合偶函數(shù)的條件,可知f=-f,所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故①正確;式子還可以變形為f(x+2)=f(x)=f(-x),故②正確;根據(jù)對(duì)稱性,可知函數(shù)在[0,1]上是減函數(shù),故③錯(cuò);由②可知f(2)=f(0),故④正確.所以答案為①②④.