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1、
第5練 導數(shù)與幾何意義
一.強化題型考點對對練
1. (導數(shù)的幾何意義)【山東省菏澤期中】已知函數(shù)的圖像為曲線,若曲線存在與直線少垂直的切線,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
2.(導數(shù)的幾何意義與不等式的結合)已知,曲線在點處的切線的斜率為,則當取最小值時的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可得, ,則當時, 取最小值為4,故選A.
3. (導數(shù)的幾何意義)已知函數(shù)的圖象在點處的切線過點,則( )
A. B.
2、 C. D.
【答案】B
【解析】因為,所以切線斜率為,,切線方程為,整理得:,代入,解得,故選B.
4. (導數(shù)的幾何意義與不等式的結合)函數(shù)的圖像在點處的切線斜率的最小值是( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因為,所以函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為,所以函數(shù)的圖象在點處的切線斜率的最小值是,故選.
5.(導數(shù)的幾何意義)【山東省德州期中】 函數(shù)的圖像在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為( )
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
6.(導數(shù)的幾何意義)已知函數(shù)是定義在的可
3、導函數(shù), 為其導函數(shù),當且時, ,若曲線在處的切線的斜率為,則( )
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】令 ,則 ,所以當 時, ; 當 時, , 所以函數(shù) 在 內為減函數(shù), 在 內為增函數(shù), 且在 時取得極小值,所以 , 故有 , 又 , 所以 .
7.(導數(shù)的幾何意義)若曲線(為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
8.(導數(shù)的計算)【福建省福安期中】已知的導函數(shù),則
A. B. C. D.
【答案】A
【解
4、析】,選A.
9. (導數(shù)的幾何意義)【福建省福州期中】已知函數(shù),若曲線在點,( ,其中互不相等)處的切線互相平行,則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】函數(shù), 曲線在點,其中互不相等)處的切線互相平行,即在點處的值相等,畫出導函數(shù)的圖象,如圖, 當時, , 當時, 必須滿足, ,故答案為.
10. (導數(shù)的幾何意義與不等式的結合)已知函數(shù).
(1)當,求的圖象在點處的切線方程;
(2)若對任意都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
11(導數(shù)的綜合應用)【山東省菏澤期中】已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程;
(2)試判斷在區(qū)間上有沒有零點?若有則判斷零點
5、的個數(shù).
【解析】(1)由已知得,有, ,∴在處的切線方程為: ,化簡得
(2)由(1)知,因為,令,得,所以當時,有,則是函數(shù)的單調遞減區(qū)間;
當時,有,則是函數(shù)的單調遞增區(qū)間.當時,函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增;又因為, , ,所以在區(qū)間上有兩個零點.
二.易錯問題糾錯練
12. (不能靈活分析問題和解決問題而致錯)已知函數(shù).
(1)過原點作函數(shù)圖象的切線,求切點的橫坐標;
(2)對,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)方法一:∵不等式對, 恒成立,∴對, 恒成立.設, , , .①當時, , 在, 上單調遞減,即, 不符合題意. ②當時, .設,在, 上
6、單調遞增,即. (?。┊敃r,由,得, 在, 上單調遞增,即, 符合題意; (ii)當時, , , 使得,則在, 上單調遞減,在, 上單調遞增,,則不合題意. 綜上所述, .
(Ⅱ)方法二:∵不等式對, 恒成立,∴對, 恒成立.當時, ;當時, ,不恒成立;同理取其他值不恒成立.當時, 恒成立;當時, ,證明恒成立. 設, , ,
.∴在, 為減函數(shù).,∴.
(Ⅱ)方法三:∵不等式對,恒成立,∴等價于對, 恒成立. 設,當時, ;∴,函數(shù)過點(0,0)和(1,0),函數(shù)過點(1.0),在恒成立,一定存在一條過點(1,0
7、)的直線和函數(shù)、都相切或,一定存在一條過點(1,0)的直線相切和函數(shù)相交,但交點橫坐標小于1,當都相切時.不大于等于0. ∴.
【注意問題】利用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調性、最值,解題時候要注意導函數(shù)的零點和導函數(shù)的符號,有時可將目標不等式等價變形。
13.(分類討論不全而致錯)已知函數(shù).
(1)若時,討論函數(shù)的單調性;
(2)若,過作切線,已知切線的斜率為,求證: .
調遞減區(qū)間為;③若,當或時, ;當時, ;所以的單調遞增區(qū)間為;單調遞減區(qū)間為.
綜上,當時, 單調遞增區(qū)間為;單調遞減區(qū)間為, .當時, 的單調遞減區(qū)間為;當時, 單調遞增區(qū)間為 ;單調遞減區(qū)間為,.
(2)
8、,設切點,斜率為 ① 所以切線方程為 ,將代入得: ② 由 ① 知代入②得:,令,則恒成立,在單增,且, ,令,則,則,在遞減,且.
【注意問題】討論函數(shù)的單調性就是研究導函數(shù)的符號問題,而導函數(shù)的零點起到關鍵性作用,解題時要注意這些零點的大小關系以及與定義域的關系。
三.新題好題好好練
14.已知曲線的一條切線方程為,則實數(shù)?。ā 。?
A.1 B. C. D.
【答案】B
15.已知函數(shù)的導函數(shù)為,且滿足,
若,則( ?。?
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】因為,所以,易知,則,所以,于是由,得,解得,故選
9、D.
16.【甘肅省會寧第三次月考】設函數(shù),曲線在點處的切線方程為,則曲線在點處的切線的斜率為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】對函數(shù),求導可得,∵在點處的切線方程為,∴,∴,∴在點處切線斜率為4,故選C.
17.【廣東省陽春一中第三次月考】設點為函數(shù)與圖象的公共點,以為切點可作直線與兩曲線都相切,則實數(shù)的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
18已知曲線,則曲線的切線的斜率最小值為___________.
【答案】
【解析】令,則,所以,所以,則,當且僅當時等號成立,取得最小值.
19.已知曲線:,曲線:,若對于曲線上任意一點的切線,在曲線上總存在與垂直的切線,則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】