《新編高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)100講 第98 12.2離散型隨機(jī)變量的期望值和方差》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)100講 第98 12.2離散型隨機(jī)變量的期望值和方差（3頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 12.2 離散型隨機(jī)變量的期望值和方差 一、知識(shí)梳理 1.期望：若離散型隨機(jī)變量ξ，當(dāng)ξ=xi的概率為P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），則稱Eξ=∑xi pi為ξ的數(shù)學(xué)期望，反映了ξ的平均值. 期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一確定. 2.方差：稱Dξ=∑（xi－Eξ）2pi為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了ξ的離散程度. 3.性質(zhì)：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b為常數(shù)）. （2）二項(xiàng)分布的期望與方差：若ξ～B（n，p），則Eξ=np，Dξ=npq（q

2、=1－p）. Dξ表示ξ對(duì)Eξ的平均偏離程度，Dξ越大表示平均偏離程度越大，說明ξ的取值越分散. 二、例題剖析 【例1】 設(shè)ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，試求Eξ、Dξ. ξ －1 0 1 P 1－2q q2 拓展提高 既要會(huì)由分布列求Eξ、Dξ，也要會(huì)由Eξ、Dξ求分布列，進(jìn)行逆向思維.如：若ξ是離散型隨機(jī)變量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1

3、一年的保險(xiǎn)期內(nèi)，每個(gè)被保險(xiǎn)人需交納保費(fèi)a元，被保險(xiǎn)人意外死亡則保險(xiǎn)公司賠付3萬元，出現(xiàn)非意外死亡則賠付1萬元.經(jīng)統(tǒng)計(jì)此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率為p2，則a需滿足什么條件，保險(xiǎn)公司才可能盈利? 【例3】 把4個(gè)球隨機(jī)地投入4個(gè)盒子中去，設(shè)ξ表示空盒子的個(gè)數(shù)，求Eξ、Dξ. 特別提示 求投球的方法數(shù)時(shí)，要把每個(gè)球看成不一樣的.ξ=2時(shí)，此時(shí)有兩種情況：①有2個(gè)空盒子，每個(gè)盒子投2個(gè)球；②1個(gè)盒子投3個(gè)球，另1個(gè)盒子投1個(gè)球. 【例4】 若隨機(jī)變量A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0

4、（2）求的最大值. 【例5】 袋中裝有一些大小相同的球，其中有號(hào)數(shù)為1的球1個(gè)，號(hào)數(shù)為2的球2個(gè)，號(hào)數(shù)為3的球3個(gè)，…，號(hào)數(shù)為n的球n個(gè).從袋中任取一球，其號(hào)數(shù)作為隨機(jī)變量ξ，求ξ的概率分布和期望. 【例6】（湖北卷）某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率. 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓

5、〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓 三、同步練習(xí) g3.1098 離散型隨機(jī)變量的期望值和方差 1.設(shè)服從二項(xiàng)分布B（n，p）的隨機(jī)變量ξ的期望和方差分別是2.4與1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n、p的值為B A.n=4，p=0.6 B.n=6，p=0.4 C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1 2.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為C A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 3.設(shè)投擲1顆骰子的點(diǎn)數(shù)為ξ，則B A.Eξ=3.5，Dξ=3.

6、52 B.Eξ=3.5，Dξ= C.Eξ=3.5，Dξ=3.5 D.Eξ=3.5，Dξ= 4.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為ξ，則下列結(jié)論正確的是A A.Eξ=0.1 B.Dξ=0.1 C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－k D.P（ξ=k）=C·0.99k·0.0110－k 5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，則p等于A A. B. C. D. 6.一牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則Dξ等于C A.0

7、.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 7.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，則自動(dòng)包裝機(jī)__乙______的質(zhì)量較好. 8.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p=________時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為__ 5______. 9.甲從學(xué)校乘車回家，途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各交通崗遇紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，則甲回家途中遇紅燈次數(shù)的期望為__1.2______. 10.一次單元測(cè)試由50

8、個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中恰有1個(gè)是正確答案.每題選擇正確得2分，不選或錯(cuò)選得0分，滿分是100分.學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.8，求他在這次測(cè)試中成績(jī)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差. 11.袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球.設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 12.一臺(tái)設(shè)備由三大部件組成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中，各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10，0.20和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以ξ表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ和方差Dξ. 13.將數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱之

9、為一個(gè)巧合，求巧合數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 14.（遼寧卷）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí).對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品. （Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙； （Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在（I）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη； （Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名，可用資金60萬元.設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（II）的條件下，x、y為何值時(shí)，最大？最大值是多少？（解答時(shí)須給出圖示）