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2019-2020年新人教b版高中數(shù)學(xué)必修二2.2.4《點(diǎn)到直線的距離》word教案 【情景導(dǎo)入】 （多媒體投影） 某供電局計(jì)劃年底解決本地區(qū)最后一個(gè)村莊的用電問(wèn)題，經(jīng)過(guò)測(cè)量，若按部門內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖（即：以供電局為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S的正半軸，正北方向?yàn)檩S的正半軸，長(zhǎng)度單位為千米），得知這村莊的坐標(biāo)是，離它最近的只有一條線路通過(guò)，其方程為，問(wèn)要完成任務(wù)，至少需要多長(zhǎng)的電線？ 【引導(dǎo)】 師：你能否通過(guò)幾何的方法找到在線路上哪一點(diǎn)架線才能使電線最短？ 生：由村莊對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向線路所在的直線作垂線，垂足即為所求的點(diǎn)。 師：對(duì)上述問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)求點(diǎn)到直線的距離的問(wèn)題，顯然如果通過(guò)實(shí)地測(cè)量費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而通過(guò)這一節(jié)我們所學(xué)的知識(shí)就可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程直接確定此最短距離，這就是這一節(jié)我們將要學(xué)習(xí)的（書寫課題）：點(diǎn) 到直線的距離 【引導(dǎo)】 師：上幾節(jié)我們通過(guò)直線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)采用代數(shù)的方法解決了兩直線的交點(diǎn)及兩點(diǎn)間的距離等幾何問(wèn)題，我們知道點(diǎn)到直線的距離就是由點(diǎn)向相應(yīng)的直線作垂線，垂足到該點(diǎn)的距離即為點(diǎn)到直線的距離，它是直線上各點(diǎn)和該點(diǎn)連線的最短距離。那么如圖如何由已知點(diǎn)P0（x0,y0）,直線L：Ax+BY+C=0確定點(diǎn)P0直線L的距離呢？ （師生互動(dòng)） 師：如圖點(diǎn)P0到直線的距離即為線段P0Q的長(zhǎng)度，我們能否利用上一節(jié)兩點(diǎn)間的距離來(lái)解決呢？如何解決？請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)出你的解題思路（只說(shuō)解法，不要求學(xué)生具體解答） 生：思考并討論。 師：巡視指導(dǎo)，并點(diǎn)拔“求解兩點(diǎn)間的距離關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)可由我們學(xué)過(guò)的什么知識(shí)解決？”“如何寫出直線P0Q的方程？” 生：由P0Q，故直線的斜率為，從而直線P0Q的方程可求，而點(diǎn)Q為直線P0Q和直線的交點(diǎn)，利用兩直線的方程通過(guò)解方程組的方法可解出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可確定P0Q的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到直線的距離。 師:回答的很好，思路很清晰，但顯然具體的求解過(guò)程非常復(fù)雜，解析幾何在解題過(guò)程中往往就有這樣的特點(diǎn)，看似可行，但具體操作太過(guò)繁雜，只有換種思維才能順利解答。 【引導(dǎo)】 師：我們知道線段的長(zhǎng)要利用三角形來(lái)求解．如何構(gòu)造一個(gè)含所求線段又易于求解的三角形是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，如圖當(dāng)直線與x軸和y軸都相交時(shí)，過(guò)點(diǎn)P0分別作x軸和y軸的平行線，交直線于點(diǎn)R和S，那么P0Q即可在直角三角形P0RS中求得。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這種思路完成此題。 生：動(dòng)手解答。 師：（多媒體投影）當(dāng)A0，B0，則直線L與x軸y軸都相交，過(guò)點(diǎn)P0分別作x軸和y軸的平行線，交直線于點(diǎn)R和S，則直線P0R的方程為：y=y0,R的坐標(biāo)為 【師生互動(dòng)】 師：上述求解過(guò)程還有沒(méi)有問(wèn)題？如何加以補(bǔ)充？ 生：討論。 師：點(diǎn)拔“平面上任一直線的位置關(guān)系可分為哪幾類”“求解過(guò)程中點(diǎn)到直線的距離公式是在什么條件求解的？”“當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)是否符合上述公式？” 生：計(jì)算并驗(yàn)證。 【點(diǎn)拔】 師：（1）當(dāng)A＝0或B＝0即直線平行于x軸或y軸時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P0（x0,y0）到直線距離d=,到直線的距離，顯然這兩種特殊情況均符合公式 因此我們把叫做平面上點(diǎn)到直線的距離公式。 （2）1．公式的結(jié)構(gòu)特征：分子是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程一般式的左邊得到的代數(shù)式加絕對(duì)值，分母是。 　　2．公式的適用范圍：①該公式對(duì)于任何位置的點(diǎn)P（包括直線上的點(diǎn)）及任意直線都適合。②當(dāng)A=0或B=0時(shí)，公式仍成立，但計(jì)算時(shí)常用圖形直接求解。 　　3．使用公式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：使用點(diǎn)到直線距離的公式時(shí)，應(yīng)先將直線方程化為一般式。 　　4．用方程的觀點(diǎn)理解公式：該公式是含有6個(gè)量的方程，知道其中5個(gè)量可以求第6個(gè)量。 師：下面通過(guò)具體例題來(lái)熟悉公式的應(yīng)用。 （多媒體投影） 例1 點(diǎn)A(a，6)到直線3x-4y=2的距離等于4，求a的值． 【學(xué)生思考并解答】 解 應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式，解關(guān)于a的方程： 【點(diǎn)拔】 兩側(cè)，如圖(1-31)．由解的過(guò)程可知；當(dāng)3a-26＞0時(shí)，所求點(diǎn)在已知直線的下方，當(dāng)3a-26＜0時(shí)，所求點(diǎn)在已知直線的上方． （多媒體投影） 已知點(diǎn)A（1,3）、B（3,1）、C（－1,0）求三角形ABC的面積。 （師生互動(dòng)） 師：要確定三角形ABC的面積根據(jù)面積公式，需確定三角形一邊邊長(zhǎng)及此邊上的高，如何根據(jù)條件確定這兩個(gè)量？ 生：分析條件并回答，可由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式確定AB的長(zhǎng)，AB邊上的高可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到直線AB的距離。 師：好！請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這種思路解答。 （學(xué)生解完后教師用多媒體投影） 解：如圖： 設(shè)AB邊上的高為h，則，AB邊上的高即為點(diǎn)C到直線AB的距離。由直線方程的兩點(diǎn)式AB所在直線的方程為：，即x+y-4=0，點(diǎn)C（－1,0）到直線x+y-4=0的距離，因此。 【點(diǎn)拔】師：求點(diǎn)P（x,y）到直線Ax+By+C=0的距離的步驟是： （1） 給點(diǎn)的坐標(biāo)賦值：x1=?,y1=?（2）給A、B、C賦值：A＝？B＝？C＝？ （3）計(jì)算（4）給出d的值。 （遷移應(yīng)用一）（多媒體投影） 求過(guò)點(diǎn)，且與原點(diǎn)的距離等于的直線方程。 （師生互動(dòng)） 師：如何根據(jù)條件設(shè)出直線的方程？在設(shè)直線方程時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題？ 生：已知直線上一點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn)斜式方程，但應(yīng)注意驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)是否符合條件。 師：請(qǐng)同學(xué)們給出此題的答案。 生：再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出直線方程為或。 （新知探究二） 【引導(dǎo)】 師：兩條平行線間的距離是指夾在兩平行線間的公垂線段的長(zhǎng)，我們知道當(dāng)兩直線平行時(shí)，兩平行線的距離處處相等，若已知兩平行線的方程為，你能否根據(jù)點(diǎn)到直線的距離推出任意兩條平行線間的距離？你能說(shuō)出你的思路嗎？ 生：由平面幾何知識(shí)知，兩平行線的距離等于其中一平行線上任意一點(diǎn)到另一平行線的距離，故可在其中一直線上取一點(diǎn)利用點(diǎn)到直線的距離即可確定。 師：如何取點(diǎn)，使計(jì)算簡(jiǎn)單？你能說(shuō)出你的理由嗎？ 生：取直線與X軸或Y軸的交點(diǎn)，代入距離公式的分子時(shí)其中有一個(gè)為零。 師：好！請(qǐng)同學(xué)們自已動(dòng)手推導(dǎo)兩平行線間的距離公式。 （多媒體投影）已知兩平行線的方程分別為，當(dāng)A0、B0時(shí)在直線上取與X軸的交點(diǎn)P（，0），則點(diǎn)到P到直線的距離為.經(jīng)驗(yàn)證知當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)，兩直線都平行于X軸或Y軸時(shí)也適合公式。 師：下面通過(guò)題目鞏固公式的應(yīng)用。 （多媒體投影）已知直線L1：2x-7y-8=0,L2:6x-21y-1=0,L1和L2是否平行？若平行，求L1和L2間的距離。 （師生互動(dòng)） 師：如何根據(jù)兩直線方程，來(lái)判斷兩直線的位置關(guān)系？ 生：一般根據(jù)直線的斜截式方程來(lái)判斷，若兩直線的斜率相等截距不等，兩直線一定平行。 師：你能用我們所學(xué)的知識(shí)用兩種方法解答該題嗎？ 【學(xué)生思考并解答】 解：L1的斜率 L2的斜率，故兩直線平行。 法一。易求直線L1與X軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0），點(diǎn)A到直線L2的距離為。 法二。直線L2的方程可化為2x-7y-=0,根據(jù)兩平行線間的距離公式。 【點(diǎn)撥】 師：注意兩平行線間距離公式的適用范圍是兩直線的方程為，即方程的系數(shù)A、B相等的前提下才能適用，不滿足條件的要化簡(jiǎn)后才能使用。 （遷移應(yīng)用二）（多媒體投影） 求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程。 【師生互動(dòng)】 師：中心對(duì)稱的兩直線的位置關(guān)系是怎樣的？它具備什么樣的幾何特征？ 生：中心對(duì)稱的兩直線是互相平行的，并且中心到這兩條直線的距離相等。 師：據(jù)此如何設(shè)出要求直線的方程的形式？ 生：根據(jù)平行的直線系方程可設(shè)直線方程為。 師：請(qǐng)同學(xué)們解答此題。 （多媒體投影）設(shè)所求直線方程為，則得(已知直線)或，∴所求的直線為。 【點(diǎn)拔】 師：解答此類題目，應(yīng)緊緊把握對(duì)稱的幾何特征，利用對(duì)稱的幾何關(guān)系構(gòu)造條件。 【知能總結(jié)】 （學(xué)生總結(jié)教師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容： 1、點(diǎn)到直線的距離公式及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，及公式的應(yīng)用。 2、點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)。 3．兩平行線間的距離。 教學(xué)思想和方法 教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生研究探索的能力。 作業(yè)：P116習(xí)題3.3第9第10兩題 附一板書設(shè)計(jì)： 課題：點(diǎn)到直線的距離 一.1．點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)。 2．公式應(yīng)用 二．兩平行線間的距離 公式應(yīng)用 三小結(jié) 1． 2． 3 作業(yè) 附二教學(xué)札記 設(shè)計(jì)說(shuō)明 點(diǎn)到直線的距離公式是解決理論和實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要工具，教學(xué)中理應(yīng)予以重視．但在以往的教學(xué)過(guò)程中遇到的最大困難是：思路自然的則運(yùn)算很繁，而運(yùn)算較簡(jiǎn)單的解法則思路又很不自然．這樣就造成了教學(xué)中通常采用“滿堂灌”、“注入式”，學(xué)生的思維得不到應(yīng)有的訓(xùn)練，學(xué)生的主體作用也不能充分體現(xiàn)出來(lái)．為避免這個(gè)問(wèn)題，有必要很好地探討一下，“點(diǎn)到直線的距離公式”的教學(xué)如何更合理，怎樣把教學(xué)過(guò)程變成師生共同探索、發(fā)現(xiàn)公式的過(guò)程，怎樣使推導(dǎo)過(guò)程自然而簡(jiǎn)練． 本節(jié)課是“兩條直線的位置關(guān)系”的最后一個(gè)內(nèi)容，在復(fù)習(xí)引入時(shí)，有意識(shí)地涉及兩直線垂直、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)，既幫助學(xué)生整理、復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，也讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中自己“發(fā)現(xiàn)”尚未解決的問(wèn)題，使新授知識(shí)在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到生長(zhǎng)點(diǎn)，自然地引出新問(wèn)題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生形成合理、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．教學(xué)過(guò)程中，逐步逼近目標(biāo)，在這過(guò)程中展示了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的思維過(guò)程．學(xué)生能夠自覺地、主動(dòng)地參與進(jìn)來(lái)，教師的主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體作用都得以充分體現(xiàn)，經(jīng)常這樣做，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力必將逐步得到提高．通過(guò)對(duì)本節(jié)課教學(xué)的探討，力求打破照本宣科、滿堂灌、注入式的舊模式，希望達(dá)到較好的效果，使學(xué)生的思維得到有效訓(xùn)練，并能充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用．