課堂達標(二十八) 等比數(shù)列及其前n項和 [A基礎鞏固練] 1．(2018湖南省常德市一模)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝14，a3＝8，則a6等于(　　) A．16　　　 B．32　　　 C．64　　　 D．128 [解析]　∵S3＝14，a3＝8，∴， 解得a1＝2，q＝2，∴a6＝a1q5＝232＝64，故選：C. [答案]　C 2．(2018衡水模擬)已知正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}，若a1a20＝100，那么a7＋a14的最小值為(　　) A．20　　　 B．25 C．50　　　 D．不存在 [解析]　(a7＋a14)2＝a＋a＋2a7a14≥4a7a14＝4a1a20＝400.∴a7＋a14≥20. [答案]　A 3．(2018河北三市第二次聯(lián)考)古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思為：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 [解析]　設該女子第一天織布x尺，則＝5，得x＝，∴前n天所織布的尺數(shù)為(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，則n的最小值為8. [答案]　B 4．(2018成都模擬)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于(　　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C.(1－4－n) D.(1－2－n) [解析]　∵a2＝2，a5＝，∴a1＝4，q＝. a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)． [答案]　C 5．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若存在m∈N*，滿足＝9，＝，則數(shù)列{an}的公比為(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 [解析]　設公比為q，若q＝1，則＝2，與題中條件矛盾，故q≠1.∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8. ∴＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2. [答案]　B 6．(2018鄭州一模)已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對任意n∈N*都有＋＋…＋<t，則實數(shù)t的取值范圍為(　　) A. B. C. D. [解析]　∵數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2，∴n＝1時，a1＝2，當n≥2時，a1a2a3…an－1＝2(n－1)2，可得：an＝22n－1，∴＝，數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為，∴＋＋…＋＝＝<，因為對任意n∈N*都有＋＋…＋<t，則t的取值范圍為，故選D. [答案]　D 7．已知數(shù)列{an}的首項為1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn＝，若b10b11＝2，則a21＝______. [解析]　∵b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b2a2＝b1b2， ∵b3＝，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3…bn－1， ∴a21＝b1b2b3…b20＝(b10b11)10＝210＝1 024. [答案]　1 024 8．(2018長春調(diào)研)在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝______. [解析]　設數(shù)列{an}的公比為q， 由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12， 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324， 因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14. [答案]　14 9．(2018河北武邑中學二模)設公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2，a5，a11成等比數(shù)列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，則m＋n的值是______． [解析]　a＝a2a11?(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，(d≠0)整理得a1＝2d，a11＝2(Sm－Sn)， 可得a1＋10d＝2， 化簡得(m2－n2)＋3(m－n)＝12， 即(m－n)(m＋n＋3)＝12， 因為m>n>0，m，n∈N*， 所以m＝5，n＝4，所以m＋n＝9，故填：9. [答案]　9 10．數(shù)列{an}滿足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－，n∈N*. (1)求a3的值； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Tn. [解]　(1)令n＝1?a1＝1； 令n＝2?a1＋2a2＝2?a2＝； 令n＝3?a1＋2a2＋3a3＝4－?a3＝. (2)當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝4－，① a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan＝4－.② ②－①，得nan＝－＝，∴an＝， 又∵當n＝1時，a1＝1也適合an＝， ∴an＝(n∈N*)，易證數(shù)列{an}是等比數(shù)列， 首項a1＝1，公比q＝. ∴數(shù)列{an}的前n項和Tn＝＝2－. [B能力提升練] 1．設{an}是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1,2，…)，則{An}為等比數(shù)列的充要條件是(　　) A．{an}是等比數(shù)列 B．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列 C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列 D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同 [解析]　∵Ai＝aiai＋1，若{An}為等比數(shù)列，則＝＝為常數(shù)，即＝，＝，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比數(shù)列，且公比相等．反之，若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比相等，設為q，則＝＝q，從而{An}為等比數(shù)列． [答案]　D 2．若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于(　　) A．6　　 B．7 C．8　　 D．9 [解析]　由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p>0，q>0，∴a>0，b>0.在a，b，－2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有a，－2，b；b，－2，a. ∴或解得或 ∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故選D. [答案]　D 3．(2018衡水中學第六次調(diào)研)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}首項為，且滿足a－anan－1－n(n＋1)a＝0，公差不為零的等差數(shù)列{bn}的前項和為Sn，S5＝15，且b1，b3，b9成等比數(shù)列設cn＝，求數(shù)列{cn}的前項和Tn＝______. [解析]　(1)a－anan－1－n(n＋1)a＝(an＋nan－1)(an－(n＋1)an－1)＝0，因為{an}各項均為正數(shù)，則an＋nan－1>0，∴an－(n＋1)an－1＝0即an＝(n＋1)an－1則an－1＝nan－2，an－2＝(n－1)an－3，…a2＝3a1上面n－1個式子相乘得an＝(n＋1)！，設{bn}的公差d,5b1＋10d＝15，(b1＋2d)2＝b1(b1＋8d)，解之得b1＝1，d＝1，bn＝n，cn＝＝＝＝－. [答案]　1－ 4．(2017課標Ⅰ)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是(　　) A．440 B．330 C．220 D．110 [解析]　由題意得，數(shù)列如下： 1， 1,2， 1,2,4， … 1,2,4，…，2k－1 … 則該數(shù)列的前1＋2＋…＋k＝項和為S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k)＝2k＋1－k－2 要使>100，有k≥14，此時k＋2<2k＋1，所以k＋2是之后的等比數(shù)列1,2，…，2k＋1的部分和，即k＋2＝1＋2＋…＋2t－1＝2t－1， 所以k＝2t－3≥14，則t≥5，此時k＝25－3＝29， 對應滿足的最小條件為N＝＋5＝440，故選A. [答案]　A 5．(2018太原二模)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a－a＝a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)，若存在正整數(shù)m，n(1＜m＜n)，使得b1，bm，bn成等比數(shù)列，求m，n的值． [解]　(1)因為a－a＝a＋anan＋1，即(an＋1＋an)(2an－an＋1)＝0，又an＞0，所以有2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1，所以數(shù)列{ an}是公比為2的等比數(shù)列，由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2，所以，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n(n∈N*)． (2)bn＝＝，若b1，bm，bn成等比數(shù)列，則2＝，即3m2＋n(2m2－4m－1)＝0，所以2m2－4m－1＜0，解得1－＜m＜1＋，又m∈N*，且m＞1，所以m＝2，此時n＝12. [C尖子生專練] 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. (1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn； (2)求T2n. [解]　(1)∵anan＋1＝n，∴an＋1an＋2＝n＋1，∴＝，即an＋2＝an. ∵bn＝a2n＋a2n－1，∴＝＝＝， ∵a1＝1，a1a2＝，∴a2＝?b1＝a1＋a2＝. ∴{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列． ∴bn＝n－1＝. (2)由(1)可知，an＋2＝an， ∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項，以為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝＋＝3－.