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1、 【導與練】（新課標）20xx屆高三數學一輪復習 第2篇 第9節(jié) 函數模型及其應用課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 用函數(圖象)刻畫實際問題中兩變量的變化過程 1、2、3、6 一次函數、二次函數模型 9、10 函數y=x+ax(a>0)模型 4、12 指數函數模型 5、7、8 分段函數模型 11、13、14、15、16 基礎過關 一、選擇題 1.(20xx蘭州模擬)如圖,下面的四個容器高度都相同,將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,注滿為止.用下面對應的圖象表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關系,其中不正確的有(　A　)

2、 (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 解析:將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和時間t之間的關系可以從高度隨時間的變化率上反映出來,圖①應該是勻速的,故下面的圖象不正確,②中的變化率是越來越慢的,正確;③中的變化規(guī)律是逐漸變慢再變快,正確;④中的變化規(guī)律是逐漸變快再變慢,也正確,故只有①是錯誤的. 2.若一根蠟燭長20 cm,點燃后每小時燃燒5 cm,則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數關系用圖象表示為(　B　) 解析:根據題意得解析式為h=20-5t(0≤t≤4),其圖象為B. 3.(20xx福州模擬)在一次數學實驗中,

3、運用計算器采集到如下一組數據: x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 則y關于x的函數關系與下列函數最接近的(其中a,b為待定系數)是(　B　) (A)y=a+bx (B)y=a+bx (C)y=ax2+b (D)y=a+bx 解析:由x=0時,y=1,排除D;由f(-1.0)≠f(1.0),排除C;由函數值增長速度不同,排除A. 4.已知某矩形廣場的面積為4萬平方米,則其周長至少為(　A　) (A)800米 (B)900米 (C)1000米 (D)1200米 解析:設這個廣場的

4、長為x米, 則寬為40000x米, 所以其周長為l=2(x+40000x)≥800,當且僅當x=200時取等號. 5.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數衰減曲線y=aent.假設過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等,若再過m分鐘甲桶中的水只有a8,則m的值為(　D　) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解析:根據題意12=e5n, 令18a=aent,即18=ent, 因為12=e5n,故18=e15n, 比較知t=15,m=15-5=10. 6.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0

5、,不考慮樹的粗細,現在用16 m長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD.設此矩形花圃的面積為S m2,S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花圃內,則函數u=f(a)的圖象大致是(　C　) 解析:設CD=x,則S=x(16-x)(4

6、8月份的產值是b(1+a)12.又由增長率的概念知,這兩年內的第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率為b(1+a)12-bb=(1+a)12-1. 答案:(1+a)12-1 8.(20xx沈陽模擬)一個容器裝有細沙a cm3,細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地勻速漏出,t min后剩余的細沙量為y=ae-bt(cm3),經過8 min后發(fā)現容器內還有一半的沙子,則再經過　　　　min,容器中的沙子只有開始時的八分之一.? 解析:依題意有a·e-b×8=12a, ∴b=ln28, ∴y=a·e-ln28·t 若容器中的沙子只有開始時的八分之一, 則有a·e-ln28·t=18a

7、. 解得t=24, 所以再經過的時間為24-8=16 min. 答案:16 9.國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為:不超過800元的不納稅;超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅;超過4000元的按全稿酬的11%納稅.某人出版了一書共納稅420元,這個人的稿費為 　　　　元.? 解析:420<4000×11%, 所以稿費范圍是(800,4000], 所以(x-800)×14%=420, 解得x=3800. 答案:3800 10.某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元,預測六月份銷售額為500萬元,七月份銷售額比六月份遞增x%,八月份銷售額比七月份遞增

8、x%,九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等.若一月份至十月份銷售總額至少達7000萬元,則x的最小值是　　　　.? 解析:七月份的銷售額為500(1+x%),八月份的銷售額為500(1+x%)2, 則一月份到十月份的銷售總額是 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2], 根據題意有3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令t=1+x%,則25t2+25t-66≥0, 解得t≥65或t≤-115(舍去), 故1+x%≥65, 解得x≥20.故x的最小值為20. 答案

9、:20 三、解答題 11.(20xx珠海模擬)某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中,發(fā)現其注意力指數p與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線.當t∈(0,14]時,曲線是二次函數圖象的一部分,當t∈[14,40]時,曲線是函數y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據專家研究,當注意力指數p大于等于80時聽課效果最佳. (1)試求p=f(t)的函數關系式. (2)老師在什么時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳?請說明理由. 解:(1)t∈(0,14]時, 設p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將(14,81)代

10、入得c=-14, t∈(0,14]時,p=f(t)=-14(t-12)2+82;t∈[14,40]時,將(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=13, 所以p=f(t)=-14(t-12)2+82,t∈(0,14],log13(t-5)+83,t∈(14,40]. (2)t∈(0,14]時,由-14(t-12)2+82≥80, 解得12-22≤t≤12+22, 所以t∈[12-22,14], t∈(14,40]時,由log13(t-5)+83≥80,解得5

11、排核心內容能使得學生聽課效果最佳. 12.某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品,其生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸)之間的函數關系式可以近似地表示為y=x25-48x+8000,已知此生產線年產量最大為210噸. (1)求年產量為多少噸時,生產每噸產品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每噸產品平均出廠價為40萬元,那么當年產量為多少噸時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少? 解:(1)每噸平均成本為yx(萬元). 則yx=x5+8000x-48≥2x5·8000x-48=32, 當且僅當x5=8000x,即x=200時取等號. ∴年產量為200噸時,每噸平均成本最低

12、為32萬元. (2)設年獲得總利潤為R(x)萬元, 則R(x)=40x-y=40x-x25+48x-8000 =-x25+88x-8000 =-15(x-220)2+1680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函數, ∴x=210時, R(x)有最大值為-15(210-220)2+1680=1660. ∴年產量為210噸時,可獲得最大利潤1660萬元. 能力提升 13.某種新藥服用x小時后血液中的殘留量為y毫克,如圖所示為函數y=f(x)的圖象,當血液中藥物殘留量不小于240毫克時,治療有效.設某人上午8:00第一次服藥,為保證療效,則第二次服藥最遲的時間

13、應為(　C　) (A)上午10:00 (B)中午12:00 (C)下午4:00 (D)下午6:00 解析:當x∈[0,4]時,設y=k1x, 把(4,320)代入,得k1=80, ∴y=80x. 當x∈[4,20]時,設y=k2x+b. 把(4,320),(20,0)代入得4k2+b=320,20k2+b=0. 解得k2=-20,b=400. ∴y=400-20x. ∴y=f(x)=80x,　　　　0≤x≤4,400-20x,4

14、≤8. 故第二次服藥最遲應在當日下午4:00.故選C. 14.某商品在最近100天內的單價f(t)與時間t的函數關系是f(t)=t4+22,0≤t<40,t∈N,-t2+52,40≤t≤100,t∈N,日銷售量g(t)與時間t的函數關系是g(t)=-t3+1093(0≤t≤100,t∈N).則這種商品的日銷售額的最大值為　　　　.? 解析:由已知銷售價 f(t)=t4+22,0≤t<40,t∈N,-t2+52,40≤t≤100,t∈N, 銷售量g(t)=-t3+1093(0≤t≤100,t∈N). ∴日銷售額為s(t)=f(t)g(t), 當0≤t<40時, s(t)=(t4+

15、22)(-13t+1093) =-112t2+7t4+23983 此函數的對稱軸為x=212, 又t∈N,最大值為s(10)=s(11)=16172=808.5; 當40≤t≤100時, s(t)=(-t2+52)(-13t+1093) =16t2-213t6+56683, 此時函數的對稱軸為x=2132>100,最大值為s(40)=736. 綜上,這種商品日銷售額s(t)的最大值為808.5. 答案:808.5 15.設某旅游景點每天的固定成本為500元,門票每張為30元,變動成本與購票進入旅游景點的人數的算術平方根成正比.一天購票人數為25時,該旅游景點收支平衡;一天購

16、票人數超過100時,該旅游景點需另交保險費200元.設每天的購票人數為x,盈利額為y元. (1)求y與x之間的函數關系; (2)該旅游景點希望在人數達到20人時就不出現虧損,若用提高門票價格的措施,則每張門票至少要多少元(取整數)?(參考數據: 2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24) 解:(1)根據題意,當購票人數不多于100時,可設y與x之間的函數關系為 y=30x-500-kx(k為常數,k∈R且k≠0). ∵人數為25時,該旅游景點收支平衡, ∴30×25-500-k25=0,解得k=50. ∴y=30x-50x-500(x∈N*,x≤100),30x-50x-700(

17、x∈N*,x>100). (2)設每張門票價格提高為m元,根據題意,得m×20-5020-500≥0, ∴m≥25+55≈36.2,故每張門票最少要37元. 探究創(chuàng)新 16.某地近年來持續(xù)干旱,為倡導節(jié)約用水,該地采用了“階梯水價”計費方法,具體方法:每戶每月用水量不超過4噸的每噸2元;超過4噸而不超過6噸的,超出4噸的部分每噸4元;超過6噸的,超出6噸的部分每噸6元. (1)寫出每戶每月用水量x(噸)與支付費用y(元)的函數關系; (2)該地一家庭記錄了去年12個月的月用水量(x∈N*)如表: 月用水量x(噸) 3 4 5 6 7 頻數 1 3 3 3 2

18、 請你計算該家庭去年支付水費的月平均費用(精確到1元); (3)今年干旱形勢仍然嚴峻,該地政府號召市民節(jié)約用水,如果每個月水費不超過12元的家庭稱為“節(jié)約用水家庭”,隨機抽取了該地100戶的月用水量作出如下統(tǒng)計表: 月用水量x(噸) 1 2 3 4 5 6 7 頻數 10 20 16 16 15 13 10 據此估計該地“節(jié)約用水家庭”的比例. 解:(1)y關于x的函數關系式為 y=2x,0≤x≤4,4x-8,46. (2)由(1)知:當x=3時,y=6; 當x=4時,y=8;當x=5時,y=12; 當x=6時,y=16;當x=7時,y=22. 所以該家庭去年支付水費的月平均費用為 112(6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)≈13(元). (3)由(1)和題意知:當y≤12時,x≤5, 所以“節(jié)約用水家庭”的頻率為77100=77%,據此估計該地“節(jié)約用水家庭”的比例為77%.