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2019-2020年高三數(shù)學(xué)《空間向量》教學(xué)設(shè)計(jì) 考綱導(dǎo)讀 1．理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘． 2．了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念；掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 空間向量 定義、加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算 數(shù)量積 坐標(biāo)表示：夾角和距離公式 求距離 求空間角 證明平行與垂直 3．掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式． 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 高考導(dǎo)航 理解空間向量的夾角的概念；掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律；了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義；掌握空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式；能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直. 第1課時(shí) 空間向量及其運(yùn)算 基礎(chǔ)過關(guān) 空間向量是平面向量的推廣．在空間，任意兩個(gè)向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為平面向量．因此，空間向量的加減、數(shù)乘向量運(yùn)算也是平面向量對(duì)應(yīng)運(yùn)算的推廣． 本節(jié)知識(shí)點(diǎn)是： 1．空間向量的概念，空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積； (1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且長(zhǎng)度 ． (3) 向量加法法則： ． (4) 向量減法法則： ． (5) 數(shù)乘向量法則： ． 2．線性運(yùn)算律 (1) 加法交換律：a＋b＝ ． (2) 加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝ ． (3) 數(shù)乘分配律：(a＋b)＝ ． 3．共線向量 (1)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相 或 ． (2) 共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b0)，a∥b等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使 ． (3) 直線的向量參數(shù)方程：設(shè)直線l過定點(diǎn)A且平行于非零向量a，則對(duì)于空間中任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在l上等價(jià)于存在，使 ． 4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：兩個(gè)向量a、b不共線，則向量P與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)()，使P ． 共面向量定理的推論： ． 5．空間向量基本定理 (1) 空間向量的基底： 的三個(gè)向量． (2) 空間向量基本定理：如果a，b，c三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間中任意一個(gè)向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 ． 空間向量基本定理的推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的的四點(diǎn)，則對(duì)空間中任意一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 ． 6．空間向量的數(shù)量積 (1) 空間向量的夾角： ． (2) 空間向量的長(zhǎng)度或模： ． (3) 空間向量的數(shù)量積：已知空間中任意兩個(gè)向量a、b，則ab＝ ． 空間向量的數(shù)量積的常用結(jié)論： (a) cos〈a、b〉＝ ； (b) a2＝ ； (c) ab ． (4) 空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律： (a) 交換律ab＝ ； (b) 分配律a(b＋c)＝ ． 典型例題 例1．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心，若，求x－y的值. 解：易求得 變式訓(xùn)練1. 在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 ( ) A B C D A1 C1 B1 A．-a＋b＋c B．a(chǎn)＋b＋c C．a(chǎn)-b＋c D．-a-b＋c 解：A 例2. 底面為正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)， 求證：AB1∥平面C1BD. 證明：記則∴,∴共面. ∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD. 變式訓(xùn)練2：正方體ABCD－EFGH中，M、N分別是對(duì)角線AC和BE上的點(diǎn)，且AM＝EN． (1) 求證：MN∥平面FC； (2) 求證：MN⊥AB； (3) 當(dāng)MA為何值時(shí)，MN取最小值，最小值是多少？ 解：(1) 設(shè) (2) (3) 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a, 也即， 例3. 已知四面體ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分別是△ABC和△ACD的重心． 求證：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD． 證明：(1) AD⊥BC．因?yàn)锳BCD，，而． 所以AD⊥BC． (2) 設(shè)E、F各為BC和CD的中點(diǎn)．欲證GH∥BD，只需證GH∥EF，＝()＝． 變式訓(xùn)練3：已知平行六面體，E、F、G、H分別為棱的中點(diǎn)．求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面． 解：＝ ＝＝＝， 所以共面，即點(diǎn)E、F、G、H共面． 例4. 如圖，平行六面體AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝，過E、F、G的平面與對(duì)角線AC1交于點(diǎn)P，求AP:PC1的值． D F A G B B1 C1 D1 A1 C E P 解：設(shè) ∴ 又∵E、F、G、P四點(diǎn)共面，∴ ∴ ∴AP︰PC1＝3︰16 變式訓(xùn)練4：已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，若AB＝OC，求證． 證明：法一： 故 法二：＝(＋)(＋) ＝ ＝＝0 小結(jié)歸納 1．立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過向量運(yùn)算來證明．對(duì)于垂直，一般是利用a⊥bab＝0進(jìn)行證明．對(duì)于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明． 2．運(yùn)用向量求解距離問題，其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線段所對(duì)向量，然后計(jì)算這個(gè)向量對(duì)應(yīng)的模．而計(jì)算過程中只要運(yùn)用好加法法則，就總能利用一個(gè)一個(gè)的向量三角形，將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來，從而求得結(jié)果． 3．利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時(shí)也很方便．其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角，而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用公式cosθ＝． 4．異面直線間的距離的向量求法：已知異面直線l1、l2，AB為其公垂線段，C、D分別為l1、l2上的任意一點(diǎn)，為與共線的向量，則｜｜＝. 5．設(shè)平面α的一個(gè)法向量為，點(diǎn)P是平面α外一點(diǎn)，且Po∈α，則點(diǎn)P到平面α的距離是d＝. 第2課時(shí) 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 基礎(chǔ)過關(guān) 設(shè)a＝，b＝ (1) ab＝ (2) a＝ ． (3) ab＝ ． (4) a∥b ；ab ． (5) 設(shè) 則＝ ， ． AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ． 典型例題 例1. 若＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5) （1）若(k+)∥(－3)，求實(shí)數(shù)k的值； （2）若(k+)⊥(－3)，求實(shí)數(shù)k的值； （3）若取得最小值，求實(shí)數(shù)k的值． 解：(1)； (2)； (3) 變式訓(xùn)練1. 已知為原點(diǎn)，向量∥，求． 解：設(shè)， ∵∥，∴，， ∴，即 解此方程組，得。 ∴，。 x y z B1 C1 A1 C B A M N 例2. 如圖，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分別A1B1、A1A是的中點(diǎn)． (1) 求BM的長(zhǎng)； (2) 求的值； (3) 求證：． 解：以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系. (1) 依題意得B（0，1，0），M（1，0，1）．. (2) 依題意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）. . (3) 證明：依題意得C1（0，0，2），N. 變式訓(xùn)練2. 在四棱錐P－ABCD中， 底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點(diǎn)． (1) 在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離； (2) 求(1) 中的點(diǎn)N到平面PAC的距離． A B C P E D 解：(1) 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－BDP，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依題設(shè)N(x, 0, z)，則＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC， ∴ 即 ，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(, 0, 1)， 從而N到AB、AP的距離分別為1，. (2) 設(shè)N到平面PAC的距離為d，則d＝ ＝. C D B A P E 例3. 如圖，在底面是棱形的四棱錐中，，點(diǎn)E在上，且:＝2:1． (1) 證明 平面； (2) 求以AC為棱，與為面的二面角的大?。? (3) 在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使∥平面？證明你的結(jié)論． 解：（1）證明略； （2）易解得； （3）解 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直于平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為 所以，， ，設(shè)點(diǎn)F是棱上的點(diǎn)，，其中，則．令得 解得，即時(shí)，．亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí)，共面，又平面，所以當(dāng)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，∥平面． 例4. 如圖，多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4. (1) 求和點(diǎn)G的坐標(biāo)； (2) 求GE與平面ABCD所成的角； Z A D G E F C B x y (3) 求點(diǎn)C到截面AEFG的距離． 解：(1) 由圖可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(xiàn)(0，4，4) ∴ 又∵，設(shè)G(0，0，z)，則(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD的法向量 ，設(shè)GE與平面ABCD成角為，則 ∴ (3)設(shè)⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0) ∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3) ∴ 取z0＝4，則＝(4，－3，4) ∵ 即點(diǎn)C到截面AEFG的距離為． 變式訓(xùn)練4. 如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點(diǎn)． (1)求異面直線GE與PC所成的角的余弦值； P A G B C D F E (2)求點(diǎn)D到平面PBG的距離； (3)若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且DF⊥GC，求的值． 解：(1)以G點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸、y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2，0，0)，C(0，2，0)， P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。， ∴GE與PC所成的余弦值為． (2)平面PBG的單位法向量n＝(0，1，0) . ∵， ∴點(diǎn)D到平面PBG的距離為n |＝. (3)設(shè)F(0，y，z)，則。 ∵，∴， 即， ∴ , 又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1， 小結(jié)歸納 故F(0，，1) ，，∴。 對(duì)于以下幾類立體幾何問題：(1) 共線與共面問題；(2) 平行與垂直問題；(3) 夾角問題；(4) 距離問題；(5) 探索性問題． 運(yùn)用向量來解決它們有時(shí)會(huì)體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢(shì)．用空間向量解題的關(guān)鍵步驟是把所求向量用某個(gè)合適的基底表示，本節(jié)主要是用單位正交基底表示，就是適當(dāng)?shù)亟⑵鹂臻g直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，然后進(jìn)行向量與向量的坐標(biāo)運(yùn)算，最后通過向量在數(shù)量上的關(guān)系反映出向量的空間位置關(guān)系，從而使問題得到解決．在尋求向量間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，一個(gè)基本的思路是列方程，解方程． 空間向量章節(jié)測(cè)試題 1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為（ ） A． B． C． D． 2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,則AB1與C1B所成的角的大小為 A.60 B. 90 C.105 D. 75 3．正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點(diǎn)，則直線ED與D1F所成角的大小是 （ ） A． B。 C。 D。 4． 設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點(diǎn)，在正方體的12條面對(duì)角線中，與截面A1ECF成60角的對(duì)角線的數(shù)目是 （ ） A．0 B．2 C．4 D．6 5．棱長(zhǎng)都為2的直平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60，則對(duì)角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為 （ ） A． B． C． D． 6． 在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于 （ ） A． B． C． D． 7． 棱長(zhǎng)為a的正四面體中，高為H，斜高為h，相對(duì)棱間的距離為d，則a、H、h、d的大小關(guān)系正確的是 （ ） A．a(chǎn)>H>h>d B．a(chǎn)>d>h>H C．a(chǎn)>h>d>H D．a(chǎn)>h>H>d 8．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中點(diǎn)，則的大小為 （ ） A. B. C. D. 9．三棱錐A—BCD的高AH = 3，H是底面△BCD的重心．若AB=AC，二面角A—BC—D為60，G是△ABC的重心，則HG的長(zhǎng)為 （ ） A． B． C． D． 10．PA，PB，PC是從P引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角都是60，則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為 （ ） A． B。 C。 D。 11．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為 。 A B M D C 12。如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，C、D分別是兩條棱的中點(diǎn)， A、B、M是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)M到截面ABCD的距離是 . 13．正四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，E為PC中點(diǎn)，則直線AC與截面BDE所成的角為 ． 14．已知邊長(zhǎng)為的正三角形ABC中，E、F分別為BC和AC的中點(diǎn)，PA⊥面ABC，且PA=2，設(shè)平面過PF且與AE平行，則AE與平面間的距離為 ． A E D C B A1 F D1 C1 B1 15．如右下圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1． （1）求二面角C-DE-C1的正切值； （2）求直線EC1與FD1所成的余弦值． 16．如圖，三棱錐P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB． (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求異面直線AP與BC所成角的大小； (III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值． Q P D C B A 17．如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1． （1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo)； （2）問當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí)，BC邊上能存在點(diǎn)Q， 使得PQ⊥QD？ （3）當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥QD時(shí)， 求二面角Q-PD-A的大?。? 空間向量章節(jié)測(cè)試題答案 1．B。 2． B。 3． A。 4． C。提示：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1(1，0，0)，E(1，，0)，C(0，1，0)．設(shè)平面A1ECF的法向量為n=(x，y，z)，則由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，，1)． ，，而且可計(jì)算得到這四個(gè)向量與向量n所成的角為30，于是這四個(gè)向量與平面A1ECF所成的角為60．而其它的面對(duì)角線所在的向量均不滿足條件． 5 D。 6． C。 7． C。 8．A。 9． D。 10． D 11．。 12． 。 13．設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，則與所成的角即∠EOC為所求．易得大小為45． 14． 15．（1）如圖，以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)． 于是，， ． 設(shè)向量與平面C1DE垂直，則有 ． ∴其中z＞0． 取n0=(-1，-1，2)，則n0是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量． ∵向量=（0，0，2）與平面CDE垂直， ∴n0與所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角． ∵， ∴． （2）設(shè)EC1與FD1所成角為b，則 ． 16． (1) ∵PC⊥平面ABC,平面ABC， ∴PCAB.∵CD平面PAB，平面PAB， ∴CDAB．又，∴AB平面PCB． ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值為． (2) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2， 又∵AB=BC，可求得BC=．以B為原點(diǎn)， 如圖建立坐標(biāo)系．則Ａ（０,,０），Ｂ（0,0,0）， C（,０,0），P（,０,2）． =(,－,2)，=(,0,0)． 則=+0+0=2． === ． ∴異面直線AP與BC所成的角為． （3）設(shè)平面PAB的法向量為m= (x，y，z)．=(0, －,0),=(,－,2)， 則 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1)． 設(shè)平面PAC的法向量為n=(x, y, z).＝(0,0,－2), =(,－,0)， 則 即解得 令x=1, 得 n= (1，1，0)． z 第10題答圖 Q P D C B A y x M N =. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值為． 17．（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP分 別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖所示． ∵PA=AB=1，BC=a， ∴P（0，0，1），B（1，1，0）， D（0，a，0）． （2）設(shè)點(diǎn)Q（1，x，0），則 ． 由，得x2-ax+1=0． 顯然當(dāng)該方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，BC邊上才存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0． 因a>0，故a的取值范圍為a≥0． （3）易見，當(dāng)a=2時(shí)，BC上僅有一點(diǎn)滿足題意，此時(shí)x=1，即Q為BC的中點(diǎn)． 取AD的中點(diǎn)M，過M作MN⊥PD，垂足為N，連結(jié)QM、QN．則M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）． ∵D、N、P三點(diǎn)共線， ∴． 又，且， 故． 于是． 故． ∵， ∴． ∴∠MNQ為所求二面角的平面角． ∵， ∴所求二面角為．