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1、
第69練 計(jì)數(shù)原理、排列、組合
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)熟練掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理并能靈活應(yīng)用;
(2)會(huì)應(yīng)用排列、組合的計(jì)算公式解決與排列組合有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.
訓(xùn)練題型
(1)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用;(2)排列問(wèn)題;(3)組合問(wèn)題;(4)排列與組合的綜合問(wèn)題.
解題策略
(1)理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系,掌握分類與分步的原則,正確把握分類標(biāo)準(zhǔn);(2)將常見的排列組合問(wèn)題分成不同類型,并掌握各種類型的解法,弄清問(wèn)題實(shí)質(zhì),做到融會(huì)貫通.
一、選擇題
1.設(shè)集合A={0,1,2,3,4,5,6,7},如果方程x2-mx-n=0 (m,n∈A)至少有一個(gè)根x0∈A,就稱方程為合格
2、方程,則合格方程的個(gè)數(shù)為( )
A.13 B.15
C.17 D.19
2.(20xx·漢口一模)某單位有7個(gè)連在一起的車位,現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需停放,如果要求剩余的4個(gè)空車位連在一起,則不同的停放方法有( )
A.16種 B.18種
C.24種 D.32種
3.(20xx·西安調(diào)研)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有( )
A.10種 B.20種
C.36種 D.52種
4.(20xx·德陽(yáng)診斷)學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、理綜4科的專題
3、講座,每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié),則不同的安排方法共有( )
A.36種 B.30種
C.24種 D.6種
5.計(jì)劃將排球、籃球、乒乓球3個(gè)項(xiàng)目的比賽安排在4個(gè)不同的體育館舉辦,每個(gè)項(xiàng)目的比賽只能安排在一個(gè)體育館進(jìn)行,則在同一個(gè)體育館比賽的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)的安排方案共有( )
A.60種 B.42種
C.36種 D.24種
6.“2 012”含有數(shù)字0,1,2,且有兩個(gè)數(shù)字2,則含有數(shù)字0,1,2,且有兩個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.18 B.24
C.27 D.36
7.(20xx·衡水二模)已知數(shù)列{an}共有5項(xiàng),a1=0
4、,a5=2,且|ai+1-ai|=1,i=1,2,3,4,則滿足條件的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為( )
A.2 B.3
C.4 D.6
8.某親子節(jié)目的熱播引發(fā)了一陣熱潮,某節(jié)目制作組選取了6戶家庭到4個(gè)村莊體驗(yàn)農(nóng)村生活,要求將6戶家庭分成4組,其中2組各有2戶家庭,另外2組各有1戶家庭,則不同的分配方案的種數(shù)是( )
A.216 B.420
C.720 D.1 080
二、填空題
9.已知一個(gè)公園的形狀如圖所示,現(xiàn)有3種不同的植物要種在此公園的A,B,C,D,E這五個(gè)區(qū)域內(nèi),要求有公共邊界的兩塊相鄰區(qū)域種不同的植物,則不同的種法共有________種.
10
5、.從甲、乙等6名運(yùn)動(dòng)員中選出4名參加4×100米接力賽.如果甲、乙兩人都不跑第一棒,那么不同的參賽方法共有________種.
11.現(xiàn)有12種商品擺放在貨架上,擺成上層4件、下層8件的形式,現(xiàn)要從下層的8件中取2件調(diào)整到上層,若其他商品的相對(duì)順序不變,則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為________.
12.公安部新修訂的《機(jī)動(dòng)車登記規(guī)定》正式實(shí)施后,小型汽車的號(hào)牌已經(jīng)可以采用“自主編排”的方式進(jìn)行編排.某人欲選由A、B、C、D、E中的兩個(gè)不同字母,和1、2、3、4、5中的三個(gè)不同數(shù)字(三個(gè)數(shù)字都相鄰)組成一個(gè)號(hào)牌,則他選擇號(hào)牌的不同的方法種數(shù)為________.
答案精析
1.C
6、 [當(dāng)m=0時(shí),取n=0,1,4,方程為合格方程;
當(dāng)m=1時(shí),取n=0,2,6,方程為合格方程;
當(dāng)m=2時(shí),取n=0,3,方程為合格方程;
當(dāng)m=3時(shí),取n=0,4,方程為合格方程;
當(dāng)m=4時(shí),取n=0,5,方程為合格方程;
當(dāng)m=5時(shí),取n=0,6,方程為合格方程;
當(dāng)m=6時(shí),取n=0,7,方程為合格方程;
當(dāng)m=7時(shí),取n=0,方程為合格方程.
綜上可得,合格方程的個(gè)數(shù)為17,
故選C.]
2.C [將4個(gè)連在一起的空車位“捆綁”,作為一個(gè)整體,則所求即4個(gè)不同元素的全排列,有A=24(種)不同的停放方法,故選C.]
3.A [1號(hào)盒子可以放1個(gè)或2個(gè)球,2號(hào)
7、盒子可以放2個(gè)或3個(gè)球,所以不同的放球方法有CC+CC=10(種).]
4.B [由于每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,必有兩科在同一節(jié),先從4科中任選2科看作一個(gè)整體,然后做3個(gè)元素的全排列,共CA種方法,再?gòu)闹信懦龜?shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形,共A種方法,故總的方法種數(shù)為CA-A=36-6=30.]
5.A [兩種情況,第一種情況安排3個(gè)場(chǎng)地,每個(gè)場(chǎng)地安排1項(xiàng)比賽,安排方案有A=24(種);第二種情況,一個(gè)場(chǎng)地安排兩場(chǎng),第二個(gè)場(chǎng)地安排一場(chǎng),安排方案有CA=36(種).
綜上所述,一共有60種方案.]
6.B [依題意,就所含的兩個(gè)相同數(shù)字是否為0進(jìn)行分類計(jì)數(shù):第一類,所含的兩個(gè)相同數(shù)字是
8、0, 則滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CA=6;第二類,所含的兩個(gè)相同數(shù)字不是0,則滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為C·C·C=18.由分類加法計(jì)數(shù)原理得,滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為6+18=24.]
7.C [方法一 因?yàn)閨ai+1-ai|=1,所以ai+1-ai=1或ai+1-ai=-1,即數(shù)列{an}從前往后,相鄰兩項(xiàng)之間增加1或減少1,因?yàn)閍1=0,a5=2,所以從a1到a5有3次增加1,有1次減少1,故數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為C=4.
方法二 設(shè)bi=ai+1-ai,i=1,2,3,4,因?yàn)閨ai+1-ai|=1,所以|bi|=1,即bi=1或-1.a5=a5-a4+a4-a3+a3-a2+a2-a
9、1+a1=b4+b3+b2+b1=2,故bi(i=1,2,3,4)中有3個(gè)1,1個(gè)-1,故滿足條件的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為C=4.]
8.D [先分組,每組含有2戶家庭的有2組,則有種不同的分組方法,剩下的2戶家庭可以直接看成2組,然后將分成的4組進(jìn)行全排列,故有×A=1 080(種)不同的分配方案.]
9.18
解析 先在A,B,C三個(gè)區(qū)域種植3個(gè)不同的植物,共有A=6(種)種法,若E與A種植的植物相同,最后種D,有1種種法;若E與C種植的植物相同,最后種D,有2種種法,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有6×(1+2)=18(種)不同的種法.
10.240
解析 方法一 (
10、從元素考慮)從6名運(yùn)動(dòng)員中,選出4人有三種情況:(1)甲、乙都被選出,有C種選法;(2)甲、乙恰有1人被選出,有CC種選法;(3)甲、乙都未被選出,有C種選法.再將4人按要求安排位置:甲、乙都參加,有AA種排法;甲、乙中有一人參加,有AA種排法;甲、乙都不參加,有A種排法.故不同的參賽方法共有CAA+CCAA+CA=240(種).
方法二 (從位置考慮)第一棒從甲、乙以外的4人中選取,再排其他各棒,有AA=240(種)不同的參賽方法.
方法三 (間接法)從總數(shù)中減去甲、乙跑第一棒的情況,有A-AA=240(種)不同的參賽方法.
11.840
解析 首先從下層中抽取2件商品,共有C=28(種)不同的結(jié)果,把抽出的2件商品放到上層有兩種情況:一種是2件商品相鄰,放在上層4件商品形成的5個(gè)空中,有5A=10(種)不同的調(diào)整方法;另一種是2件商品不相鄰,把抽出的2件商品插入上層4件商品形成的5個(gè)空中,有A=20(種)不同的調(diào)整方法,所以共有28×(10+20)=840(種)不同的調(diào)整方法.
12.3 600
解析 三個(gè)數(shù)字相鄰,則共有A種情況,在A、B、C、D、E中選兩個(gè)不同的字母,共有A種不同的情況,這兩個(gè)字母形成三個(gè)空,將數(shù)字整體插空,共C種情況.綜上所述,此人選擇號(hào)牌的不同的方法種數(shù)為AAC=60×20×3=3 600.