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1、 20xx高等學(xué)校全國(guó)統(tǒng)一數(shù)學(xué)文試題（江西卷） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合，，則等于（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．函數(shù)的最小正周期為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若，則（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．下列四個(gè)條件中，是的必要不充分條件的是（　　） Ａ．， Ｂ．， Ｃ．為雙曲線， Ｄ．， 5．對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有（　?。? Ａ．

2、 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6．若不等式對(duì)一切成立，則的最小值為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為，則等于（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8．袋中有40個(gè)小球，其中紅色球16個(gè)、藍(lán)色球12個(gè)，白色球8個(gè)，黃色球4個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9．如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是（　　） Ａ．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等 Ｂ．等腰四棱錐

3、的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ) Ｃ．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 Ｄ．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)），則等于（　　　） Ａ．100 Ｂ．101 Ｃ．200 Ｄ．201 11．為雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4 4 8 12 16 20 24 ?圖（1） 4 4 8 16 20 Ｂ 24 12 16 4 4 8 12 24 Ａ 16 20

4、 16 12．某地一天內(nèi)的氣溫（單位：℃）與時(shí)刻（單位：時(shí)）之間的關(guān)系如圖（1）所示，令表示時(shí)間段內(nèi)的溫差（即時(shí)間段內(nèi)最高溫度與最低溫度的差）．與之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的圖象大致是（　?。? 4 4 8 16 20 Ｃ 24 12 16 4 4 8 12 24 Ｄ 16 20 16 第II卷 二、填空題：本大題4小題，每小題4分，共16分．請(qǐng)把答案填在答題卡上． 13．已知向量，，則的最大值為 ． 14．設(shè)的反函數(shù)為，若，

5、則 ． 15．如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為 ． 16．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．下面四個(gè)命題（　?。? Ａ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｂ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｃ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｄ．的內(nèi)切圓必通過(guò)點(diǎn)． 其中真命題的代號(hào)是 （寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）． 三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值．

6、 （1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍． 18．（本小題滿分12分） 某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球獲得二得獎(jiǎng)；摸出兩個(gè)紅球獲得一等獎(jiǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次．求 （1）甲、乙兩人都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率； （2）甲、兩人中至少有一人獲二等獎(jiǎng)的概率． 19．（本小題滿分12分） 在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知， （1）求的值； Ａ Ｏ Ｅ Ｃ Ｂ （2）若，，求的值． 20．（本小題滿分12分） 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直

7、，且，，是的中點(diǎn)． （1）求點(diǎn)到面的距離； （2）求異面直線與所成的角； （3）求二面角的大小． 21．（本小題滿分12分） O P A F B D x y 如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)． （1）求點(diǎn)的軌跡的方程； （2）若在的方程中，令， ． 設(shè)軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為和．當(dāng)為何值時(shí)，為一個(gè)正三角形？ 22．（本小題滿分14分） 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，且，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)． 20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考

8、試（江西卷） 文科數(shù)學(xué)（編輯：ahuazi） 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)。第Ⅱ卷3至4頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 考生注意事項(xiàng)： 1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的座位號(hào)、姓名，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中“座位號(hào)、姓名、科類”與本人座位號(hào)、姓名、科類是否一致。 2．答第Ⅰ卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。 3．答第Ⅱ卷時(shí)，必須用0.5毫米墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)。在試題卷上作答無(wú)效。 4．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將試題卷和

9、答題卡一并收回。 參考公式： 如果時(shí)間A、B互斥，那么 如果時(shí)間A、B相互獨(dú)立，那么 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 球的表面積公式，其中R表示球的半徑 球的體積公式，其中R表示球的半徑 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合，，則等于（C　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：P＝｛x|x31或x￡0｝，Q＝｛x|x>1｝故選C 2．函數(shù)的最小正周期為（B　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：T＝，故選

10、B 3．在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若，則（　A　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：設(shè)公差為d，則an＋1＝an＋d，an－1＝an－d，由可得2an－＝0，解得an＝2（零解舍去），故2×（2n－1）－4n＝－2，故選A 4．下列四個(gè)條件中，是的必要不充分條件的是（　D?。? Ａ．， Ｂ．， Ｃ．為雙曲線， Ｄ．， 解：A. p不是q的充分條件，也不是必要條件；B. p是q的充要條件；C. p是q的充分條件，不是必要條件；D.正確 5．對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有（C　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：依題意，當(dāng)x31時(shí)，

11、f￠（x）30，函數(shù)f（x）在（1，＋￥）上是增函數(shù)；當(dāng)x<1時(shí)，f￠（x）￡0，f（x）在（－￥，1）上是減函數(shù)，故f（x）當(dāng)x＝1時(shí)取得最小值，即有 f（0）3f（1），f（2）3f（1），故選C 6．若不等式對(duì)一切成立，則的最小值為（　C?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：設(shè)f（x）＝x2＋ax＋1，則對(duì)稱軸為x＝ 若3，即a￡－1時(shí)，則f（x）在〔0，〕上是減函數(shù)，應(yīng)有f（）30T －￡x￡－1 若￡0，即a30時(shí)，則f（x）在〔0，〕上是增函數(shù)，應(yīng)有f（0）＝1>0恒成立，故a30 若0￡￡，即－1￡a￡0，則應(yīng)有f（）＝恒成立，故－1￡a￡0 綜上，有－

12、￡a故選C 7．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為，則等于（　B　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：，由解得n＝6故選B 8．袋中有40個(gè)小球，其中紅色球16個(gè)、藍(lán)色球12個(gè)，白色球8個(gè)，黃色球4個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為（A　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：依題意，各層次數(shù)量之比為4:3:2:1，即紅球抽4個(gè)，藍(lán)球抽3個(gè)，白球抽2個(gè)，黃球抽一個(gè)，故選A 9．如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是（　B?。? Ａ．等腰四棱錐的腰與底面所成的

13、角都相等 Ｂ．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ) Ｃ．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 Ｄ．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 解：因?yàn)椤暗妊睦忮F”的四條側(cè)棱都相等，所以它的頂點(diǎn)在底面的射影到底面的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故A，C正確，且在它的高上必能找到一點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故D正確，B不正確，如底面是一個(gè)等腰梯形時(shí)結(jié)論就不成立。故選B 10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)），則等于（A　　　） Ａ．100 Ｂ．101 Ｃ．200 Ｄ．201 解：依題意，a1＋a200＝1，故選A 11．為雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是

14、圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（　D?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（－5，0）與F2（5，0），則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、F1三點(diǎn)共線以及P與N、F2三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí) |PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故選B 4 4 8 12 16 20 24 ?圖（1） 4 4 8 16 20 Ｂ 24 12 16 4 4 8 12 24 Ａ 16 20 16 12．某地一天內(nèi)的氣溫（單位：℃）與時(shí)刻（單

15、位：時(shí)）之間的關(guān)系如圖（1）所示，令表示時(shí)間段內(nèi)的溫差（即時(shí)間段內(nèi)最高溫度與最低溫度的差）．與之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的圖象大致是（D　　） 4 4 8 16 20 Ｃ 24 12 16 4 4 8 12 24 Ｄ 16 20 16 解：結(jié)合圖象及函數(shù)的意義可得。 第II卷 二、填空題：本大題4小題，每小題4分，共16分．請(qǐng)把答案填在答題卡上． 13．已知向量，，則的最大值為 解：＝|sinq－cosq|＝|sin（q－）|￡|

16、 14．設(shè)的反函數(shù)為，若，則 2 ． 解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕·〔f－1（x）＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27 \m＋n＝3\f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2 15．如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為 10 ． 解：將正三棱柱沿側(cè)棱CC1展開(kāi)， 其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，由圖中路線可得結(jié)論。 16．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．下面四個(gè)命題（　　） Ａ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｂ．的內(nèi)切

17、圓的圓心必在直線上； Ｃ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｄ．的內(nèi)切圓必通過(guò)點(diǎn)． 其中真命題的代號(hào)是 （A）、（D） （寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）． 解：設(shè)的內(nèi)切圓分別與PF1、PF2切于點(diǎn)A、B，與F1F2切于點(diǎn)M，則|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又點(diǎn)P在雙曲線右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線垂直于x軸，故A、D正確。 三、解答題：本大題共6小題

18、，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值． （1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍． 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f￠（x）＝3x2＋2ax＋b 由f￠（）＝，f￠（1）＝3＋2a＋b＝0得 a＝，b＝－2 f￠（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表： x （－￥，－） － （－，1） 1 （1，＋￥） f￠（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） - 極大值 ˉ 極小值 - 所以函數(shù)f（x）的

19、遞增區(qū)間是（－￥，－）與（1，＋￥） 遞減區(qū)間是（－，1） （2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，當(dāng)x＝－時(shí)，f（x）＝＋c 為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。 要使f（x）f（2）＝2＋c 解得c<－1或c>2 18．（本小題滿分12分） 某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球獲得二得獎(jiǎng)；摸出兩個(gè)紅球獲得一等獎(jiǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次．求 （1）甲、乙兩人都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率； （2）甲、

20、兩人中至少有一人獲二等獎(jiǎng)的概率． 解：（1）P1＝ （2）法一：P2＝ 法二：P2＝ 法三：P2＝1－ 19．（本小題滿分12分） 在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知， （1）求的值； （2）若，，求的值． 解：（1）因?yàn)殇J角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，則 （2），則bc＝3。將a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得解得b＝ 20．（本小題滿分12分） 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，，是的中點(diǎn)． （1）求點(diǎn)到面的距離； Ａ Ｏ Ｅ Ｃ Ｂ （2）求異面直線與所成的角； （3）求二面角的大?。? 解：（1）取BC的中點(diǎn)D，連

21、AD、OD 因?yàn)镺B＝OC，則OD^BC、AD^BC，\BC^面OAD. 過(guò)O點(diǎn)作OH^AD于H，則OH^面ABC，OH的長(zhǎng)就 是所求的距離. 又BC＝2，OD＝ ＝，又OA^OB，OA^OC \OA^面OBC，則OA^OD AD＝＝，在直角三角形OAD中， 有OH＝ （另解：由等體積變換法也可求得答案） （2）取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，則 EM//AC,DBEM是異面直線BE與AC 所成的角，易求得EM＝，BE＝， BM＝.由余弦定理可求得cosDBEM＝， \DBEM＝arccos （3）連CM并延長(zhǎng)交AB于F，連OF、EF. 由OC^面OAB，得OC^A

22、B，又OH^面ABC，所以CF^AB，EF^AB，則DEFC就是所求的二面角的平面角. 作EG^CF于G，則EG＝OH＝，在Rt△OAB中，OF＝ 在Rt△OEF中，EF＝ \sinDEFG＝\DEFG＝arcsin.（或表示為arccos） 注：此題也可用空間向量的方法求解。 21．（本小題滿分12分） O P A F B D x y 如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)． （1）求點(diǎn)的軌跡的方程； （2）若在的方程中，令， ． 設(shè)軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為和．當(dāng)為何值時(shí)，為一個(gè)正三角形？ 解：如圖，（1）

23、設(shè)橢圓Q：（a>b>0） 上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則 1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x11x2， 由（1）－（2）得 b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0 \b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3） 2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3） 故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0 （2）因?yàn)檐壽EH的方程可化為： \M（，），N（ ，－），F(xiàn)（c，0），使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí)，則 tan＝＝，即a2＝3b2. 由于， ，則1＋cosq＋sinq＝3 sinq，得q＝arctan 22．（本小題滿分14分） 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，且，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)． 解：（1）條件可化為，因此｛｝為一個(gè)等比數(shù)列，其公比為2，首項(xiàng)為，所以＝…………1° 因an>0，由1°式解出an＝…………2° （2）由1°式有Sn＋Tn＝ ＝ ＝ 為使Sn＋Tn＝為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù). 當(dāng)n＝1,2時(shí)，顯然Sn＋Tn不為整數(shù)， 當(dāng)n33時(shí)，＝ ＝ \只需＝為整數(shù)，因?yàn)?n－1與3互質(zhì)，所以 為9的整數(shù)倍.當(dāng)n＝9時(shí)，＝13為整數(shù)，故n的最小值為9.