精品資料 章末質(zhì)量評(píng)估(一) (時(shí)間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．4名不同科目的實(shí)習(xí)教師被分配到三個(gè)班級(jí)，每班至少有一人的不同分法有________． 解析　將4名教師分三組，然后全排列分配到不同的班級(jí)，共有CA＝36(種)． 答案　36種 2．設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，則關(guān)于x，y的方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的個(gè)數(shù)為________． 解析　∵m＞n，∴有C＝6(個(gè))焦點(diǎn)在x軸上的不同橢圓． 答案　6 3.18的展開式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示)． 解析　設(shè)Tr＋1為含x15的項(xiàng)， 則Tr＋1＝Cx18－rr. 由18－r－＝15得r＝2. ∴含x15的項(xiàng)的系數(shù)為C2＝17. 答案　17 4.6的展開式中的第四項(xiàng)是________． 解析　T4＝T3＋1＝C·23·3＝－. 答案?。? 5. 從5位男生4位女生中選4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分別到四個(gè)不同的工廠調(diào)查，則不同的分派方法有________種． 解析　“從5位男生4位女生中選4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生”的情況為：2男2女、3男1女，則有種；“分別到四個(gè)不同的工廠調(diào)查”，再在選出的代表中進(jìn)行排列，則有(C·C＋C·C)A＝2 400(種)． 答案　2 400 6．從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為________． 解析　分兩類：①選0.CCCA＝108(種)； ②不選0.CA＝72(種)． ∴共有108＋72＝180(種)． 答案　180 7．(1＋x＋x2)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________． 解析　6的展開式中的通項(xiàng)為 Tk＋1＝Cx6－kk＝(－1)kCx6－2k. 令6－2k＝0，得k＝3，T4＝(－1)3C＝－C. 令6－2k＝－1，得k＝(舍)． 令6－2k＝－2，得k＝4，T5＝(－1)4Cx－2＝Cx－2. ∴(1＋x＋x2)6展開式的常數(shù)項(xiàng)為 1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5. 答案?。? 8．若多項(xiàng)式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋ a10(x＋1)10，則a9＝________. 解析　由于a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋ a10(x＋1)10＝x2＋x10 ＝[－1＋(x＋1)]2＋[－1＋(x＋1)]10 ＝…＋C(－1)1·(x＋1)9＋C(x＋1)10 則a9＝C·(－1)＝－10. 答案?。?0 9．有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有________． 解析　第一步，從10人中選派2人承擔(dān)任務(wù)甲，有C種選派方法；第二步，從余下的8人中選派1人承擔(dān)任務(wù)乙，有C種選派方法；第三步，再?gòu)挠嘞碌?人中選派1人承擔(dān)任務(wù)丙，有C種選派方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理易得選派方法種數(shù)為C·C·C＝2 520. 答案　2 520 10．將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中．若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有________． 解析　先放1、2的卡片有C種，再將3,4,5,6的卡片平均分成兩組再放置有·A種，故共有C·C＝18(種)． 答案　18 11．設(shè)二項(xiàng)式6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B.若B＝4A.則a的值是________． 解析　展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Cx6－k ·(－a)k＝，故A＝(－a)2C，B＝(－a)4C， 由B＝4A，得a2＝4，又a＞0，故a＝2. 答案　2 12．二項(xiàng)式(1＋sin x)n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為，則x在[0,2π]內(nèi)的值為________． 解析　二項(xiàng)式(1＋sin x)n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和C＋C＝1＋n＝7，∴n＝6，系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，T4＝C(sin x)3＝，∴(sin x)3＝，∴sin x＝， 又x∈[0,2π]，∴x＝或π. 答案　或π 13．用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間，這樣的五位數(shù)有________． 解析　若0夾在1、3之間，有A×3×A＝12(個(gè))，若2或4夾在1、3中間，考慮兩奇夾一偶的位置，有 (2×2＋2×2)×2＝16(個(gè))，所以共有12＋16＝28(個(gè))． 答案　28 14．若(1－2x)2 009＝a0＋a1x＋…＋a2 009x2 009(x∈R)， 則＋＋…＋的值為________． 解析　令x＝0，則a0＝1，令x＝，則a0＋＋＋…＋＝0，∴＋＋…＋＝－1. 答案　－1 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(本小題滿分14分)從1,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中選2個(gè)，0,2,4,6,8五個(gè)數(shù)字中選3個(gè)，能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ 解　從5個(gè)奇數(shù)中選出2個(gè)，再?gòu)?、4、6、8四個(gè)偶數(shù)中選出3個(gè)，排成五位數(shù)，有C·C·A＝4 800(個(gè))．從5個(gè)奇數(shù)中選出2個(gè)，再?gòu)?,4,6,8四個(gè)偶數(shù)中再選出2個(gè)，將選出的4個(gè)數(shù)再選一個(gè)做萬(wàn)位數(shù)．余下的3個(gè)數(shù)加上0排在后4個(gè)數(shù)位上，有C·C·C·A＝10×6×4×24＝5 760(個(gè))．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知這樣的五位數(shù)共有C·C·C＋A·C·C·A＝10 560(個(gè))． 16．(本小題滿分14分)(1)求證：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除； (2)求證：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n為大于1的偶數(shù))． 證明　(1)原式＝4(5＋1)n＋5n－4 ＝4(C5n＋C5n－1＋C5n－2＋…＋C)＋5n－4 ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C·52＋C·51＋1)＋5n－4 ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C·52)＋25n， 以上各項(xiàng)均為25的整數(shù)倍，故得證． (2)因?yàn)?＋3＋32＋…＋33n－1＝＝(33n－1) ＝(27n－1)＝[(26＋1)n－1]． 而(26＋1)n－1＝C26n＋C26n－1＋…＋C26＋C260－1 ＝C26n＋C26n－1＋…＋C26 因?yàn)閚為大于1的偶數(shù)，所以原式能被26整除． 17．(本小題滿分14分)已知n展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為45，求： (1)含x3的項(xiàng)； (2)系數(shù)最大的項(xiàng)． 解　由題意知，C＝45，即C＝45，∴n＝10. (1)Tr＋1＝C(x－)10－r ， 令＝3，得r＝6. ∴含x3的項(xiàng)為T6＋1＝Cx3＝Cx3＝210x3. (2)系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)， ∴T6＝C . 18．(本小題滿分16分)有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有多少種？ 解　由題意知中間行的兩張卡片的數(shù)字之和是5，因此中間行的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)是1，4或2，3.若中間行兩個(gè)數(shù)字是1，4，則有種排法，此時(shí)A、B、E、F的數(shù)字有以下幾類： A B C D E F (1)若不含2,3，共有A＝24(種)排法． (2)若含有2,3中的一個(gè)，則有CCA＝192(種)(C是從2,3中選一個(gè)，C是從5,6,7,8中選3個(gè)，A將選出的4個(gè)數(shù)字排在A、B、E、F處)． (3)含有2,3中的兩個(gè)，此時(shí)2,3不能排在一行上，因此可先從2,3中選1個(gè)，排在A，B中一處，有CA種，剩下的一個(gè)排在E、F中的一處有A種，然后從5,6,7,8中選2個(gè)排在剩余的2個(gè)位置有A種． 因此共有CAAA＝96(種)排法． 所以中間一行數(shù)字是1,4時(shí)共有A(24＋192＋96)＝624(種)．當(dāng)中間一行數(shù)字是2,3時(shí)也有624種．因此滿足要求的排法共有624×2＝1 248(種)． 19．(本小題滿分16分)設(shè)集合I＝{1,2,3,4,5}．選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，求使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)的不同選擇方法有多少種？ 解　當(dāng)A中最大的數(shù)為1時(shí)，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，有24－1＝15(種)選擇方法； 當(dāng)A中最大的數(shù)為2時(shí)，A可以是{2}或{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，有2×(23－1)＝14種選擇方法； 當(dāng)A中最大的數(shù)為3時(shí)，A可以是{3，}，{1,3}，{2,3}或{1,2,3}，B可以是{4,5}的非空子集，有4×(22－1)＝12(種)選擇方法； 當(dāng)A中最大的數(shù)為4時(shí)，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2，，3,4}或{1,2,3,4}，B可以是{5}，有8×1＝8(種)選擇方法． 所以滿足條件的非空子集共有15＋14＋12＋8＝49(種)不同的選擇方法． 20．(本小題滿分16分)設(shè)an＝1＋q＋q2＋…＋qn－1(n∈N，q≠±1)，An＝Ca1＋Ca2＋…＋Can，求An(用n和q表示)． 解　因?yàn)閍n＝， 所以An＝[C(1－q)＋C(1－q2)＋…＋C(1－qn)] ＝[C＋C＋…＋C－(Cq＋Cq2＋…＋Cqn)] ＝[(2n－1)－(1＋q)n＋1] ＝[2n－(1－q)n]．