《2018-2019高中數(shù)學 第1章 常用邏輯用語 1.3.2 含有一個量詞的命題的否定學案 蘇教版選修2-1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019高中數(shù)學 第1章 常用邏輯用語 1.3.2 含有一個量詞的命題的否定學案 蘇教版選修2-1.doc（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1.3.2　含有一個量詞的命題的否定 學習目標　1.理解含有一個量詞的命題的否定的意義.2.會對含有一個量詞的命題進行否定.3.掌握全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題． 知識點一　全稱命題的否定 思考　嘗試寫出下面含有一個量詞的全稱命題的否定，并歸納寫全稱命題否定的方法． (1)所有矩形都是平行四邊形； (2)每一個質數(shù)都是奇數(shù)； (3)?x∈R，x2－2x＋1≥0. 答案　(1)將量詞“所有”換為“存在一個”，然后將結論否定，即“不是平行四邊形”，所以原命題的否定為：“存在一個矩形不是平行四邊形”； (2)存在一個質數(shù)不是奇數(shù)； (3)?x∈R，x2－2x＋1<0. 梳理　寫全稱命題的否定的方法：(1)更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞；(2)將結論否定． 對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)． 全稱命題的否定是存在性命題． 知識點二　存在性命題的否定 思考　嘗試寫出下面含有一個量詞的存在性命題的否定，并歸納寫存在性命題否定的方法． (1)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)； (2)某些平行四邊形是菱形； (3)?x∈R，x2＋1<0. 答案　(1)先將存在量詞“有些”改寫為全稱量詞“所有”，然后將結論“實數(shù)的絕對值是正數(shù)”否定，即“實數(shù)的絕對值不是正數(shù)”，于是得原命題的否定為：“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”； (2)所有平行四邊形都不是菱形； (3)?x∈R，x2＋1≥0. 梳理　寫存在性命題的否定的方法：(1)將存在量詞改寫為全稱量詞；(2)將結論否定． 對于含一個量詞的存在性命題的否定，有下面的結論： 存在性命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．存在性命題的否定是全稱命題． 1．命題“對頂角相等”的否定是“對頂角不相等”．() 2．命題綈(p∧q)是假命題，則命題p，q中至少有一個是假命題．() 3．全稱命題的否定一定是存在性命題．(√) 類型一　全稱命題的否定 例1　判斷下列命題的真假，并寫出它們的否定． (1)對任意x∈R，x3－x2＋1≤0； (2)所有能被5整除的整數(shù)都是奇數(shù)； (3)對任意的x∈Q，x2＋x＋1是有理數(shù)． 解　(1)當x＝2時，23－22＋1＝5＞0，故(1)是假命題． 命題的否定：存在x∈R，x3－x2＋1＞0. (2)10能被5整除，10是偶數(shù)，故(2)是假命題． 命題的否定：存在一個能被5整除的整數(shù)不是奇數(shù)． (3)有理數(shù)經(jīng)過加、減、乘運算后仍是有理數(shù)，故(3)是真命題． 命題的否定：存在x∈Q，x2＋x＋1不是有理數(shù)． 反思與感悟　1.全稱命題的否定 全稱命題的否定是一個存在性命題，給出全稱命題的否定時既要否定全稱量詞，又要否定性質，所以找出全稱量詞，明確命題所提供的性質是解題的關鍵． 2．常見詞語的否定 原詞 否定詞 原詞 否定詞 原詞 否定詞 等于 不等于 是 不是 至少一個 一個也沒有 大于 不大于 都是 不都是 任意 某個 小于 不小于 至多一個 至少兩個 所有的 某些 跟蹤訓練1　寫出下列全稱命題的否定： (1)任何一個平行四邊形的對邊都平行； (2)數(shù)列：1,2,3,4,5中的每一項都是偶數(shù)； (3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0. 解　(1)其否定：存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行． (2)其否定：數(shù)列：1,2,3,4,5中至少有一項不是偶數(shù)． (3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)其否定：存在能被5整除的整數(shù)，末位不是0. 類型二　存在性命題的否定 例2　寫出下列存在性命題的否定，并判斷其真假． (1)p：?x∈R，2x＋1≥0； (2)q：?x∈R，x2－x＋＜0； (3)r：有些分數(shù)不是有理數(shù)． 考點　存在量詞的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 解　(1)綈p：?x∈R，2x＋1＜0，綈p為假命題． (2) 綈q：?x∈R，x2－x＋≥0. ∵x2－x＋＝2≥0， ∴綈q是真命題． (3) 綈r：一切分數(shù)都是有理數(shù)，綈r是真命題． 反思與感悟　存在性命題的否定是全稱命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞．即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立． 跟蹤訓練2　寫出下列存在性命題的否定，并判斷其否定的真假． (1)p：存在x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素數(shù)是奇數(shù)； (3)p：有些平行四邊形不是矩形． 解　(1)其否定：任意x>1，x2－2x－3≠0(假)． (2)其否定：所有的素數(shù)都不是奇數(shù)(假)． (3)其否定：所有的平行四邊形都是矩形(假)． 類型三　含量詞的命題的應用 例3　已知命題“對于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　含有一個量詞的命題 題點　由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　因為全稱命題“對于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式為：“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”． 由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知，這個否定形式的命題是真命題． 由于函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋1是開口向上的拋物線， 借助二次函數(shù)的圖象易知Δ＝a2－4＞0， 解得a＜－2或a＞2. 所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 引申探究 把本例中“假命題”改為“真命題”，求實數(shù)a的取值范圍． 解　由題意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]． 故實數(shù)a的取值范圍為[－2,2]． 反思與感悟　含有一個量詞的命題與參數(shù)范圍的求解策略 (1)對于全稱命題“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”為真的問題，實質就是不等式恒成立問題，通常轉化為求函數(shù)f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)． (2)對于存在性命題“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”為真的問題，實質就是不等式能成立問題，通常轉化為求函數(shù)f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)． (3)若全稱命題為假命題，通常轉化為其否定形式——存在性命題為真命題解決，同理，若存在性命題為假命題，通常轉化為其否定形式——全稱命題為真命題解決． 跟蹤訓練3　已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，并說明理由； (2)若存在一個實數(shù)x，使不等式m－f(x)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍． 考點　含有一個量詞的命題 題點　由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　(1)不等式m＋f(x)>0可化為m>－f(x)， 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立， 只需m>－4即可． 故存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，此時，只需m>－4. (2)不等式m－f(x)>0可化為m>f(x)，若存在一個實數(shù)x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4， ∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求實數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)． 1．命題“?x∈R，x＞sinx”的否定是________________． 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的否定 答案　?x∈R，x≤sinx 2．已知a>0且a≠1，命題“?x>1，logax>0”的否定是________________． 答案　?x>1，logax≤0 解析　a>0且a≠1，命題“?x>1，logax>0”的否定是“?x>1，logax≤0”． 3．對?x>0，a0，故x＋≥2＝2， 當且僅當x＝1時等號成立， 又a100. 答案?、? 解析　“有的三角形為正三角形”為存在性命題，其否定為全稱命題：“所有的三角形都不是正三角形”，故③錯誤． 1．對含有全稱量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將全稱量詞改寫成存在量詞，即將“任意”改為“存在”；第二步，將結論加以否定，如：將“≥”否定為“<”． 2．對含有存在量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將存在量詞改寫成全稱量詞；第二步，將結論加以否定．含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題．注意命題中可能省略了全稱或存在意義的量詞，要注意判斷． 3．全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題，因此在書寫時，要注意量詞以及形式的變化，熟練掌握下列常見詞語的否定形式： 原詞語 否定詞語 原詞語 否定詞語 是 不是 至少有一個 一個也沒有 都是 不都是 至多有一個 至少有兩個 大于 不大于 至少有n個 至多有(n－1)個 小于 不小于 至多有n個 至少有(n＋1)個 任意的 某個 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 一、填空題 1．命題“至少有一個正實數(shù)x滿足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________． 考點　存在量詞的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 答案　?x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0 2．下列命題中假命題有________個． ①?x∈(0，＋∞)，＋1≥x； ②?x，y∈Z，使得x＋y＝3； ③?x∈R，x2－2x－3＝0； ④所有正方形都是菱形； ⑤?x∈R，|x|≥x. 答案　1 解析?、贋榧倜}，②③④⑤為真命題． 3．已知命題p：?x∈R，sinx≤1，則綈p是____________． 答案　?x∈R，sinx>1 解析　所給命題為全稱命題，故其否定為存在性命題，?x∈R，sinx>1. 4．命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________________________． 答案　?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n 解析　“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定為“f(n)?N*或f(n)>n”，全稱命題的否定為存在性命題． 5．已知p：?x∈R,9x2－6x＋1＞0，q：?x∈R，sinx＋cosx＝，則p∨q是________命題．(填“真”“假”) 考點　含有一個量詞的命題 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案　真 解析　由于9x2－6x＋1＝(3x－1)2≥0，所以p為假命題．因為sin x＋cosx＝sin≤， 所以q為真命題， 因此p∨q是真命題． 6．命題“對任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________． 答案　存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3 解析　全稱命題的否定為存在性命題． 7．命題“每個函數(shù)都有奇偶性”的否定是______________． 答案　有些函數(shù)沒有奇偶性 解析　命題的量詞是“每個”，即為全稱命題，因此其否定是存在性命題，用量詞“有些、有的、存在一個、至少有一個”等，再否定結論． 8．若“?x∈，tanx≤m”是真命題，則實數(shù)m的最小值為________． 答案　1 解析　∵0≤x≤，∴0≤tanx≤1，∵“?x∈， tanx≤m”是真命題，∴m≥1，∴實數(shù)m的最小值為1. 9．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________． 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 答案　[3,8) 解析　因為p(1)是假命題， 所以1＋2－m≤0，解得m≥3. 又因為p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8， 故實數(shù)m的取值范圍是[3,8)． 10．設命題p：?x∈R，x2＋ax＋2＜0，若綈p為真，則實數(shù)a的取值范圍是________． 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 答案　(－∞，＋∞) 解析　綈p：?x∈R，x2＋ax＋2≥0為真命題， 顯然a∈R. 11．已知命題p：?x∈R，x－2>lgx，命題q：?x∈R，sinxlg10， 即8>1，故命題p為真命題； 對于命題q，取x＝－， 則sinx＝sin＝－1， 此時sinx>x，故命題q為假命題， 因此命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題， 命題p∧(綈q)是真命題，命題p∨(綈q)是真命題． 二、解答題 12．已知命題p：?x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若綈p是假命題，求實數(shù)m的取值范圍． 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　∵綈p是假命題， ∴p是真命題． 也就是?x∈R，有m＝－(4x－2x＋1)， 令f(x)＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1， ∴對任意x∈R，f(x)≤1. ∴m的取值范圍是(－∞，1]． 13．已知命題p：“至少存在一個實數(shù)x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”為真，試求參數(shù)a的取值范圍． 解　由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立． ∴設f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 則 ∴解得a≤－3， ∵綈p為假， ∴a>－3，即a的取值范圍是(－3，＋∞)． 三、探究與拓展 14．已知函數(shù)f(x)＝x2－mx＋1，命題p：“對任意x∈R，都有f(x)>0”，命題q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命題p的否定與q均為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________． 答案　(－3，－2]∪[2,3) 解析　由于命題p：“對任意x∈R，都有f(x)>0”，所以命題p的否定為“不等式f(x)≤0在實數(shù)集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命題q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在實數(shù)集上有解，故9－m2>0，所以－3m(x2＋1)，q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0，且p∧q為真，求實數(shù)m的取值范圍． 解　2x>m(x2＋1)可化為mx2－2x＋m<0. 若p：?x∈R,2x>m(x2＋1)為真， 則mx2－2x＋m<0對任意的x∈R恒成立． 當m＝0時，不等式可化為－2x<0，顯然不恒成立； 當m≠0時，由m<0且Δ＝4－4m2<0， 所以m<－1. 若q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0為真， 則方程x2＋2x－m－1＝0有實根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 又p∧q為真，故p，q均為真命題． 所以m<－1且m≥－2， 所以m的取值范圍為[－2，－1)．