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新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)檢測試題:27 基本不等式

上傳人:無*** 文檔編號:62012923 上傳時(shí)間:2022-03-13 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?08.50KB
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1、 基本不等式 例1:求證。 分析:此問題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式,并能由這一特征,思索如何將進(jìn)行變形,進(jìn)行創(chuàng)造”。 證明:∵,兩邊同加得, 即;∴, 同理可得:,, 三式相加即得。 例2:若正數(shù)、滿足,則的取值范圍是   。 解:∵,∴,令,得, ∴,或(舍去),∴,∴的取值范圍是。 說明:本題的常見錯(cuò)誤有二。一是沒有舍去;二是忘了還原,得出。前者和后者的問題根源都是對的理解,前者忽視了后者錯(cuò)誤地將視為。因此,解題過程中若用換元法,一定要對所設(shè)“元”的取值范圍有所了解,并注意還原之。 例3:已知,求證 證明:∵,,

2、, 三式相加,得,即 說明:這是一個(gè)重要的不等式,要熟練掌握。 例4:已知是互不相等的正數(shù),求證:。 證明:∵,∴ 同理可得: 三個(gè)同向不等式相加,得① 說明:此題中互不相等,故應(yīng)用基本不等式時(shí),等號不成立。特別地,,時(shí),所得不等式①仍不取等號。 例5:(1)求的最大值。 (2)求函數(shù)的最小值,并求出取得最小值時(shí)的值?!? (3)若,且,求的最小值。 解:(1)即的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,時(shí),取得此最大值。 (2) ∴的最小值為3,當(dāng)且僅當(dāng),即,,時(shí)取得此最小值。 (3)∴,即 ∵∴,即的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得此最小值。 例6:求函數(shù)的最值。 分

3、析:本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值,但是應(yīng)注意滿足相應(yīng)條件。如:,應(yīng)分別對兩種情況討論,如果忽視的條件,就會(huì)發(fā)生如下錯(cuò)誤: ∵, 解:當(dāng)時(shí),,又, 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),函數(shù)有最小值∴ 當(dāng)時(shí),,又, 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),函數(shù)最小值 ∴ 例7:求函數(shù)的最值。 分析:。但等號成立時(shí),這是矛盾的!于是我們運(yùn)用函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增這一性質(zhì),求函數(shù)的最值。 解:設(shè),∴。 當(dāng)時(shí),函數(shù)遞增,故原函數(shù)的最小值為,無最大值。 例8:求函數(shù)的最小值。 分析:用換元法,設(shè),原函數(shù)變形為,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果?;蛴煤瘮?shù)方程思想求解。 解:解法1: 設(shè),故 。 由,得:,

4、故:。 ∴函數(shù)為增函數(shù),從而。 解法2: 設(shè),知,可得關(guān)于的二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系,得:。 又,故有一個(gè)根大于或等于2,設(shè)函數(shù),則,即,故。 說明:本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解:。要知道,無實(shí)數(shù)解,即,所以原函數(shù)的最小值不是2。錯(cuò)誤原因是忽視了等號成立的條件。當(dāng)、為常數(shù),且為定值,時(shí),,不能直接求最大(?。┲?,可以利用恒等變形,當(dāng)之差最小時(shí),再求原函數(shù)的最大(?。┲?。 例9:求的最小值。 分析:此題出現(xiàn)加的形式和平方,考慮利用重要不等式求最小值。 解:由,得 又得,即。 故的最小值是。 例10:已知:,求證:。 分析:根據(jù)題設(shè),可想到利用重要不等式進(jìn)行證明。

5、證明: 同理:,, 。 說明:證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是:(1)想利用三元重要不等式解決問題;(2)不會(huì)利用重要不等式的變式;(3)不熟練證明輪換對稱不等式的常用方法。 因此,在證明不等式時(shí),應(yīng)根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu),合理地選擇重要不等式。另外,本題的證明方法在證輪換對稱不等式時(shí)具有一定的普遍性。 例11:已知,且,求的最大值。 解法1:由,可得,。 注意到??傻?,。當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,代入中得,故的最大值為18。 解法2:,,代入中得:,解此不等式得。下面解法見解法1,下略。 說明:解法1的變形是具有通用效能的方法,值得注意:而解法2則是抓住了問題的本質(zhì),所以解得更為簡捷。 例12:若,且,求證:。 分析:不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個(gè)因式分別使用基本不等式所得三個(gè)“2”連乘而來,而。 證明:,又,,,,即。同理,,。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立。 說明:本題巧妙利用的條件,同時(shí)要注意此不等式是關(guān)于的輪換式。

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