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2、 1 【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題20 概率（含解析） 一、選擇題 1．(文)(20xx·廣東文，7)已知5件產品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產品中任取2件，恰有1件次品的概率為(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 [答案]　B [解析]　5件產品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，

3、記為c，d，e，從這5件產品中任取2件，有10種，分別是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6種，分別是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，設事件A＝“恰有一件次品”，則P(A)＝＝0.6，故選B． (理)(20xx·太原市一模)某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個小球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中抽取一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]

4、　C [解析]　記甲、乙各摸一次得的編號為(x，y)，則共有36個不同的結果，其中甲、乙摸出球的編號相同的結果有6個，故所求概率P＝1－＝. [方法點撥]　1.用古典概型概率計算公式P＝求概率，必須先判斷事件的等可能性． 2．當某事件含有的基本事件情況比較復雜，分類較多時，可考慮用對立事件概率公式求解． 3．要熟練掌握列舉基本事件的方法，當古典概型與其他知識結合在一起考查時，要先依據(jù)其他知識點的要求求出所有可能的事件及基本事件數(shù)，再計算． 2．(文)若不等式組表示的平面區(qū)域為M，x2＋y2≤1所表示的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機向區(qū)域M內拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內的概率為(　　) A．

5、　　 B．　　 C．　　 D． [答案]　A [解析]　如圖，不等式組表示的平面區(qū)域M為△OAB，A(1，－1)，B(3,3)，S△OAB＝3， 區(qū)域N在M中的部分面積為，∴所求概率P＝＝. (理)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　∵S陰＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2， S正方形＝e2，∴P＝. [方法點撥]　1.當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解； 2．利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗

6、的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的測度的計算，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域． 3．幾何概型與其他知識結合命題，應先依據(jù)所給條件轉化為幾何概型，求出區(qū)域的幾何測度，再代入公式求解． 3．(文)在長為10cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC、CB的長，則該矩形面積小于24cm2的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [答案]　D [解析]　設線段AC的長為xcm，其中06.又0

7、0

8、活動中，有編號為1,2,3，…，18的18名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　設選出的三人編號為a－3，a，a＋3，則，∴4≤a≤15，共12種，從18人中選3人有C種選法，∴P＝＝. 5．(文)扇形AOB的半徑為1，圓心角為90°.點C、D、E將弧AB等分成四份．連接OC、OD、OE，從圖中所有的扇形中隨機取出一個，面積恰為的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　所有的扇形共10個，其中面積為的扇形共有3個，故所求概率為P＝. (

9、理)(20xx·太原二模)已知實數(shù)a，b滿足x1，x2是關于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0的兩個實根，則不等式0

10、x2正確地進行轉化；二是無法合理地求解幾何概型的測度．事實上，對于幾何概型的問題，關鍵是對測度的正確求解．糾錯的方法有：①加強對幾何概型測度的理解與求解；②平時注意積累解決幾何概型的方法，如長度法、面積法、體積法等． 6．(文)一個正方體玩具，其各面標有數(shù)字－3、－2、－1、0、1、2，隨機投擲一次，將其向上一面的數(shù)字記作m，則函數(shù)f(x)＝x3＋mx在(－∞，－)上單調的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　f ′(x)＝3x2＋m，當m≥0時，f ′(x)≥0，f(x)單調遞增；當m<0時，令f ′(x)＝0得，x＝±， ∴f(x)在(－∞，－)

11、上單調增加， ∵<<，∴－<－<－， ∴當m＝－1時，f(x)在(－∞，－)上單調遞增， ∴所求概率P＝＝. (理)(20xx·東北三省三校一模)一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a、b、c，當且僅當a > b，b < c時稱為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同，則這個三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　解法1：任取3個數(shù)，共能構成24個三位數(shù)，A＝“該數(shù)為凹數(shù)”，則A＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8個基本事件， ∴P(A

12、)＝＝. 解法2：從4個不同數(shù)中任取3個，這3個數(shù)字共組成6個不同三位數(shù)，其中凹數(shù)有2個，∴P＝＝. 7．有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [10.5,14.5)　　2　　[14.5,18.5)　　4 [18.5,22.5)　　9　　[22.5,26.5)　　18 [26.5,30.5)　　11　 [30.5,34.5)　　12 [34.5,38.5)　　8　　[38.5,42.5)　　2 根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內的概率約是(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　由已知可得，[30.5,42.5)

13、的數(shù)據(jù)共有22個，所以數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內的概率約是＝，選B． 8．(文)(20xx·陜西理，6)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [答案]　C [解析]　如圖，基本事件共有C＝10個，小于正方形邊長的事件有OA，OB，OC，OD共4個， ∴P＝1－＝. (理)從－＝1(m、n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析

14、]　當m，n∈{－1,2,3}時，－＝1所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)共有7個，(m，n)的取值分別為(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦點在x軸上的雙曲線方程有4個，(m，n)的取值分別為(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率為，選B． 二、填空題 9．(文)在三棱錐的六條棱中任選兩條，則這兩條棱所在直線為異面直線的概率是________． [答案]　 [解析]　從六條棱中任選兩條有15種可能，其中構成異面直線的有3種情況，故所求概率為P＝＝. (理)從正方體六個面的對角線中任取兩條，這兩條直

15、線成60°角的概率為________． [答案]　 [解析]　六個面的對角線共有12條，從中任取兩條共有C＝66種不同的取法． 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對角線AC成60°角的面對角線有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，DC1，D1C，共8條，同理與DB成60°角的面對角線也有8條，因此一個面上的對角線與其他四個相鄰面上的對角線成60°角的情形共有16對，故6個面共有16×6＝96對，因為每對被計算了2次，因此共有×96＝48對，∴所求概率P＝＝. [方法點撥]　解答概率與其他知識交匯的問題，要通過審題，將所要解決的問題轉化為相應的概率模型，然后按相應公式

16、計算概率，轉化時要特別注意保持等價． 10．(文)若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是________． [答案]　 [解析]　考查了幾何概型． 總面積2×1＝2. 半圓面積×π×12＝.∴p＝＝. (理)(20xx·呼和浩特第二次調研)在區(qū)間(0，)上任取一個數(shù)x，使得tanx<∫0cosxdx成立的概率是________． [答案]　 [解析]　求出定積分后結合三角函數(shù)的圖象解不等式．因為∫0cosxdx＝sinx|0＝1，所以原不等式即為tanx<1，x∈(0，)，解得0

17、 [易錯分析]　考生不能正確計算定積分，或者不能正確解簡單的三角不等式，都會導致幾何概型計算錯誤，所以幾何概型問題，正確運算是關鍵． 三、解答題 11．(文)(20xx·太原市一模)為了考查某廠2000名工人的生產技能情況，隨機抽查了該廠a名工人某天的產量(單位：件)，整理后得到如下的頻率分布直方圖(產量的分組區(qū)間分別為[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35])，其中產量在[20,25)的工人有6名． (1)求這一天產量不小于25的工人人數(shù)； (2)工廠規(guī)定從產量低于20件的工人中選取2名工人進行培訓，求這2名工人不在同一分組的概率． [解

18、析]　(1)由題意得，產量為[20,25)的頻率為0.06×5＝0.3， ∴n＝＝20， ∴這一天產量不小于25的工人人數(shù)為(0.05＋0.03)×5×20＝8. (2)由題意得，產量在[10,15)的工人人數(shù)為20×0.02×5＝2，記他們分別是A，B，產量在[15,20)的工人人數(shù)為20×0.04×5＝4，記他們?yōu)閍，b，c，d， 則從產量低于20件的工人中選取2位工人的結果為：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15種不同的結果， 其中

19、2位工人不在同一分組的結果為(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共有8種， ∴所求概率為P＝. (理)某電視臺舉辦“青工技能大賽”，比賽共設三關，第一、二關各有兩個問題，兩個問題全解決方可進入下一關，第三關有三個問題，只要解決其中的兩個問題，則闖關成功．每過一關可依次獲得100分、300分、500分的積分．小明對三關中每個問題正確解決的概率依次為、、，且每個問題正確解決與否相互獨立． (1)求小明通過第一關但未過第二關的概率； (2)用X表示小明的最后積分，求X的分布列和期望． [解析]　(1)設事件A＝“小明通過第一關但未

20、過第二關”，第一關第i個問題正確解決為事件Ai(i＝1,2)， 第二關第i個問題正確解決為事件Bi(i＝1,2)，則 P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝. 又∵A＝A1·A2·(·＋B1·＋·B2)， ∴P(A)＝P(A1)·P(A2)·(1－P(B1)·P(B2)) ＝()2×[1－()2]＝. (2)X∈{0,100,400,900}． P(X＝0)＝1－()2＝，P(X＝100)＝. P(X＝400)＝()2×()2×[()2＋C××()2]＝， P(X＝900)＝1－－－＝. ∴X的分布列為 X 0 100 400 900 P

21、 E(X)＝0×＋100×＋400×＋900×＝. 12．(文)(20xx·河南商丘市二模)某校團委會組織該校高中一年級某班以小組為單位利用周末時間進行了一次社會實踐活動，且每個小組有5名同學，在實踐活動結束后，學校團委會對該班的所有同學都進行了測評，該班的A，B兩個小組所有同學所得分數(shù)(百分制)的莖葉圖如右圖所示，其中B組一同學的分數(shù)已被污損，但知道B組學生的平均分比A組學生的平均分高1分． (1)若在B組學生中隨機挑選1人，求其得分超過85分的概率； (2)現(xiàn)從A組這5名學生中隨機抽取2名同學，設其分數(shù)分別為m，n，求|m－n|≤8的概率． [解析]　(1)A組學生的平均

22、分為＝85(分)， ∴B組學生平均分為86分，設被污損的分數(shù)為x，由＝86， ∴x＝88， 故B組學生的分數(shù)分別為93,91,88,83,75， 則在B組學生隨機選1人所得分超過85分的概率P＝. (2)A組學生的分數(shù)分別是94,88,86,80,77， 在A組學生中隨機抽取2名同學，其分數(shù)組成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)共10個， 隨機抽取2名同學的分數(shù)m，n滿足|m－n|≤8的事件有(94,88)，(94,86)，(88,86

23、)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6個． 故學生得分m，n滿足|m－n|≤8的概率P＝＝. (理)(20xx·河北衡水中學一模)已知關于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)若a，b分別表示將一枚質地均勻的骰子先后拋擲兩次時第一次、第二次正面朝上出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率； (2)設點(a，b)是區(qū)域內的隨機點，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． [解析]　(1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝. 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當且僅

24、當a>0且≤1，即2b≤a. 基本事件共有36個； 所求事件包含基本事件：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)． 所求事件包含基本事件的個數(shù)是9 ∴所求事件的概率為P＝＝. (2)由(1)知當且僅當2b≤ a且a>0時，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)． 依條件可知試驗的全部結果所構成的區(qū)域為，表示的三角形OAB，其中，O(0,0)，A(8,0)，B(0,8)，構成所求事件的區(qū)域為三角形OAC部分． 由得交點C坐標為. 故所求事件的概率為P＝＝. 13．(文)(20xx·石家

25、莊市一模)某商店計劃每天購進某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲利潤50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品虧損10元，若供不應求，則從外部調劑，此時每件調劑商品可獲利潤30元． (1)若商店一天購進該商品10件，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：件，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表： 日需求量 8 9 10 11 12 頻數(shù) 9 11 15 10 5 若商店一天購進10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當天的利潤在區(qū)間[400,500]的概率． [解

26、析]　(1)當日需求量n≥10時， 利潤為y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200； 當日需求量n<10時，利潤為y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100 所以，y關于日需求量n函數(shù)關系式為： y＝. (2)50天內有9天獲得的利潤380元，有11天獲得的利潤為440元，有15天獲得利潤為500元，有10天獲得的利潤為530元，有5天獲得的利潤為560元． 若利潤在區(qū)間[400,550]時，日需求量為9件、10件、11件該商品，其對應的頻數(shù)分別為11天、15天、10天． 則利潤區(qū)間[400,550]的概率為： p＝＝. (理)(20xx·東北三省四市聯(lián)考)太

27、陽島公園引進了兩種植物品種甲與乙，株數(shù)分別為18與12，這30株植物的株高編寫成莖葉圖如圖所示(單位：cm)， 甲 乙 9　8　6　6　5 16 2 9　7　6　5　4　2 17 3　7 7　7　4　3　2 18 1　5　7　8 2　0 19 1　5　7 20 1　7 若這兩種植物株高在185cm以上(包括185cm)定義為“優(yōu)秀品種”，株高在185cm以下(不包括185cm)定義為“非優(yōu)秀品種”． (1)求乙品種的中位數(shù)； (2)在以上30株植物中，如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀品種”和“非優(yōu)秀品種”中抽取5株，再從這5株中選2株，那么至少有一

28、株是“優(yōu)秀品種”的概率是多少？ (3)若從所有“優(yōu)秀品種”中選3株，用X表示3株中含甲類“優(yōu)秀品種”的株數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學期望． [解析]　(1)乙的中間有兩個數(shù)187和188，因此乙的中位數(shù)為187.5cm. (2)根據(jù)莖葉圖知“優(yōu)秀品種”有12株，“非優(yōu)秀品種”有18株， 用分層抽樣的方法抽取，每株被抽中的概率是＝， 故樣本中“優(yōu)秀品種”有12×＝2(株)， “非優(yōu)秀品種”有18×＝3(株)． 用事件A表示“至少有一株‘優(yōu)秀品種’被選中”， 則P(A)＝1－＝1－＝， 因此從5株植物中選2株，至少有一株“優(yōu)秀品種”的概率是. (3)依題意，一共有12株“

29、優(yōu)秀品種”，其中乙種植物有8株，甲種植物有4株，則X的所有可能取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 因此X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 14．(文)某高中社團進行社會實踐，對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次是否開通“微博”的調查，若開通“微博”的稱為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”．通過調查分別得到如圖1所示統(tǒng)計表和如圖2所示的各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖. 組數(shù) 分組 時尚族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 [25

30、,30) 120 0.6 第二組 [30,35) 195 p 第三組 [35,40) 100 0.5 第四組 [40,45) a 0.4 第五組 [45,50) 30 0.3 第六組 [50,55] 15 0.3 請完成以下問題： (1)補全頻率直方圖，并求n，a，p的值； (2)從[40,45)歲和[45,50)歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取6人參加網絡時尚達人大賽，其中選取2人作為領隊，求選取的2名領隊年齡在[40,45)歲的概率． [解析]　(1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×

31、5＝0.3， 所以高為＝0.06.頻率直方圖如下： 第一組的人數(shù)為＝200，頻率為0.04×5＝0.2， 所以n＝＝1000， 所以第二組的人數(shù)為1000×0.3＝300，p＝＝0.65， 第四組的頻率為0.03×5＝0.15，第四組的人數(shù)為1000×0.15＝150， 所以a＝150×0.4＝60. (2)因為[40,45)歲與[45,50)歲年齡段的“時尚族”的比值為6030＝21， 所以采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中有4人，[45,50)歲中有2人． 記a1、a2、a3、a4為[40,45)歲中抽得的4人，b1、b2為[45,50)歲中抽得的2人，全

32、部可能的結果有： (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)， (a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)， (a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15個， 選取的兩名領隊都在[40,45)歲的有6種， 所以所求概率為P＝＝. (理)(20xx·湖北七市聯(lián)考)小明家訂了一份報紙，寒假期間他收集了每天報紙送達時間的數(shù)據(jù)，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示． (1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，寫出眾數(shù)x0； (2)小明的父親上班離家的時間y在上午700至730之間，而送報人每天在x0時刻前后半小時內把報紙送達(每個時間點送達的可能性相等)． ①求小明的父親在上班離家前能收到報紙(稱為事件A)的概率； ②求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報紙的天數(shù)X的數(shù)學期望． [解析]　(1)x0＝700. (2)①設報紙送達時間為x，則小明父親上班前能收到報紙等價于 由圖可知，所求概率為P＝1－＝. ②X服從二項分布B(5，)，故E(X)＝5×＝(天)．