新編高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第11篇 第4節(jié) 證明方法
新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第十一篇 第4節(jié)
一、選擇題
1.(2014濰坊模擬)用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是( )
A.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)
B.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)
C.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)
D.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)
解析:“恰有一個(gè)”反面應(yīng)是至少有兩個(gè)或都是奇數(shù).故選B.
答案:B
2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒為負(fù)值 B.恒等于零
C.恒為正值 D.無(wú)法確定正負(fù)
解析:由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),
則f(x1)+f(x2)<0,故選A.
答案:A
3.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:<a”索的因應(yīng)是( )
A.a(chǎn)-b>0 B.a(chǎn)-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
解析:<a?b2-ac<3a2
?(a+c)2-ac<3a2
?a2+2ac+c2-ac-3a2<0
?-2a2+ac+c2<0
?2a2-ac-c2>0
?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
故選C.
答案:C
4.(2014九江模擬)用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí),假設(shè)正確的是( )
A.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60度
B.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度
C.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度
D.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角有兩個(gè)大于60度
解析:根據(jù)反證法的步驟,假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定,對(duì)“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”的否定,即“三個(gè)內(nèi)角都大于60度”.
答案:B
5.(2014遼寧大連模擬)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合,在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a,b∈S,對(duì)于有序元素對(duì)(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)),若對(duì)任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對(duì)任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( )
A.(a*b)*a=a
B.[a*(b*a)]*(a*b)=a
C.b*(b*b)=b
D.(a*b)*[b*(a*b)]=b
解析:由已知條件可得對(duì)任意a,b∈S,a*(b*a)=b,
則b*(b*b)=b,
[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,
(a*b)*[b*(a*b)]=(a*b)*a=b,
即選項(xiàng)B,C,D中的等式均恒成立,僅選項(xiàng)A中的等式不恒成立.故選A.
答案:A
6.(2014四平二模)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是( )
A.②③ B.①②③
C.③ D.③④⑤
解析:若a=,b=,
則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;
對(duì)于③,即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,
反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,
則a+b≤2,與a+b>2矛盾,
因此假設(shè)不成立,a,b中至少有一個(gè)大于1.故選C.
答案:C
二、填空題
7.設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是________.
解析:法一 取a=2,b=1,得m<n.
法二 分析法:-<?+>?a<b+2·+a-b?2·>0,顯然成立.
答案:m<n
8.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為_(kāi)_______.
解析:由條件得
cn=an-bn=-n=,
∴cn隨n的增大而減?。?
∴cn+1<cn.
答案:cn+1<cn
9.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根,那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是________.
解析:“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”.
答案:假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)
10.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且對(duì)任意的m,n∈N*都有:
(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.
(2)f(m+1,1)=2f(m,1).
給出以下三個(gè)結(jié)論:
①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;③f(5,6)=26.
其中正確結(jié)論的序號(hào)有________.
解析:由題意知①f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6=f(1,1)+8=1+8=9.正確.
②f(5,1)=2f(4,1)=4f(3,1)=8f(2,1)=16f(1,1)=16.正確.
③f(5,6)=f(5,5)+2=…=f(5,1)+10=16+10=26.正確.
答案:①②③
三、解答題
11.已知a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.
證明:法一 假設(shè)三式同時(shí)大于,
即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,
∵a、b、c∈(0,1),
∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>.(*)
又(1-a)a≤2=,
同理(1-b)b≤,(1-c)c≤,
∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,
這與(*)矛盾,所以假設(shè)不成立,故原命題正確.
法二 假設(shè)三式同時(shí)大于,
∵0<a<1,
∴1-a>0,
≥>=,
同理>,
>,
三式相加得>,這是矛盾的,故假設(shè)錯(cuò)誤,
∴原命題正確.
12.(2014寧德模擬)設(shè)函數(shù)f(x)定義在(0,+∞)上,f(1)=0,導(dǎo)函數(shù)f′(x)=,g(x)=f(x)+f′(x).
求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.
解:由題設(shè)易知f(x)=ln x,
g(x)=ln x+,
g′(x)=.
令g′(x)=0得x=1.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,
故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,
故(1,+∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,因此x=1是g(x)的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn),所以最小值為g(1)=1.