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不等式能成立(有解)問題的處理方法
若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上;若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的。若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式有解,則等價于在區(qū)間上的最小值;若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式無解,則等價于在區(qū)間上的最小值。
例12、已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集,求實數(shù)的取值范圍。
例13、若關
3、于的不等式的解集不是空集,則實數(shù)的取值范圍是 。
解:設。則關于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或。
例14、已知函數(shù)()存在單調遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍。
解:,則
因為函數(shù)存在單調遞減區(qū)間,所以有解。
由題設可知,的定義域是 ,而在上有解,
就等價于在區(qū)間能成立,即,
成立, 進而等價于成立,其中;
由得,。于是,,
由題設,所以的取值范圍是。
不等式恰成立問題的處理方法 [精編數(shù)學高考復習資料]
例15、不等式的解集為,則 6 。
例16、已知當?shù)闹涤蚴?,試求實?shù)的值。
解:本題是一個恰成立問
4、題,這相當于的解集是;
當時,由于時, ,與其值域是矛盾,
當時, 是上的增函數(shù),
所以,的最小值為,令,即
四、應用舉例 [精編數(shù)學高考復習資料]
1、若不等式對任意實數(shù)恒成立,求實數(shù)取值范圍。
2、已知不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
4、不等式在內恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
5、(1)對一切實數(shù),不等式恒成立,求實數(shù)的范圍。
(2)若不等式有解,求實數(shù)的范圍。
(3)若方程有解,求實數(shù)的范圍。
6、(1)若滿足方程,不等式恒成立,求實數(shù)的范圍。
(2)若滿足方程,,求實數(shù)的范圍。
7、已知恒成立,則的取值范圍是 。
5、
解:設,其函數(shù)圖象的開口向上,
又,,即的取值范圍是。
8、當時,不等式恒成立,則的取值范圍是 。 [精編數(shù)學高考復習資料]
9、已知不等式對任意正實數(shù)恒成立,則正實數(shù)的最小值為 。
10、不等式對一切非零實數(shù)總成立,則的取值范圍是。
11、已知是方程的兩個實根,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 。
12、若不等式在上恒成立,則實數(shù) 的取值范圍是 。 [精編數(shù)學高考復習資料]
13、已知,函數(shù)當時,恒有成立,則實數(shù)的取
6、值范圍是 。
14、若不等式在內恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 。
15、若不等式,當時恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 。
16、若方程在區(qū)間內有解,則實數(shù) 的取值范圍是 。 [精編數(shù)學高考復習資料]
17、(1)已知,若關于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個,則( C )
A、 B、 C、 D、 [精編數(shù)學高考復習資料]
(2)已知不等式組的解集中只含有一個整數(shù)解—2,則實數(shù) 的取值范圍是
7、 。
(3)若關于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個,則實數(shù)的取值范圍是 。
解:已知不等式化為,因為解集中的整數(shù)恰有個,則
,即。
不等式的解滿足,即,
顯然,,為使解集中的整數(shù)恰有個,則必須且只須滿足。 [精編數(shù)學高考復習資料]
即,解得,
所以實數(shù)的取值范圍是。
18、,不等式恒成立,則實數(shù) 的取值范圍是 。
19、設是定義在上的奇函數(shù),且當時,,若對任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是( C )
A、 B、 C、 D、 [精編數(shù)學高考復習資料]
20、設函數(shù)對任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍是。
21、設函數(shù),對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是。
解:依據題意得
在上恒定成立,即在上恒成立;
當時,函數(shù)取得最小值,
所以,即,解得或。