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2019-2020年高三數(shù)學第三輪復習 第9部分 直線與圓錐曲線題型整理分析 70、直線的傾斜角是直線向上方向與軸正方向所成的角，當直線是軸或與軸平行時，直線的傾斜角是0，直線傾斜角的范圍是.當直線與軸不垂直時，傾斜角的正切值稱為直線的斜率. ［舉例］已知直線的斜率是，直線過坐標原點且傾斜角是傾斜角的兩倍，則直線的方程為＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由的斜率是，知直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，則的斜率為，所以直線的議程為. 71、若直線的傾斜角為，直線的斜率為，則與的關(guān)系是： ；　　. ［舉例］已知直線的方程為且不經(jīng)過第二象限，則直線的傾斜角大小為―――――――――――――――――――――――――――――――（　　） A、；　　　B、；　　　C、；　　　D、. 分析：注意到直線的斜率，又直線不過第二象限，則，所以此直線的傾斜角為，選B. 72、常見直線方程的幾種形式及適用范圍要熟悉：（1）點斜式，過定點與軸不垂直；（2）斜截式，在軸上的截距為與軸不垂直；（3）截距式，在軸軸上的截距分別為與坐標軸不平行且不過坐標原點.特別注意的是當直線過坐標原點（不是坐標軸）時，直線在兩坐標軸上的截距也相等，直線在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的斜率為－1，或此直線過原點. ［舉例］與圓相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線有――（　?。? A、2條；　　　　　　B、3條；　　　　　　C、4條；　　　　　　D、5條. 分析：注意到截距與距離之間的區(qū)別，截距指的是曲線（直線）與坐標軸交點的一個坐標，它有正負（也可以是0）之分.選B. 73、求直線的方程時要特別注意直線的斜率是否存在的情況，不確定時要注意分類討論，漏解肯定是斜率不存在的情況.要明確解析幾何是“用代數(shù)方法解決幾何問題”的道理，所以做解析幾何問題不要“忘形”. ［舉例］過點與坐標原點距離為2的直線方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：若僅用點斜式設出直線方程，再用點到直線的距離來求解，則會漏解，這是因為在設立方程的時候就排除了斜率存在的情況.考慮到直線滿足題義，故所求直線有兩條，其方程為：與. 74、兩直線位置關(guān)系討論的主要依據(jù)是兩直線的斜率，要注意斜率不存在時的情況.掌握點到直線的距離公式、兩平行直線之間的距離公式、兩直線的夾角公式.由一般式方程判斷兩直線之間的關(guān)系：直線：不全為0）、：，（不全為0）.則的充要條件是且與至少有一個不為零；的充要條件是；與相交的充要條件是. ［舉例1］直線斜率相等是的――――――――――――――――――（　　） A、充分不必要條件；B、必要不充分條件；C、充要條件；D、既不充分又不必要條件. 分析：直線斜率相等，兩直線可能重合，不一定有；又兩直線，考慮到特殊情況，若都與軸垂直，則它們的斜率不存在，就談不上斜率相等了.選D. ［舉例2］直線過點與以為端點的線段AB有公共點，則直線傾斜角的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：直線與線段之間的關(guān)系可借助于數(shù)形結(jié)合的方法來解決，先確定出“極限”位置時直線的傾斜角（斜率），再從旋轉(zhuǎn)的角度進行變化研究..若直線與線段AB有公共點，則其斜率存在時的取值范圍是：或，或其斜率不存在.因此直線傾斜角的取值范圍是. 利用數(shù)形結(jié)合解決這類問題時，困惑的是要求的直線斜率的取值范圍問題.可以這樣來確定：過定點P的直線（傾斜角為）與線段AB有公共點（PA、PB與軸不垂直），PA、PB的傾斜角分別為，則.若直線的斜率為（存在的話），PA、PB的斜率分別為，當時，則有；當時，則有或. 在解這類問題時也可以利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識來求解.設直線的方程為，，若與線段AB有公共點（A、B兩點在直線的兩側(cè)或有一點在直線上），則；若與AB沒有公共點（A、B兩點在直線的同側(cè)），則.這樣可很方便地求出直線的斜率. 75、點A、B關(guān)于直線對稱即是線段AB的垂直平分線，垂直是斜率關(guān)系，平分說明AB的中點在上.特別注意：當對稱軸所在直線的斜率為1或－1時，對稱點的坐標可用代入的方法求得.即點關(guān)于直線的對稱點是；點關(guān)于直線的對稱點是. ［舉例1］將一張畫有直角坐標系的圖紙折疊使點與點重合，若點與點D重合，則點D的坐標為＿＿＿＿＿； 分析：實際上這是一個對稱的問題，對稱軸是AB的垂直平分線：，D點是C點關(guān)于直線的對稱點.求點關(guān)于直線的對稱點的坐標要緊緊抓住垂直（斜率關(guān)系）平分（中點坐標）這兩個方面列方程組求解.設D點的坐標為，則，且，求得：. ［舉例2］拋物線C1：關(guān)于直線對稱的拋物線為C2，則C2的焦點坐標為＿＿＿＿＿＿. 分析：兩拋物線關(guān)于一直線對稱，則它們的焦點也關(guān)于此直線對稱，只要求焦點關(guān)于此直線的對稱點即可.拋物線C1的焦點坐標為，所以C2的焦點坐標為. 76、直線與圓的位置關(guān)系的判斷主要是利用點（圓心）到直線的距離來判斷.設圓C的半徑是，圓心到直線L的距離是，當時，直線L與圓C相離；當時，直線L與圓C相切；當時，直線L與圓C相交.求直線被圓所截的弦長可用圓半徑、弦心距、弦長一半組成直角三角形來求解. ［舉例1］已知點是圓外的一點，則直線與圓的位置關(guān)系是―――――――――――――――――――――――――――――――――――（　?。? A、相離；　　　B、相切；　　　C、相交且不過圓心；　　　D、相交且過圓心. 分析：點在圓外，則，圓心到直線的距離，又.選C. 關(guān)注：若點是圓上的一點，則直線是圓過此點的切線方程；若點是圓外的一點，則直線是此圓過該點有兩切線的切點弦的方程. O ［舉例2］若圓O：上有且只有兩點到直線的距離為2，則圓的半徑的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：如圖：圓心O到直線的距離為3，與直線 距離為2的點的軌跡是與平行且與距離為2的兩 平行直線（圖中虛線）.由題義知直線與圓O 有兩不同交點，而與圓O沒有公共點.因此圓O半 徑的取值范圍是. 77、確定圓的方程可以利用圓的標準方程，即確定圓心坐標與半徑；也可以利用圓的一般方程，即確定系數(shù)D、E、F.要注意的是方程表示圓的充要條件是.確定一個圓的方程需要三個互相獨立的條件（因為標準方程與一般方程中都三個待定的系數(shù)）. ［舉例1］二次方程表示圓的充要條件是＿＿＿＿＿； 分析：注意到圓的一般方程中沒有這樣的項，且二次項系數(shù)都為1.則必有，且，此時方程可以化成：.與圓的一般方程比較可以得出：.其充要條件為：. ［舉例2］已知圓C被軸截得的弦長是2，被軸分成的兩段弧長之比為，求圓心C的軌跡方程. 分析：如圖，設圓心，圓半徑為.因圓被軸截得的線段長為2，圓心到軸的距離為，則根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，知， 又圓被軸所分成的兩段弧長之比為，則軸被所截得 的弦所對的中心角為直角，圓心到軸距離為，則 .則.即所求的軌跡方程為 . 78、掌握圓的基本特征：圓上任意兩點的垂直平分線是圓的直徑所在的直線；直線平分圓的充要條件是此直線一定過該圓的圓心；與兩定點連線所成角為直角的動點的軌跡是以定線段為直徑的圓（或圓?。┑? A B M N O ［舉例1］直線過定點與圓交于A、B兩點，則弦AB中點N的軌跡方程為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 分析：解決與圓有關(guān)的的問題要“對得起”圓.即要抓 住圓的幾何特征.如圖：，M、O都是定點， 所以N在以線段OM為直徑的圓上，其方程為 .注意到點N在圓內(nèi)，則弦N的軌跡方程為（. A B M O ［舉例2］直線過定點與圓 交于A、B兩點，O是坐標原點，則△AOB面積的 最大值為＿＿＿＿＿＿＿； 分析：由圓的性質(zhì)知，△AOB是等腰三角形， ，所以當為直角時，其面積最大，最大值為2. ［舉例3］已知A是圓上任意一點，點A關(guān)于直線的對稱點也在圓上，那么實數(shù)的值為＿＿＿＿＿. 分析：圓上的點關(guān)于直線的對稱點仍然在圓上，則此直線必過圓心，代入知：. 79、兩圓之間的位置關(guān)系的判斷主要是利用兩圓的半徑的差或和與兩圓的圓心距之間的大小關(guān)系.設圓A的半徑為，圓B的半徑為（不妨設），則有：（1），兩圓外離；（2），則兩圓外切；（3），則兩圓相交；（4），則兩圓內(nèi)切；（5），則兩圓內(nèi)含.關(guān)注：兩圓的位置關(guān)系也可以由兩圓的公切線的條數(shù)上來分. C M O N ［舉例1］已知動圓C與定圓M：相切，且與軸相切，則圓心C的軌跡方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 分析：如圖：（1）當兩圓外切時，設動圓的半徑為， 則，C到軸的距離為，則C到直 線的距離，那么C到直線 的距離與C到M的距離相等，所以點C的軌跡是以 C M O N M為焦點，直線為準線的拋物線.其方程為： . （2）當兩圓內(nèi)切時，可得C到M的距離與C到直線 的距離相等，所以此時點C的軌跡是以M為焦點， 直線為準線的拋物線.其方程為：. 所以圓心C的軌跡方程為：與. ［舉例2］已知，一動圓I過點M與圓N：內(nèi)切. （1）求動圓圓心I的軌跡C的方程； （2）經(jīng)過點作直線交曲線C于A、B兩點，設，當四邊形OAPB的面積最大時，求直線的方程. 分析：（1）如圖，動圓I與定圓N內(nèi)切，設動圓半徑為，則.那么有： ，，所以I點的軌跡是以M、N為焦點4為長軸長的橢圓.其方程為. M N I O （2）由知，四邊形OAPB是平行四邊形.要 使得四邊形OAPB面積最大，則△OAB的面積最大，注意變 化中的定值條件.△OAB的面積是△AOQ的面積與△BOQ的 面積之差.設A，則. 可在聯(lián)立方程組時，消去變量，保留. A B P O Q 設直線的方程為， 由.由 △=，得. 由韋達定理得： 知.則= .令，那么： ，當時等號成立.此時，即所求的直線方程為. 80、橢圓的定義中要注意隱含的條件：定值大于兩定點之間的距離.掌握橢圓基本量之間的關(guān)系，分清長軸、短軸、焦距、半長軸、半短軸、半焦距.橢圓最基本的幾何性質(zhì)是定義的逆用：“橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和等于長軸的長”. ［舉例1］已知復數(shù)滿足，則對應點的軌跡是＿＿＿＿＿＿＿； 分析：根據(jù)復數(shù)的幾何意義，復數(shù)對應點到與對應點的距離之和為4，看似橢圓，但注意到兩定點之間的距離為4.所以對應點的軌跡是以與對應點為端點的線段. ［舉例2］設P是以為焦點的橢圓上的一點，若點P滿足：，則橢圓的焦距與長軸的比值為―――――――――（　?。? A、；　　　　　　　B、；　　　　　　　C、；　　　　　　　D、. 分析：由題知，又，則.由得.則.則.選D. 81、橢圓中一些常見的結(jié)論要記住，這對解決選擇填空等客觀性問題時比較方便，如：橢圓的基本量蘊含在焦點、中心、短軸端點所構(gòu)成的直角三角形中；橢圓的短軸的端點對兩焦點的張角是橢圓上點與兩焦點張角（與兩焦點連線夾角）的最大值；短半軸、長半軸的幾何意義是橢圓上點與中心距離的最小值與最大值；焦點到橢圓上點的距離的最大值與最小值分別是與；過橢圓焦點的弦長最大值是長軸長，最小值是垂直于長軸所在直線的弦（有時稱為通徑，其長為）. ［舉例1］一直線過橢圓的左焦點，被橢圓截得的弦長為2，則直線的方程為＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 分析：注意到此橢圓的通徑長為2，所以此直線的方程為. ［舉例2］橢圓上有個不同的點，橢圓的右焦點為F，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則的取值范圍是＿＿＿＿＿. 分析：注意到的取值范圍是，若數(shù)列是遞增數(shù)列，有，此時.若數(shù)列是遞減數(shù)列則.所以. 82、橢圓上任意一點P與兩焦點構(gòu)成的三角形可稱為橢圓的焦點三角形.焦點三角形的周長為定值，利用解三角形的方法可以得出：當＝時，此三角形的面積為（引起注意的是此結(jié)論的推導過程要掌握）. ［舉例］已知點，點C在直線上滿足，則以A、B為焦點過點C的橢圓方程為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. A B O C 分析：注意到△ABC的面積為2，且，即，則.所以所求的橢圓方程為. 另解：由圖，因為△ABC是直角三角形，｜AB｜＝4， ，， 可求得.所以所求的橢圓方程為. 83、雙曲線的定義中的隱含條件是“兩焦點之間的距離大于定值（實軸長）”，雙曲線基本量之間的關(guān)系要與橢圓基本量的關(guān)系區(qū)分開來，從定義上來說橢圓與雙曲線的定義是一字之差，方程是一符號之差，但兩者之間的幾何性質(zhì)完全不同. ［舉例］一雙曲線C以橢圓的焦點為頂點，長軸頂點為焦點，則此雙曲線的方程為＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由題知雙曲線的實軸在軸上，可設其方程為.注意到雙曲線的其本量關(guān)系可得：，所以所求雙曲線方程為. 84、漸近線是雙曲線特有的幾何性質(zhì)，要特別注意雙曲線的漸近線方程，理解“漸近”的意義.雙曲線的漸近線的方程為，與雙曲線共漸近線的雙曲線可以設成（其中是待定的系數(shù)），雙曲線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是虛半軸長. ［舉例1］一雙曲線與有共同漸近線且與橢圓有共同焦點，則此雙曲線的方程為＿＿＿＿＿＿＿＿； 分析：由題可設所求雙曲線的方程為，因其焦點在軸上，則.則標準式為，那么.得所求雙曲線為. O ［舉例2］若關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是＿＿＿＿＿＿. 分析：若從代數(shù)角度入手討論比較麻煩.從數(shù)形結(jié)合入手， 借助于雙曲線的漸近線，則很容易得解.在同一坐標系中 作出（雙曲線的上半部分）與 （過定點的直線）的圖像.如圖：可 得. 85、記住雙曲線中常見的結(jié)論：（1）過雙曲線焦點的直線被雙曲線同支截得的弦長的最小值是通徑（垂直于實軸的弦長），被兩支截得的弦長的最小值是實軸的長；（2）雙曲線焦點到同側(cè)一支上的點的距離最小值是，到異側(cè)一支上點的距離最小值是；（3）雙曲線的焦點為，P是雙曲線上的一點，若，則△的面積為（仿橢圓焦點三角形面積推導）. ［舉例1］已知雙曲線的方程為，P是雙曲線上的一點，F(xiàn)1、F2分別是它的兩個焦點，若，則＿＿＿＿＿＿； 分析：由雙曲線的定義，知或13.注意P點存在的隱含條件，所以. ［舉例2］橢圓和雙曲線的公共焦點為，P是它們的一個公共點，則＿＿＿＿＿； 分析：由橢圓與雙曲線有公共焦點，可得，所以由.又由橢圓的焦點三角形的面積知△PF1F2的面積為，由雙曲線的焦點三角形的面積知△PF1F2的面積為，則.解得，由萬能公式得. 另解：也可以由（不妨設），求得，，又由，利用余弦定理可得. ［舉例3］雙曲線的兩焦點為是此雙曲線上的一點，且滿足＝，則△的面積為＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由題可以得出點P在橢圓上，設，由焦點三角形的面積公式可知對于橢圓，對于雙曲線，則必有，所以△的面積等于1. 86、拋物線是高考命題中出現(xiàn)頻率最高的圓錐曲線.僅從標準方程上，拋物線就有四種不同的形式，要注意開口方向與標準方程的關(guān)系.不要將拋物線的標準方程與二次函數(shù)的表達式相混淆. ［舉例］拋物線的焦點坐標是＿＿＿＿＿；準線方程是＿＿＿＿＿. 分析：注意到方程不是拋物線的標準方程，其標準形式為.所以此拋物線的焦點坐標為，準線方程為. 87、記住拋物線的常見性質(zhì)：（1）拋物線上任意一點到焦點距離等于它到準線的距離；（2）過拋物線的焦點與頂點的直線是拋物線的對稱軸；（3）頂點、焦點、準線之間的關(guān)系；（4）過焦點與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為；（5）通徑是過拋物線焦點的弦中長度最小的一條. ［舉例1］已知拋物線的焦點為，對稱軸為，且過M（3,2），則此拋物線的準線方程為＿＿＿； 分析：若僅局限于拋物線的標準方程，此題無法解決.考慮到拋物線的性質(zhì)，準線是與對稱軸垂直，則其方程可設為.由拋物線的定義可知拋物線上點到焦點的距離與其到準線的距離相等，因此到準線距離等于，則，則.所以拋物線的準線為. ［舉例2］直線過拋物線的焦點與拋物線交于A、B兩點，若A、B兩點到軸的距離之和等于3，則這樣的直線有―――――――――――――――――（　?。? A、1條；　　　　　B、2條；　　　　　C、3條；　　　　　D、不存在. 分析：A、B兩點到軸的距離之和為3，則A、B兩點到準線的距離之和為5.根據(jù)拋物線的定義可得弦長，此拋物線的通徑為4，故滿足題義的直線有2條.選B. 88、過拋物線的焦點的直線被拋物線截得的弦稱為拋物線的焦點弦.以拋物線為例，焦點弦有下列常用性質(zhì)：設拋物線的焦點為F，是拋物線上的兩點.（1）A、B、F三點共線的充分必要條件是；（2）；（3）若AB過焦點，則以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；（4）AB過焦點，則為定值；（5）AB過焦點，則. ［舉例1］直線過拋物線的焦點與拋物線交于A、B兩點，O是拋物線的頂點，則△ABO的形狀是――――――――――――――――――――――――――――――――（　?。? A、直角三角形；B、銳角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與拋物線的開口大小有關(guān). 分析：不妨設此拋物線的方程為，過焦點的直線，代入拋物線方程得：，設，則， .，所以為鈍角.選C. [舉例2]求證：過拋物線焦點的所有弦長的最小值是. 分析：本例的證明方法很多.設其焦點弦為AB，，則由拋物線的定義知.當且僅當時等號成立.此時直線AB與對稱軸垂直. 89、“點差法”是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系中與弦的中點有關(guān)問題的常用方法.“點”是指弦端點、弦中點；“差”是指將弦端點坐標代入曲線方程作差.由點差法可以利用弦中點的坐標表示出弦所在直線的斜率. ［舉例］已知點M是橢圓的一條不垂直于對稱軸的弦AB的中點，O是坐標原點，設OM、AB的斜率分別為，則＝―――――――――――――（　?。? A、；　　　　　B、；　　　　　C、；　　　　　D、. 分析：設，則，，兩式作差得，又，所以.即.選C. 90、當直線過軸上的定點時，若直線不是軸，則此直線方程可以設成.這樣可以避免討論直線斜率是否存在. ［舉例］設直線過橢圓的右焦點，與橢圓相交于A、B兩點，O是坐標原點，當△OAB的面積最大時，求直線的方程. 分析：由題可設直線：代入橢圓方程中得：，設，可得△OAB的面積S=，可得： ，則當時，S有最大值為1.此時直線方程為：. 91、求動點的軌跡方程要能充分地將“動”與“定”有機的聯(lián)系起來，以“定”制“動”.也可以先由動點定軌跡后方程.常見動點的軌跡要熟記. ［舉例1］設點P為雙曲線上的動點，F(xiàn)是它的左焦點，M是線段PF的中點，則點M的軌跡方程是＿＿＿＿＿； 分析：設又.由題義得：，代入 得：即為所求的軌跡方程.像這種求軌跡的方法稱為代入轉(zhuǎn)移法，它適用于由定曲線上的動點所確定的另一動點的軌跡方程的求法.具體步驟是用要求軌跡方程的動點坐標來表示定曲線上的動點坐標，代入定曲線的方程. ［舉例2］已知橢圓的焦點是，P是橢圓上的一個動點.如果延長到Q，使得，那么動點Q的軌跡是―――――――――――――――――――（　?。? A、圓；　　　　　B、橢圓；　　　　　C、雙曲線的一支；　　　　　D、拋物線. F1 F2 P Q O 分析：注意到橢圓的性質(zhì)：為定值， 又，所以為定值.由圓的定義 知，Q點的軌跡是以F1為圓心，橢圓長軸長為半徑 的圓.選A.這種求軌跡的方法稱之為定義法：即是 根據(jù)常見曲線的定義來確定動點的軌跡. 92、直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系的討論主要是轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)的討論，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程得方程組，消去其中一個量得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，利用根的判別式進行討論，但要注意二方面：一是直線的斜率是否存在，二是所得方程是否為一元二次方程.直線與非封閉曲線（雙曲線、拋物線）聯(lián)立得到的方程二次項可能為零. ［舉例］已知直線過點，雙曲線C：. （1）若直線與雙曲線有且僅有一個公共點，求直線的方程； （2）若直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，求直線斜率的取值范圍； （3）是否存在直線使其與雙曲線的有兩個不同的交點A、B，且以AB為直徑的圓過坐標原點？若存在求出此直線的斜率，不存在說明理由. 分析：（1）當直線與軸垂直時，直線滿足題義.當直線與軸不垂直時，設直線方程為，聯(lián)立得方程：---（*） 當時，方程（*）是一次方程，直線與雙曲線有一個公共點，此時直線方程為.當時，由△，得，所以滿足題義的直線為：. （2）直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則方程（*）有兩不等的正根.由△ ，知且，得或. （3）若以AB為直徑的圓過坐標原點，則，設，即.，將代入化簡得：，（滿足 注意：解析幾何的運算量比較大，一般來說似繁的運算式子最后可以化簡得出，若遇求解不出，問題常出在運算過程的失誤.要有耐心、細心才行. 93、特別關(guān)注向量背景下的解幾問題，及解幾背景下的向量問題.能熟練地將“向量語言”轉(zhuǎn)化為“解幾語言”，如：即OA⊥OB；∥即A、B、C共線等；有時也需要將“幾何語言”轉(zhuǎn)化為“向量語言”，如：∠APB為銳角等價于：，且A、P、B不共線. ［舉例］傾角為的直線過拋物線的焦點F與拋物線交于A、B兩點，點C是拋物線準線上的動點. F A B C O （1）△ABC能否為正三角形？ （2）若△ABC是鈍角三角形，求點C縱坐標的取值范圍. 分析：（1）直線方程為，由可 得.若△ABC為正三角形，則 ，由，那么CA與軸平行，此 時，又.與|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC不可能是下正三角形. （2）設，則，不可以為負，所以不為鈍角. 若為鈍角，則，，則，得. 若角為鈍角，則且C、B、A不共線.可得且. 綜上知，C點縱坐標的取值范圍是.