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1、
第46練 基本不等式
訓練目標
(1)熟練掌握基本不等式及應用方法;(2)會用基本不等式解決最值問題;(3)能將基本不等式與函數、數列、三角函數等知識結合,解決綜合問題.
訓練題型
(1)比較兩數(式)的大??;(2)求最大(小)值;(3)求代數式、函數式值域;(4)求參數范圍;(5)與其他知識交匯綜合應用.
解題策略
(1)直接利用基本不等式(注意應用條件);(2)將已知條件變形,以“和”或“積”為定值為目標,構造基本不等式“模型”(注意積累變形技巧,總結變形突破點).
一、選擇題
1.(20xx·青島模擬)設a,b∈R,已知命題p:a2+b2≤2ab;命題q
2、:2≤,則p是q成立的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.若正實數x,y滿足x+y++=5,則x+y的最大值是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.(20xx·泰安模擬)若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是( )
A.a+b≥2 B.+>
C.+≥2 D.a2+b2>2ab
4.當x>1時,不等式x+≥a恒成立,則實數a的取值范圍是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[3,+∞) D.(-∞,3]
5.若a>b>0,則a2+的最小值為( )
A.2
3、 B.3
C.4 D.5
6.已知正項等比數列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,an使得=4a1,則+的最小值為( )
A. B.
C. D.不存在
7.若直線ax+by-1=0(a>0,b>0)過曲線y=1+sin πx(00,y>0,且+=1,則x+y的最小
4、值是________.
10.(20xx·長春調研)若兩個正實數x,y滿足+=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實數m的取值范圍是________.
11.函數y=1-2x-(x<0)的最小值為________.
12.已知正實數x,y滿足等式x+y+8=xy,若對任意滿足條件的x,y,不等式(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,則實數a的取值范圍是________.
答案精析
1.B [當p成立的時候,q一定成立,但當q成立的時候,p不一定成立,所以p是q的充分不必要條件.]
2.C [因為xy≤,x>0,y>0,所以≥,≥,
所以x+y+≤5.設x+y=t,即
5、t+≤5,得到t2-5t+4≤0,解得1≤t≤4,所以x+y的最大值是4.]
3.C [因為ab>0,所以>0,>0,即+≥2 =2(當且僅當a=b時等號成立),所以選C.]
4.D [設f(x)=x+,因為x>1,所以x-1>0,則f(x)=x-1++1≥2+1=3,所以f(x)min=3,因此要使不等式x+≥a恒成立,則a≤3,所以實數a的取值范圍是(-∞,3],故選D.]
5.C [原式=[(a-b)+b]2+
≥[2]2+
=4(a-b)b+
≥2=4(當且僅當a=,b=時取等號).]
6.A [∵a7=a6+2a5,∴a5q2=a5q+2a5,
又∵{an}是正項等比
6、數列,
∴a5≠0,且q>0,∴q2-q-2=0,
∴q=2或q=-1(舍去).
又=4a1,
∴am·an=16a,aqm+n-2=16a,
又a≠0,∴m+n-2=4,∴m+n=6,
+=(+)(m+n)
=(5++)
≥(5+2 )=.
當且僅當=,
即m=2,n=4時取等號.]
7.C [畫出y=1+sin πx(00,b>0,
所以+=(+)(a+b)
=1+++2≥3+2,
當且僅當=時取等號.
即(+)min=3+2
7、.故選C.]
8.B [∵a,b是互相垂直的單位向量,
設a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).
由a·c=b·c=1,得x=y(tǒng)=1,
即c=(1,1),
∴c+ta+b=(1,1)+(t,0)+(0,)
=(1+t,1+),
∴|c+ta+b|
=2
=,
∵t>0,∴t+≥2,t2+≥2,
當且僅當t=1時取等號,
∴|c+ta+b|≥=2,
故|c+ta+b|的最小值為2.]
9.3+2
解析 (+)(x+y)=1+2++≥3+2.
10.(-4,2)
解析 x+2y=(x+2y)=2+++2≥8,當且僅當=,即x=2y=4時等號成立.
由x
8、+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4