7.概率與統(tǒng)計(jì) ■要點(diǎn)重溫…………………………………………………………………………· 1．隨機(jī)抽樣方法 簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會相等，且是不放回抽樣． [應(yīng)用1]　某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭．在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為________． [解析]　設(shè)本次抽取的總戶數(shù)為x，由抽樣比例可知＝，則x＝24. [答案]　24 2．對于統(tǒng)計(jì)圖表問題，求解時(shí)，最重要的就是認(rèn)真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)．對于頻率分布直方圖，應(yīng)注意的是圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率．莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀、清晰了． [應(yīng)用2]　在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖23所示： 圖23 若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________． [解析]　由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運(yùn)動(dòng)員，落在區(qū)間[139,151]的運(yùn)動(dòng)員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名． [答案]　4 3．樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，方差的計(jì)算 (1)基本公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)簡化計(jì)算公式①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或?qū)懗蓅2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方和的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方． [應(yīng)用3]　(1)某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行檢測，如圖24是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為(　　) 圖24 A．20　　　 B．25 C．22.5 D．22.75 (2)已知樣本數(shù)據(jù)3,4,5，x，y的平均數(shù)是5，標(biāo)準(zhǔn)差是，則xy＝(　　) A．42 B．40 C．36 D．30 (3)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶滿意度的評分制成頻率分布直方圖(如圖25)，則該地區(qū)滿意度評分的平均值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804193】 圖25 [解析]　(1)產(chǎn)品的中位數(shù)出現(xiàn)在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面積依次為0.1,0.2,0.4， ……，設(shè)中位數(shù)是x，則由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故選C. (2)由＝5得x＋y＝13， ① 由＝ 得x2＋y2－10x－10y＋45＝0， ② ①×10＋②得，x2＋y2＝85　 ③ ①2－③得，2xy＝84，即xy＝42，故選A. (3)由直方圖估計(jì)評分的平均值為55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5. [答案]　(1)C　(2)A　(3)77.5 4．變量間的相關(guān)關(guān)系 變量間的相關(guān)關(guān)系以散點(diǎn)圖為基礎(chǔ)，設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)…，(xn，yn)是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)，其回歸方程為＝x＋，則 . [應(yīng)用4]　假設(shè)某商品的銷售量x(件)與利潤y(萬元)有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 且已知＝90，＝140.8，iyi＝112.3，≈8.9，≈1.4. (1)對x，y進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)； (2)如果x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程，并估計(jì)銷售量為10件時(shí)，利潤約是多少？ 附相關(guān)公式：r＝，＝ ＝ ，＝－·. [解]　(1)＝＝4，＝＝5， 相關(guān)系數(shù)r的分子為＝iyi－5·＝122.3－5×4×5＝12.3，2 ＝ x－52＝ 90－5×16 ＝ 10， (yi－)2＝y(tǒng)－5()2＝140.8－125＝15.8， 所以r＝＝＝≈0.987. 因?yàn)?.987>0.75，所以x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． (2)因?yàn)? ＝＝＝1.23， ＝－·＝0.08， 所以所求的回歸直線方程為＝1.23x＋0.08. 當(dāng)x＝10時(shí)，＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估計(jì)銷售量為10 件時(shí)，利潤約為12.38 萬元． 5．獨(dú)立性檢驗(yàn) 兩個(gè)分類變量X和Y相關(guān)的可信度，常通過隨機(jī)變量K2的觀測值k＝來衡量， k的值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大． [應(yīng)用5]　甲乙兩個(gè)學(xué)校高三年級分別為1100人，1000人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校在地區(qū)第二次模擬考試中數(shù)學(xué)科目的成績，采用分層抽樣的方法抽取了105名學(xué)生的成績，并作出了部分頻率分布表如下(規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀)： 甲校： 分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 頻數(shù) 2 3 10 15 15 x 3 1 乙校： 分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 頻數(shù) 1 2 9 8 10 10 y 3 (1)計(jì)算x，y的值，并分別估計(jì)兩校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率； (2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為這兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異. 甲校 乙校 總計(jì) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) K2＝. 附： P(K2≥k0) 0.10 0.025 0.010 k0 2.706 5.024 6.635 [解]　(1)依題意知，甲校抽取55人，乙校抽取50人，故x＝6，y＝7. 估計(jì)甲校的優(yōu)秀率為≈18.2%；乙校的優(yōu)秀率為＝40%. (2)填表如下： 甲校 乙校 總計(jì) 優(yōu)秀 10 20 30 非優(yōu)秀 45 30 75 總計(jì) 55 50 105 K2＝≈6.109. ∵6.109＞5.024，∴有97.5%的把握認(rèn)為這兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異． 6．解排列組合問題的常用策略 相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果． [應(yīng)用6]　(1)4個(gè)不同的小球放入編號為1、2、3、4的4個(gè)盒中，則恰有1個(gè)空盒的放法共有________種． (2)從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有________個(gè)．(用數(shù)字作答) [解析]　(1)把4個(gè)球分成3組，每組至少1個(gè)，即分的小球個(gè)數(shù)分別為2,1,1的3組，有種．最后將三組球放入4個(gè)盒中的3個(gè)，有分配方法數(shù)A種，因此，放法共有×A＝144(種)． (2)將問題分成三類：①含數(shù)字5，不含數(shù)字0，則選元素的過程有C·C種方法，將5排在末位，則組數(shù)的過程有A種方法，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得這一類共有CCA＝108個(gè)；②含數(shù)字0，不含數(shù)字5，則選元素的過程有CC種方法，將0排在末位，則組數(shù)過程有A種方法，這一類共有CCA＝72個(gè)；③含數(shù)字0，也含數(shù)字5，則選元素的過程有CC，若0在末位，則組數(shù)過程有A種方法，若0不在末位，則組數(shù)過程有CA種方法，這一類共有CC(A＋CA)＝120個(gè)．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，其中能被5整除的四位數(shù)共有108＋72＋120＝300個(gè) [答案]　(1)144　(2)300 7．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：C＝C(k＝0,1,2，…，n)． (2)系數(shù)和：C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (3)最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為C；n為奇數(shù)時(shí)，(n＋1)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大為第項(xiàng)及第＋1項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為. [應(yīng)用7]　 (1)設(shè)二項(xiàng)式(n∈N*)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為an，bn，則＝(　　) A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1) C．2n＋1 D．1 (2)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________． [解析]　(1)二項(xiàng)式(n∈N*)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，各項(xiàng)系數(shù)和為＝，則an＝2n，bn＝，＝＝2n＋1，故選C. (2)＝，由二項(xiàng)式定理知(x－1)8通項(xiàng)為Tr＋1＝Cx8－r(－1)r，令r＝4得T5＝Cx4(－1)4＝70x4，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為70. [答案]　(1)C　(2)70 8．概率的計(jì)算公式 (1)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，若事件A與B對立P(B)＝1－P(A)． (2)古典概型的概率計(jì)算公式：P(A)＝＝； [應(yīng)用8]　某班班會，準(zhǔn)備從包括甲、乙兩人的七名同學(xué)中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人中至少有1人參加，則甲、乙都被選中且發(fā)言時(shí)不相鄰的概率為________． [解析]　由題意可分兩種情況只有甲乙中一人參加，有CCA＝480. 甲乙兩人參加有CA＝240則滿足條件總的發(fā)言總數(shù)為480＋240＝720. 甲乙兩人參加，且發(fā)言時(shí)不相鄰的包括情況有CAA＝120. 則甲、乙都被選中且發(fā)言時(shí)不相鄰的概率為＝. [答案]　 (3)幾何概型的概率計(jì)算公式：P(A)＝. [應(yīng)用9]　在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804194】 A． B．1－ C． D．1－ [解析]　記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為A， P(A)＝＝1－. [答案]　B (4)條件概率的概率計(jì)算公式：P(B|A)＝＝. [應(yīng)用10]　盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個(gè)球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為(　　) A. B． C. D． [解析]　第一次摸出新球記為事件A，則P(A)＝， 第二次取到新球記為事件B， 則P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝. [答案]　B (5)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式是：P(A·B)＝P(A)·P(B)； (6)獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式是：Pn(k)＝CPk(1－P)n－k； (7)若X～N(μ，σ2)，則滿足正態(tài)分布的三個(gè)基本概率的值是：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4. [應(yīng)用11]　某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為________． 圖26 [解析]　三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000,502)，得三個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為P＝，超過1000小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率P1＝1－(1－P)2＝. 那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為P2＝P1×P＝. [答案]　 9．離散型隨機(jī)變量的均值、方差 (1)離散型隨機(jī)變量的均值、方差： 均值：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn； 方差：D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn. (2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差． ①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [應(yīng)用12]　由于我市去年冬天多次出現(xiàn)重度污染天氣，市政府決定從今年3月份開始進(jìn)行汽車尾氣的整治，為降低汽車尾氣的排放量，我市某廠生產(chǎn)了甲、乙兩種不同型號的節(jié)排器，分別從兩種節(jié)排器中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖27所示． 圖27 節(jié)排器等級如表格所示 綜合得分K的范圍 節(jié)排器等級 k≥85 一級品 75≤k<85 二級品 70≤k<75 三級品 若把頻率分布直方圖中的頻率視為概率，則 (1)如果從甲型號中按節(jié)排器等級用分層抽樣的方法抽取10件，然后從這10件中隨機(jī)抽取3件，求至少有2件一級品的概率； (2)如果從乙型號的節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求其二級品數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望． [解]　(1)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號的節(jié)排器中一級品的概率為，二級品的概率為，則用分層抽樣的方法抽取10件，其中有6件一級品，4件二級品，所以從這10件節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，至少有2件一級品的概率 P＝1－＝. (2)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號的節(jié)排器中一級品的概率為，二級品的概率為，三級品的概率為. 如果從乙型號的節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，則二級品數(shù)X可能的值為0,1,2,3 . 又P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C×＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ■查缺補(bǔ)漏…………………………………………………………………………· 1．高三學(xué)生體檢，某班級隨機(jī)抽取5名女學(xué)生的身高x(厘米)和體重y(公斤)的數(shù)據(jù)如下表： x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根據(jù)上表可得回歸直線方程為＝0.92x＋，則＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804195】 A．－96.8 B．96.8 C．－104.4 D．104.4 A　[回歸直線方程過點(diǎn)(，)，而＝165，＝55，所以a＝55－0.92×165＝－96.8，選A.] 2．(x2－x－2)6的展開式中x2的系數(shù)等于(　　) A．－48 B．48 C．234 D．432 B　[(x2－x－2)6＝(2－x)6(1＋x)6＝(C26－C25x＋C24x2－…)(C＋Cx＋Cx2＋…)所以展開式中x2的系數(shù)為C26C－C25C＋C24C＝48.選B.] 3．如圖28是某居民小區(qū)年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列， 則年齡在[35,40)的頻率是(　　) 圖28 A．0.04 B．0.06 C．0.2 D．0.3 C　[[30,35)，[35,40)，[40,45]的概率和為1－(0.01＋0.07)×5＝0.6，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的概率依次成等差數(shù)列，所以[35,40)的頻率為＝0.2.選C.] 4．某電視臺的一個(gè)綜藝欄目對六個(gè)不同的節(jié)目排演出順序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，則不同的排法共有(　　) A．192種 B．216種 C．240種 D．288種 B　[完成這件事件，可分兩類：第一類，最前排甲，其余位置有A＝120種不同的排法；第二類，最前排乙，最后有4種排法，其余位置有A＝24種不同的排法；所以共有A＋4A＝216種不同的排法．] 5．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(　　) A. B． C. D． D　[如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而區(qū)域D中陰影部分內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2，易知該陰影部分的面積為4－π.因此滿足條件的概率是，故選D.] 6．若(1＋2x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a0＋a1＋a2＋…＋a7的值為(　　) A．－2 B．－3 C．253 D．126 C　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－3，a8＝2×(－2)7＝－256， ∴a0＋…＋a7＝－a8－3＝253.選C.] 7．已知某路段最高限速60 km/h，電子監(jiān)控測得連續(xù)6輛汽車的速度用莖葉圖表示如圖29(單位：km/h)．若從中任取2輛，則恰好有1輛汽車超速的概率為(　　) 圖29 A. B． C. D． C　[由莖葉圖可知，這6輛汽車中有2輛汽車超速，所以從中任取2輛，則恰好有1輛汽車超速的概率為P＝＝，故選C.] 8．如圖30，圖案共分9個(gè)區(qū)域，有6種不同顏色的涂料可供涂色，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804196】 圖30 A．360種 B．720種 C．780種 D．840種 B　[由圖可知，區(qū)域2,3,5,4不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各區(qū)域的顏色均不相同，所以涂色方法有A×2＝720種，故選B.] 9．已知某人投籃的命中率為，則此人投籃4次，至少命中3次的概率是________． 　[該人投籃4次，命中3次的概率為P1＝C＝；該人投籃4次，命中4次的概率為P2＝C＝，故至少命中3次的概率是P＝＋＝.] 10．已知某單位有40名職工，現(xiàn)要從中抽取5名職工，將全體職工隨機(jī)按1～40編號，并按編號順序平均分成5組．按系統(tǒng)抽樣方法在各組內(nèi)抽取一個(gè)號碼． 圖31 (1)若第1組抽出的號碼為2，則所有被抽出職工的號碼為________； (2)分別統(tǒng)計(jì)這5名職工的體重(單位：kg)，獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖31所示，則該樣本的方差為________． (1)2,10,18,26,34　(2)62　[(1)分段間隔為＝8，則所有被抽出職工的號碼為2,10,18,26,34. (2)＝(59＋62＋70＋73＋81)＝69. s2＝[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.] 11．某工廠為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如下表所示： 試銷價(jià)格x(元) 4 5 6 7 a 9 產(chǎn)品銷量y(件) b 84 83 80 75 68 已知變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且i＝39，i＝480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得其回歸直線方程分別為：甲：＝4x＋54；乙：＝－4x＋106；丙：＝－4.2x＋105，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的． (1)試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確？并求出a，b的值； (2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過1，則該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這兩個(gè)檢測數(shù)據(jù)均為“理想數(shù)據(jù)”的概率． [解]　(1)∵變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，∴甲是錯(cuò)誤的． 又∵xi＝39，yi＝480，∴＝6.5，＝80，滿足方程 ＝－4x＋106，故乙是正確的． 由xi＝39，yi＝480，得a＝8，b＝90. (2)由計(jì)算可得“理想數(shù)據(jù)”有3個(gè)，即(4,90)，(6,83)，(8,75)．從檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，共有15種不同的情形，其中這兩個(gè)檢測數(shù)據(jù)均為“理想數(shù)據(jù)”有3種情形．故所求概率為P＝＝. 12．某技術(shù)公司新開發(fā)了A，B兩種新產(chǎn)品，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 測試指標(biāo) [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100] 元件A 8 12 40 32 8 元件B 7 18 40 29 6 (1)試分別估計(jì)產(chǎn)品A，產(chǎn)品B為正品的概率； (2)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A，若是正品可盈利80元，次品則虧損10元；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B，若是正品可盈利100元，次品則虧損20元，在(1)的前提下，記X為生產(chǎn)1件產(chǎn)品A和1件產(chǎn)品B所得的總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解]　(1)產(chǎn)品A為正品的概率為＝. 產(chǎn)品B為正品的概率約為＝. (2)隨機(jī)變量X的所有取值為180,90,60，－30， P(X＝180)＝×＝； P(X＝90)＝×＝； P(X＝60)＝×＝； P(X＝－30)＝×＝. 所以，隨機(jī)變量X的分布列為： X 180 90 60 －30 P E(X)＝180×＋90×＋60×＋(－30)×＝132.