2019-2020年新人教A版高中數(shù)學（選修2-1）2.1《曲線與方程》word教案4篇.doc
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2019-2020年新人教A版高中數(shù)學（選修2-1）2.1《曲線與方程》word教案4篇 一、學習目標： 1. 使學生了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關(guān)系，并初步領(lǐng)會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念，從而為求已知曲線的方程奠定理論基礎(chǔ)。 2. 在領(lǐng)會曲線和方程概念的過程中，培養(yǎng)學生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。 3. 了解用坐標法研究幾何問題的初步知識和觀點；初步掌握求曲線的方程的方法。 二、重點、難點： 重點：理解曲線的方程與方程的曲線的概念、求曲線的方程。 難點：對求曲線方程的一般步驟的掌握。 三、考點分析： 本講內(nèi)容是我們學習并學好圓錐曲線與方程的關(guān)鍵性內(nèi)容，也是最重要的內(nèi)容。我們首先應理解“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念，在高考中一般以小題的形式考查。其次就是會求曲線的方程，這部分內(nèi)容一般以大題的形式考查。要注重對通性通法的求解和運用。 1. 曲線的方程和方程的曲線的概念： 我們把滿足下面兩個條件： （1）曲線C上的點的坐標都是方程 f（x，y）＝0的解； （2）以方程f（x，y）＝0的解為坐標的點都在曲線C上的方程叫做曲線的方程，則該曲線，叫做方程的曲線。 2. 求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個步驟： （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標； （2）寫出適合條件P的點M的集合P={M|P（M）}； （3）用坐標表示條件P（M），列出方程f（x，y）=0； （4）將方程f（x，y）=0化為最簡形式； （5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線C上的點。（查漏除雜）. 3. 求曲線方程的常用方法： （1）直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，且這些條件簡單明確，易于表述成含有x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱為直接法。用直接法求動點軌跡一般有建系，設點，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補”。 （2）定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線的定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線的定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。 （3）代入法：若動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P（x，y）卻隨另一動點Q（）的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定的或容易求得的，則可先將表示為x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得出P的軌跡方程。代入法也稱相關(guān)點法。 （4）參數(shù)法：若求軌跡方程的過程中很難直接找到動點的橫坐標與縱坐標之間的關(guān)系時，則可借助中間變量（參數(shù)），使x，y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。 （5）交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)（求兩動直線的交點時常用此法），也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程。交軌法可以說是參數(shù)法的一種變形。 4. 軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，軌跡是指曲線，軌跡方程是指曲線的方程.求軌跡方程的本質(zhì)，就是在給定的坐標系中，求軌跡上任意一點的橫坐標與縱坐標之間的關(guān)系. 知識點一 曲線與方程的概念的運用 例1. 下列方程中哪一個表示的是如下圖所示的直線l，為什么？ （1）x－y=0 （2）－=0 （3）x2－y2=0 （4）|x|－y=0 思路分析： 1）題意分析：本題考查對曲線與方程的概念的準確理解。 2）解題思路：先看圖，分析其表示的解析式，然后對已知的4個選項進行逐個分析。 解答過程：方程（1）是表示直線l的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直線l的方程。 （2）中直線上的點的坐標不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直線上的點的坐標都是方程的解”這一結(jié)論。 （3）中雖然“直線l上的點的坐標都是方程的解”，但以方程x2－y2=0的解為坐標的點不全在直線l上，如點（2，－2）等，即不符合“以方程的解為坐標的點都在直線上”這一結(jié)論。 （4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直線上的點的坐標都是方程的解”這一結(jié)論，比如點（－1，1）。 解題后的思考：理解曲線的方程和方程的曲線的概念，并能對題目作出正確的判定。 判定時必須要同時滿足（1）直線l上的點的坐標都是方程的解。（2）以方程的解為坐標的點都在直線上。 例2. （1）判斷點M1（3，－4），M2（－2，2）是否在方程x2+y2=25所表示的曲線上。 （2）用曲線方程的定義說明以坐標原點為圓心、半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25。 思路分析： 1）題意分析：本題考查點與曲線的位置關(guān)系，以及利用定義求解曲線方程。 2）解題思路：第（1）問先把點的坐標代入已知的表達式中，滿足方程則在曲線上，否則不在曲線上。第（2）問利用圓的定義，結(jié)合兩點間距離公式化簡求解，并進行說明。 解答過程： 解析：（1）把點M1（3，－4），M2（－2，2）分別代入到方程中，可知前者滿足方程，后者不滿足。（2）設圓心坐標為（0，0），半徑為r=5，圓上的任意一點P（x，y），結(jié)合兩點間距離公式，我們得到圓上的點滿足的方程。 解題后的思考：運用定義找關(guān)系式，進而求解方程。 例3. 證明與兩條坐標軸的距離之積是常數(shù)的點的軌跡方程是。 思路分析： 1）題意分析：本題考查對曲線方程的概念的理解和運用。 2）解題思路：先結(jié)合已知條件求解方程，然后運用定義證明。 解答過程： 證明：（1）設M（x0，y0）是軌跡上的任意一點，因為點M與軸的距離為，與軸的距離為，所以 即是方程的解。 （2）設的坐標是方程的解，那么即，而正是點到軸，軸的距離，因此點到兩條坐標軸的距離的積是常數(shù)，點是曲線上的點。 由（1）（2）可知，是與兩條坐標軸的距離之積是常數(shù)的點的軌跡方程。 解題后的思考：注意要從兩個方面來證明曲線的方程的概念的運用。 例4. 指出下列方程表示的曲線分別是什么？ （1）x－2=0 （2）（2x+3y－5）（ （3）（3x－4y－12）[ （4） 思路分析： 1）題意分析：本題考查如何理解方程表示的曲線。 2）解題思路：根據(jù)曲線方程的定義進行分析時，要保證所求得曲線的純粹性和完備性。 解答過程：（1）表示的曲線為過（2，0）且平行于y軸的直線； （2）因為 故方程表示的曲線為一條射線和一條直線x=4。 （3）因為（3x－4y－12）[ 故方程表示的曲線為一條射線（除去端點）和一條直線x+2y=8。 （4）因為 則方程表示的圖形為一個點（1，－1） 解題后的思考：我們所說的曲線是指廣義的曲線，它可以是一般的曲線，也可以是直線、線段，甚至是一個點。對于表達式要通過合理的變形化簡得到。 知識點二：求曲線的方程 例5. 設A、B兩點的坐標是 （－1，－1）、（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程. 思路分析： 1）題意分析：本題考查如何求解曲線方程。 2）解題思路：首先分析由于求解的是直線方程，所以應利用直線方程的求解方法得到。其次，我們可以直接運用求曲線方程的一般步驟進行求解。 解答過程：解法一：∵，∴所求直線的斜率k=－0.5 又∵線段AB的中點坐標是，即（1，3） ∴線段AB的垂直平分線的方程為.即x+2y－7=0 解法二：:若沒有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦?──需要掌握一般性的方法 解：設M（x，y）是線段AB的垂直平分線上的任意一點，則|MA|=|MB| ∴ ∴（Ⅰ） （1）由以上過程可知，垂直平分線上任意一點的坐標都是方程的解； （2）設點的坐標是方程（Ⅰ）的解，即 ∵以上變形過程步步可逆， ∴ 綜上所述，線段AB的垂直平分線的方程是。 解題后的思考：第一種解法運用了現(xiàn)成的結(jié)論，解題時比較容易，但它需要你對所研究的曲線有一定的了解；第二種解法雖然有些走彎路，但這種解法具有一般性。 例6. 已知點M與軸的距離和點M與點F（0，4）的距離相等，求點M的軌跡方程。 思路分析： 1）題意分析：本題考查在坐標系中求解點的軌跡方程。 2）解題思路：根據(jù)已知的坐標系，結(jié)合兩點間的距離公式，我們可通過點M滿足的關(guān)系式來求解。 解答過程：設點M的坐標為（x，y）∵點M與軸的距離為， ∴=∴ ∴就是所求的軌跡方程。 解題后的思考：注意對于用坐標表示的距離，解題時一定要加上絕對值，確保不漏掉解。 例7. 經(jīng)過原點的直線l與圓相交于兩個不同點A、B，求線段AB的中點M的軌跡方程。 思路分析： 1）題意分析：本題以直線與圓的位置關(guān)系為背景，研究相交弦的中點的軌跡方程的求解。 2）解題思路：先設出點的坐標，利用中點公式和圓的方程，，我們得到所求點與弦端點的坐標關(guān)系式，從而求其軌跡方程；或者直接設直線方程，引入?yún)?shù)K，然后消去參數(shù)求軌跡方程。 解答過程：解法一：設M，A，B 且 由①－②得 ∵即（易知） ∴ ∴化簡得 ∴所求軌跡方程為 （在已知圓內(nèi)部一段弧所對應的方程） 解法二：設M，A，B 則設直線l的方程為 由方程組 消去y得 ∴ 消去參數(shù)得 解題后的思考：相關(guān)點法：若動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P（x，y）卻隨另一動點Q（x’，y’）的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定的或容易求得的，則可先將x’，y’表示為x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程。相關(guān)點法也稱代入法。簡單地說：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關(guān)系，把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求得動點坐標（x，y）之間的坐標。 例8. 已知一條直線和它上方的一個點F，點F到的距離是2。一條曲線也在直線的上方，它上面的每一點到F的距離減去到直線的距離的差都是2，建立適當?shù)淖鴺讼?，求這條曲線的方程。 思路分析： 1）題意分析：本題考查建立合理直角坐標系來求解方程 2）解題思路：先分析已知條件，建立合適的坐標系，然后建系，設點，找關(guān)系式，進行化簡和求解。 解答過程：設直線l為x軸，過點F且垂直于直線l的直線為y軸，建立坐標系xOy，設點M（x，y）是曲線上任意一點，MB⊥x軸，垂足是B，那么，把M點坐標代入上式得：，平方得：，化簡得：。因為曲線在x軸的上方，所以y＞0， 所以曲線的方程是 解題后的思考：遇到?jīng)]有直角坐標系的曲線方程的求解，我們要學會合理的建系，讓盡可能多的點、線落在坐標系上。 小結(jié)：本講中的幾個知識點內(nèi)容是高考?？嫉膬?nèi)容，出現(xiàn)的題型也是常見的題型。需要我們能夠很好的理解，做到舉一反三。其中的軌跡問題，是高考中的一個熱點，也是所占分值比較大的一個知識點，我們應該對其多加練習。 本節(jié)內(nèi)容是我們學習好圓錐曲線方程的基礎(chǔ)性一節(jié)，我們要理解概念，并能利用直接法和定義法、相關(guān)點法求解一些曲線的軌跡方程，使我們在練習的過程中熟練地掌握技巧。另外，求軌跡方程在高考中是考查的熱點，也是必考知識點，我們要熟悉其求解的方法，以及求解的步驟。 一、預習新知 同學們，請問我們生活中橢圓形的物體有哪些？請舉例。那么我們?nèi)绾萎嫵鲞@個完美的圖形呢？ 二、預習點撥 探究與反思： 探究任務一： 橢圓的定義以及標準方程 【反思】 （1）橢圓的定義是什么？ （2）橢圓的標準方程是什么？ 探究任務二：橢圓的幾何性質(zhì) 【反思】 （1）橢圓的簡單幾何性質(zhì)有哪些？ （2）如何運用性質(zhì)解決有關(guān)的橢圓的有關(guān)方程求解？ 探究任務三：直線與橢圓的位置關(guān)系 【反思】 （1）直線與橢圓的位置關(guān)系有哪些？ （2）相交時，相交弦的公式是什么？如何解決有關(guān)相交時的問題呢？ （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 若曲線上的點的坐標滿足方程，則下列說法正確的是（ ） A. 曲線的方程是 B. 方程的曲線是 C. 坐標不滿足方程的點都不在曲線上 D. 坐標滿足方程的點都在曲線上 2. 方程表示的圖形是 （ ） A. 兩條平行直線 B. 兩條相交直線 C. 有公共端點的兩條射線 D. 一個點 3. “點在曲線上”是“點的坐標滿足方程”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 4. 若直線與的交點在曲線上，則的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 以上都不對 二、填空題 5. 求方程的曲線經(jīng)過原點的充要條件是 。 6. 已知：，點在曲線上，則的值是 ； 7. 方程表示的圖形是 。 8. 曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為____________________。 三、解答題 9. 已知線段AB，B點的坐標為（6，0），A點在曲線y=x2+3上運動，求AB的中點M的軌跡方程。 10. 已知點A（－1，0）、B（2，0），求使∠MBA=2∠MAB的動點M的軌跡方程。 1. C 分析：利用逆否命題我們可以判定選項C是已知的逆否命題，真值相同。 2. B 分析：去掉絕對值符號，我們可以得到，顯然是表示兩條直線。 3. B 分析：由已知條件不一定可以推出結(jié)論，但是由結(jié)論可以推出條件，因此選B 4. C 分析：聯(lián)立方程組解得交點為（－4k，－3k），代入到圓的方程中，就可以求得k的值。 5. c=0 分析：首先曲線過點（0，0），得到c=0，反之，當c=0時，曲線也過原點。 6. ， 分析：把點P代入得到三角函數(shù)的關(guān)系式，就可以求得，從而求解。 7. 表示4個點。 分析：由于平方和為0，故同時為零。 8. 分析：研究曲線關(guān)于直線的對稱問題，我們設直線上任意一點P，以及相應的對稱后的點P1，然后利用垂直的關(guān)系式和中點在對稱軸上，我們得到坐標關(guān)系式，就可以求出已知曲線上任意一點的坐標與未知曲線上點的坐標的關(guān)系式，點隨點動，我們由此得到答案。 9. 解：設AB的中點M的坐標為（x，y），又設點A（x1，y1），則 點A（x1，y1）在曲線y=x2+3上，則將y1=x12+3代入，得：2y=（2x－6）2+3 整理，得AB的中點M的軌跡方程為 10. 解：設點M（x，y） （1）如果∠MBA=，則∠MAB=，從而△ABM為等腰直角三角形可得M（2，3）與（2，－3） （2）如果∠MBA≠，設點M在x軸或x軸上方則由 整理得 ① 當點M在x軸下方，同樣可得到① 若y=0，由于只有在x∈（－1，2）時，∠MBA=∠MAB=0符合題意，所以軌跡方程為y=0（－1下載提示(請認真閱讀)
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