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1、
第三章 導數
1.【2007四川,文20】(本小題滿分12分)
設函數為奇函數,其圖象在點處的切線與直線垂直,導函數的最小值為
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)求函數的單調遞增區(qū)間,并求函數在上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ);(2)取得最小值為,取得最大值為.
【考點】本題考察函數的奇偶性、單調性、二次函數的最值、導數的運用等基礎知識,以及推理能力和運算能力.
2.【2008四川,文20】(本小題滿分12分)
設和是函數的兩個極值點。
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的單調區(qū)間
【答案】:(Ⅰ);(Ⅱ)的單調增區(qū)間是,單調減區(qū)間是.
【考點】:此題重點考察
2、利用導數研究函數的極值點,單調性,最值問題;
【突破】:熟悉函數的求導公式,理解函數極值與導數、函數單調性與導數的關系;重視圖象或示意圖的輔助作用。
3.【2009四川,文20】(本小題滿分12分)
已知函數的圖象在與軸交點處的切線方程是.
(I)求函數的解析式;
(II)設函數,若的極值存在,求實數的取值范圍以及函數取得極值時對應的自變量的值.
【答案】(I);(II)①當時,函數無極值;②當時, 當時,有極大值;當時,有極小值.
4.【20xx四川,文22】(本小題滿分14分)
設(且),g(x)是f(x)的反函數.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)當時,恒有成立,求t的取值
3、范圍;
(Ⅲ)當0<a≤時,試比較f(1)+f(2)+…+f(n)與的大小,并說明理由.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)當時,;當時,;(Ⅲ),證明略.
【命題意圖】本題主要考查函數、反函數、不等式、導數及其應用等基礎知識,考查化歸、分類整合等數學思想,以及推理論證與分析問題、解決問題的能力.
5.【20xx四川,文22】(本小題滿分14分)
已知為正實數,為自然數,拋物線與軸正半軸相交于點,設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距.
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求對所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)當時,比較與的大小,并說明理由.
6.【20xx四川,文21】(本小
4、題滿分14分)
已知函數,其中是實數。設,為該函數圖象上的兩點,且。
(Ⅰ)指出函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數的圖象在點處的切線互相垂直,且,證明:;
(Ⅲ)若函數的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍。
則,
7.【20xx四川,文21】已知函數,其中,為自然對數的底數。
(Ⅰ)設是函數的導函數,求函數在區(qū)間上的最小值;
(Ⅱ)若,函數在區(qū)間內有零點,證明:.
【答案】(Ⅰ)當時, ;當時, ;
當時, .(Ⅱ)的范圍為.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)易得,再對分情況確定的單調區(qū)間,根據在上的單調性即可得在上的最小值.(Ⅱ)設為在區(qū)間內的一個零點,注
5、意到.聯系到函數的圖象可知,導函數在區(qū)間內存在零點,在區(qū)間內存在零點,即在區(qū)間內至少有兩個零點. 由(Ⅰ)可知,當及時,在內都不可能有兩個零點.所以.此時,在上單調遞減,在上單調遞增,因此,且必有.由得:,代入這兩個不等式即可得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)
①當時,,所以.
②當時,由得.
若,則;若,則.
所以當時,在上單調遞增,所以.
當時,在上單調遞減,在上單調遞增,所以.
當時,在上單調遞減,所以.
(Ⅱ)設為在區(qū)間內的一個零點,則由可知,
在區(qū)間上不可能單調遞增,也不可能單調遞減.
則不可能恒為正,也不可能恒為負.
故在區(qū)間內存在零點.
同理在區(qū)間內存在零點
6、.
所以在區(qū)間內至少有兩個零點.
由(Ⅰ)知,當時,在上單調遞增,故在內至多有一個零點.
當時,在上單調遞減,故在內至多有一個零點.
所以.
此時,在上單調遞減,在上單調遞增,
因此,必有
.
由得:,有
.
解得.
所以,函數在區(qū)間內有零點時,.
【考點定位】導數的應用及函數的零點.考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識,考查函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化等數學思想,并考查思維的嚴謹性.
8. 【20xx高考新課標1,文14】已知函數的圖像在點的處的切線過點,則 .
【答案】1
【解析】
試題分析:∵,∴,即切線斜率,
又∵
7、,∴切點為(1,),∵切線過(2,7),∴,解得1.
考點:利用導數的幾何意義求函數的切線;常見函數的導數;
9. 【20xx高考四川,文21】已知函數f(x)=-2lnx+x2-2ax+a2,其中a>0.
(Ⅰ)設g(x)為f(x)的導函數,討論g(x)的單調性;
(Ⅱ)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內有唯一解.
【解析】(Ⅰ)由已知,函數f(x)的定義域為(0,+∞)
g(x)=f '(x)=2(x-1-lnx-a)
所以g'(x)=2-
當x∈(0,1)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減
當x∈(1,+∞)時,g'(
8、x)>0,g(x)單調遞增
(Ⅱ)由f '(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx
令Φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx
則Φ(1)=1>0,Φ(e)=2(2-e)<0
于是存在x0∈(1,e),使得Φ(x0)=0
令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1)
由u'(x)=1-≥0知,函數u(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增
故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1
即a0∈(0,1)
當a=a0時,有f '(x0)=0,f(x0)=Φ(
9、x0)=0
再由(Ⅰ)知,f '(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增
當x∈(1,x0)時,f '(x)<0,從而f(x)>f(x0)=0
當x∈(x0,+∞)時,f '(x)>0,從而f(x)>f(x0)=0
又當x∈(0,1]時,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0
故x∈(0,+∞)時,f(x)≥0
綜上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內有唯一解.
【考點定位】本題主要考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數的零點等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識,考查函數與方程、數形結合、化歸與轉化等數學思想.