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第一章集合與函數(shù)概念 李世明 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一 函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活 社會(huì) 經(jīng)濟(jì)及其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用 函數(shù)與代數(shù)式 方程 不等式等內(nèi)容聯(lián)系非常密切 函數(shù)概念及其反映出的數(shù)學(xué)思想方法已廣泛滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域 是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ) 函數(shù)的概念是運(yùn)動(dòng)變化和對(duì)立統(tǒng)一等觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)中的具體表現(xiàn) 現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象都表現(xiàn)出變量之間的依賴關(guān)系 數(shù)學(xué)上 我們用函數(shù)模型描述這種依賴關(guān)系 并通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)了解它們的變化規(guī)律 集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言 可以簡(jiǎn)潔 準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容 在本章 我們將學(xué)習(xí)集合的一些基本知識(shí) 用集合語(yǔ)言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象 并運(yùn)用集合和對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言進(jìn)一步描述函數(shù)概念 感受建立函數(shù)模型的過(guò)程和方法 初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理生活 社會(huì)中的簡(jiǎn)單問(wèn)題 1 1 1集合的含義與表示 一 引言 物以類聚 人以群分 數(shù)學(xué)中也有類似的分類 1 在初中我們學(xué)過(guò) 代數(shù) 自然數(shù)的集合 有理數(shù)的集合 不等式的解集等 2 在初中 我們用集合描述過(guò) 圓的概念 線段的垂直平分線是用集合描述的 幾何 點(diǎn)的集合等 補(bǔ)充示例 1 1 20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù) 2 我國(guó)從1991 2005年的15年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星 3 金星汽車廠2003年生產(chǎn)的所有汽車 4 2004年1月1日之前與我國(guó)建立立外交關(guān)系的所有國(guó)家 5 所有的正方形 6 到直線l的距離等于定長(zhǎng)3cm的所有點(diǎn) 7 方程x2 3x 2 0的所有實(shí)數(shù)解 8 華僑中學(xué)2005年9月入學(xué)的所有高一學(xué)生 歸納總結(jié)這些例子 你能說(shuō)出它們的特征嗎 說(shuō)明 1 集合是一個(gè)原始的 不加定義的概念 我們不能用其他的概念下定義 只能作描述性說(shuō)明 如同點(diǎn) 直線 平面等也都是不加定義的原始概念 構(gòu)成了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石 要形象地理解 而不必記憶 二 集合的描述性定義 把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素 把一些元素組成的總體叫做集合 簡(jiǎn)稱為集 3 集合理論是由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾發(fā)現(xiàn)的 他創(chuàng)造的集合論是近代許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ) 2 集合是一個(gè)整體 已暗含 所有 全部 全體 的含義 因此一些對(duì)象一旦組成了集合 那么這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體 而非個(gè)別對(duì)象 1 確定性 對(duì)于一個(gè)給定的集合 任何一個(gè)元素是不是這個(gè)集合的元素就確定了 三 集合的特征 思考 我國(guó)的小河流 比較大的數(shù) 好心的人 等能組成集合嗎 如 應(yīng)把集合 1 2 2 改寫(xiě)成 2 互異性 對(duì)于一個(gè)給定的集合中 任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象 相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí) 僅算一個(gè)元素 3 無(wú)序性 集合中的元素是平等的 沒(méi)有先后順序 因此判定兩個(gè)集合是否一樣 僅需比較它們的元素是否一樣 不需考查排列順序是否一樣 如 集合 1 2 3 和 1 3 2 表示同一集合 1 2 說(shuō)明 1 確定性是判定元素能否構(gòu)成集合的唯一標(biāo)準(zhǔn) 2 元素中含參數(shù)的集合運(yùn)算題 最終結(jié)果務(wù)必檢驗(yàn)元素的互異性 利用互異性將不適合題意的參數(shù)值舍掉 3 在利用兩集合相等進(jìn)行有關(guān)計(jì)算時(shí) 常常根據(jù)集合中元素的無(wú)序性進(jìn)行分類討論 最終仍然莫忘對(duì)元素互異性的檢驗(yàn) 四 元素與集合之間的關(guān)系 若a是集合A的元素 若a不是集合A的元素 例如 A 1 2 3 4 5 則3 A 就說(shuō)a屬于集合A 記作a A 則a不屬于集合A 記作a A 集合常用大寫(xiě)字母A B C D 標(biāo)記 元素常用小寫(xiě)字母a b c d 標(biāo)記 集合的相等 構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣 五 常用數(shù)集及其記法 數(shù)的集合簡(jiǎn)稱數(shù)集 注意 自然數(shù)集包括0 一些常用數(shù)集及其記法 非負(fù)整數(shù)集 即自然數(shù)集 記作 正整數(shù)集記作 整數(shù)集記作 有理數(shù)集記作 實(shí)數(shù)集記作 N N 或N Z Q R 六 集合的常用表示方法 方法一 列舉法 把集合中的元素一一列舉出來(lái) 寫(xiě)在花括號(hào) 內(nèi)表示集合的方法 地球上的四大洋 組成的集合可以表示為 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 方程x2 x 0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合可以表示為 0 1 用列舉法表示集合應(yīng)注意以下五點(diǎn) 1 元素間用分隔號(hào) 2 元素不重復(fù) 3 元素?zé)o順序 4 元素不能遺漏 5 列舉法可表示有限集 也可以表示無(wú)限集 若元素個(gè)數(shù)比較少用列舉法比較簡(jiǎn)單 若集合中元素個(gè)數(shù)較多或無(wú)限 但出現(xiàn)一定的規(guī)律性 在不發(fā)生誤解的情況下 也可以用列舉法表示 如正整數(shù)集合可表示為 1 2 3 4 例1 用列舉法表示下列集合 1 小于10的所有質(zhì)數(shù)組成的集合 2 由大于3小于10的整數(shù)組成的集合 3 方程x2 16 0的實(shí)數(shù)解組成的集合 2 3 5 7 4 5 6 7 8 9 4 4 思考 1 你能用自然語(yǔ)言描述集合 2 4 6 8 嗎 2 你能用列舉法表示不等式x 7 3的解集嗎 不能 方法二 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 語(yǔ)言描述法 例 x x是正方形 x x是地球上的四大洋 不等式x 7 3的解集不能用列舉法表示 想想它的元素有怎樣的特征 x R且x 10 我們把這個(gè)集合表示為 A x R x 10 再如 所有奇數(shù)組成的集合可以表示為 B x Z x 2k 1 k Z 數(shù)學(xué)式子描述法 具體方法 在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值 或變化 范圍 再畫(huà)一條豎線 在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征 描述法的一般形式是 x A P x 其中 x 是集合中元素的代表形式 A是x的范圍 P x 是集合中元素x的共同特征 豎線不可省略 用描述法表示集合應(yīng)注意以下六點(diǎn) 1 寫(xiě)清楚該集合中元素的代號(hào) 字母或用字母表達(dá)的元素符號(hào) 2 說(shuō)明該集合中元素的性質(zhì) 3 不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母 4 多層描述時(shí) 應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用 且 或 5 所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在集合符號(hào)內(nèi) 6 用于描述條件的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明 準(zhǔn)確 例2 用描述法表示下列集合 1 小于10的所有有理數(shù)組成的集合 2 所有偶數(shù)組成的集合 3 直角坐標(biāo)系內(nèi) 第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合 x Q x 10 x x 2n n Z x y x0 說(shuō)明 如果從上下文的關(guān)系來(lái)看 x R x Z等是明確的 那么x R x Z可以省略 只寫(xiě)其元素x 如 不等式x 7 3的解集可以表示為A x x 10 所有奇數(shù)組成的集合可以表示為 B x x 2k 1 k Z 0 1 說(shuō)明 列舉法和描述法是集合的常用表示方法 兩種方法各有優(yōu)點(diǎn) 用什么方法表示集合 要具體問(wèn)題具體分析 要注意 一般集合中元素較多或有無(wú)限個(gè)元素時(shí) 不宜采用列舉法 強(qiáng)調(diào) 如集合 x y y x2 3x 2 與 y y x2 3x 2 相同嗎 2 只要不引起誤解 集合的代表元素也可省略 不同 例如 整數(shù) 即代表整數(shù)集Z 1 描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素 辨析 下面寫(xiě)法正確嗎 全體整數(shù) 實(shí)數(shù)集 R 高一級(jí)全體學(xué)生 這里的 已包含 所有 的意思 所以不能寫(xiě)成上面的形式 3 在集合的書(shū)寫(xiě)形式上 要注意規(guī)范性 4 在沒(méi)有指定集合的表示方法時(shí) 能明確表示集合的要明確表示出來(lái) 如關(guān)于x的方程x a 0的解集應(yīng)寫(xiě)成 a 而不是a 如所有小于20的既是奇數(shù)又是素?cái)?shù)的數(shù)組成的集合表示為 3 5 7 11 13 17 19 更為明確 又如非負(fù)奇數(shù)組成的集合表示為 x x 2n 1 n N 更為恰當(dāng) 這一點(diǎn)需要注意 5 集合的分類 含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集 含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集 解集合題時(shí) 一定要弄清集合是由哪些元素所構(gòu)成的 尤其在集合這一部分有兩類集合極易混淆 即數(shù)集與點(diǎn)集 用描述法表示數(shù)集時(shí) 其格式為 x P x 在豎線前面是一個(gè)字母 而表示點(diǎn)集時(shí) 其格式為 x y P x y 在豎線前面是一個(gè)有序數(shù)對(duì) 用列舉法表示數(shù)集時(shí) 集合中的元素是單個(gè)的數(shù)字 表示點(diǎn)集時(shí) 集合中的元素是有序數(shù)對(duì) 在處理與數(shù)集或點(diǎn)集有關(guān)的集合問(wèn)題時(shí) 一定要先看集合中元素的格式是數(shù)還是有序數(shù)對(duì) 一些常見(jiàn)集合的表示 1 方程的解集 x f x 0 f x 是關(guān)于x的代數(shù)式 2 不等式的解集 例如不等式x 3 0的解集為 x x 3 3 函數(shù)自變量構(gòu)成的集合 例如函數(shù)y x2 1的自變量構(gòu)成的集合為 x y x2 1 4 函數(shù)因變量構(gòu)成的集合 例如函數(shù)y x2 1的因變量構(gòu)成的集合為 y y x2 1 一些常見(jiàn)集合的表示 5 函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合 例如函數(shù)y x2 1圖象上的點(diǎn)的集合可表示為 x y y x2 1 6 多元方程 組 的解集 例如二元方程組的解集可表示為 三元一次方程x y z 2的解集可表示為 x y z x y z 2 補(bǔ)充例題 題型一 集合中元素的互異性與無(wú)序性 檢驗(yàn) 題型二 利用集合中元素個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍 例1 用列舉法表示下列集合 1 A x y x2 y 1 x 2 x Z A 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 題型三 集合的表示方法 2 B x y x y 4 x N y N B 1 3 2 2 3 1 C 2 1 0 1 2 D 1 2 例3 用描述法表示圖中陰影部分 含邊界 的點(diǎn)的坐標(biāo)的集合 例4 集合M的元素為自然數(shù) 且滿足 如果x M 則8 x M 1 寫(xiě)出只有一個(gè)元素的集合M 2 寫(xiě)出只含有兩個(gè)元素的所有集合M 3 滿足題設(shè)條件的集合M共有多少個(gè) 解 1 當(dāng)M中只有一個(gè)元素時(shí) 根據(jù)已知必須滿足x 8 x x 4 含一個(gè)元素的集合M 4 2 當(dāng)M中只含有兩個(gè)元素時(shí) 其元素只能是x和8 x M中的元素為自然數(shù) 含兩個(gè)元素的集合M應(yīng)為 0 8 1 7 2 6 3 5 3 滿足條件的M是由集合 4 0 8 1 7 2 6 3 5 中的一個(gè)或幾個(gè)構(gòu)成的 共有5 10 10 5 1 31個(gè) 補(bǔ)充作業(yè)