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第84練 極坐標與參數(shù)方程
訓練目標
(1)了解坐標系的作用及與直角坐標的互化;(2)了解參數(shù)方程,并能寫出直線、圓及圓錐曲線的參數(shù)方程.
訓練題型
(1)曲線的極坐標方程及與直角坐標的互化;(2)參數(shù)方程與普通方程的互化及其簡單應(yīng)用.
解題策略
(1)理解極坐標系的作用;(2)了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.
一、選擇題
1.(20xx·安慶一模)在極坐標系中
3、,點(2,)與圓ρ=2cos θ的圓心之間的距離為( )
A.2 B.
C. D.
2.(20xx·馬鞍山二模)直線l的極坐標方程為ρ(cosθ+sin θ)=6,圓C:(θ為參數(shù))上的點到直線l的距離為d,則d的最大值為( )
A.3+1 B.3
C.3-1 D.3+2
3.把方程xy=1化為以t為參數(shù)的參數(shù)方程是( )
A. B.
C. D.
4.極坐標方程ρcosθ=2sin 2θ表示的圖象為( )
A.一條射線和一個圓 B.兩條直線
C.一條直線和一個圓 D.一個圓
5.直線(t為參數(shù))被圓x2+y2=9截得的弦長為( )
A. B.
4、
C. D.
6.(20xx·黃山質(zhì)檢)在極坐標系中,直線ρsin(θ+)=2被圓ρ=4截得的弦長為( )
A.4 B.5
C.4 D.5
7.在極坐標系中,與圓ρ=4sin θ相切的一條直線的方程為( )
A.ρcosθ=2 B.ρsinθ=2
C.ρ=4sin(θ+) D.ρ=4sin(θ-)
8.(20xx·皖南八校聯(lián)考)若直線l:(t為參數(shù))與曲線C:(θ為參數(shù))相切,則實數(shù)m為( )
A.-4或6 B.-6或4
C.-1或9 D.-9或1
二、填空題
9.已知兩曲線的參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R),則它們的交點坐標為_____
5、___.
10.在直角坐標系xOy中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.設(shè)點A,B分別在曲線C1:(θ為參數(shù))和曲線C2:ρ=1上,則|AB|的最小值為________.
11.已知曲線C1:(t為參數(shù)),C2:(θ為參數(shù)).若曲線C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=,Q為曲線C2上的動點,則線段PQ的中點M到直線C3:(t為參數(shù))距離的最小值為________.
12.在直角坐標系xOy中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),過點P(-2,-4)的直線l的參數(shù)方程為
直線l與曲線C分別交于M,N兩點.若|PM|,|MN
6、|,|PN|成等比數(shù)列,則a的值為________.
答案精析
1.D [由可知,點(2,)的直角坐標為(1,),圓ρ=2cos θ的直角坐標方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,則圓心(1,0)與點(1,)之間的距離為.]
2.A [由題意知,直線l的直角坐標方程為x+y=6,圓C的普通方程為x2+y2=1,則圓心到直線的距離d==3,所以圓C上的點到直線l的距離的最大值為3+1.]
3.D [由xy=1,知x取非零實數(shù)即可,而選項A,B,C中的x的范圍有各自的限制.]
4.C [由ρcosθ=4sin θcosθ,得cosθ=0或ρ=4sin θ.即θ=kπ
7、+或x2+y2=4y,所以方程表示的是一條直線和一個圓.]
5.B [由可得
把直線代入x2+y2=9,
得(1+2t)2+(2+t)2=9,5t2+8t-4=0,
|t1-t2|===,
弦長為|t1-t2|=.]
6.A [直線的極坐標方程化為直角坐標方程為x+y-2=0,圓的極坐標方程化為直角坐標方程為x2+y2=16,圓心坐標為(0,0),則圓心(0,0)到直線x+y-2=0的距離d==2,所以直線被圓截得的弦長為2=4.]
7.A [圓ρ=4sin θ的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4,直線ρcosθ=2的直角坐標方程為x=2,圓x2+(y-2)2=4與直線x=2顯
8、然相切.]
8.A [由(t為參數(shù)),得直線l:2x+y-1=0,由(θ為參數(shù)),得曲線C:x2+(y-m)2=5,因為直線與曲線相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即=,解得m=-4或m=6.]
9.(1,)
解析 由(0≤θ<π)得+y2=1(y≥0),由(t∈R)得x=y(tǒng)2,聯(lián)立方程則5y4+16y2-16=0,解得y2=或y2=-4(舍去),則x=y(tǒng)2=1,又y≥0,所以其交點坐標為(1,).
10.1
解析 消掉參數(shù)θ,得到曲線C1的普通方程為(x-3)2+y2=1,表示以(3,0)為圓心,以1為半徑的圓;C2表示的是單位圓,所以|AB|的最小值為3-1-1=1.
11.
9、
解析 曲線C1的普通方程為(x+4)2+(y-3)2=1,曲線C2的普通方程為+=1,曲線C1為圓心是(-4,3),半徑是1的圓.曲線C2為中心是坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓.當t=時,點P的坐標為(-4,4).Q為曲線C2上的動點,
設(shè)Q(8cos θ,3sin θ),故M(-2+4cos θ,2+sin θ),
直線C3的參數(shù)方程化為普通方程為x-2y-7=0,
點M到直線C3的距離d=|4cos θ-3sin θ-13|,
從而cosθ=,sin θ=-時,d取得最小值.
12.1
解析 將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程為y2=2ax,將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入y2=2ax,得到t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.
設(shè)直線上的M,N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則有t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a).因為|MN|2=|PM|·|PN|,所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t1t2,解得a=1.