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1、
第38練 數(shù)列的通項(xiàng)
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法;(2)等差、等比數(shù)列知識(shí)的深化應(yīng)用.
訓(xùn)練題型
(1)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng).
解題策略
求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法:(1)公式法;(2)累加法;(3)累乘法;(4)構(gòu)造法.
一、選擇題
1.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,則an等于( )
A.2+lnn B.2+(n-1)lnn
C.2+nlnn D.1+n+lnn
2.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且log2(Sn+1)=n+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
A.a(chǎn)n=2n
2、B.a(chǎn)n=
C.a(chǎn)n=2n-1 D.a(chǎn)n=2n+1
3.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=-2an+3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an等于( )
A.(-2)n-1+1 B.2n-1+1
C.(-2)n-1 D.(-2)n+1-1
4.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an},定義向量cn=(an,an+1),bn=(n,n+1),n∈N*.下列命題中真命題是( )
A.若?n∈N*總有cn∥bn成立,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列
B.若?n∈N*總有cn∥bn成立,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列
C.若?n∈N*總有cn⊥bn成立,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列
D.若?n∈N*總有cn⊥
3、bn成立,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列
5.(20xx·寶雞二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足4(n+1)(Sn+1)=(n+2)2an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an等于( )
A.(n+1)3 B.(2n+1)2
C.8n2 D.(2n+1)2-1
二、填空題
6.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=0,an+1=(n∈N*),則a2 015=________.
7.定義:稱(chēng)為n個(gè)正數(shù)x1,x2,…,xn的“平均倒數(shù)”,若正項(xiàng)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的“平均倒數(shù)”為,則數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=________.
n為偶數(shù),
n為奇數(shù),
8.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an=
4、
n=2,3,4,…,設(shè)bn=a+1,n=1,2,3,…,則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是________.
9.?dāng)?shù)列{an}中,a1=1,an=3an-1+3n+4(n∈N*,n≥2),若存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列,則λ=________.
三、解答題
10.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.
(1)若{an}是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值;
(2)若p=,且{a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
答案精析
1.A [因?yàn)閍n+1=an+ln,
所
5、以an+1-an=ln=ln=ln(n+1)-lnn.
又a1=2,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+lnn-ln(n-1)]=2+lnn-ln 1=2+lnn.]
2.B [由log2(Sn+1)=n+1,得Sn=2n+1-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=故選B.]
3.A [an+1=-2an+3,
即為an+1-1=-2(an-1),又a1-1=1,
所以數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為1,
6、公比為-2的等比數(shù)列,
故an-1=(-2)n-1,
即an=(-2)n-1+1.故選A.]
4.A [若cn∥bn,可得(n+1)an=nan+1,=.
即···…··=···…··.所以an=na1,
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.易判斷當(dāng)cn⊥bn時(shí),數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,故選A.]
5.A [當(dāng)n=1時(shí),4(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1,解得a1=8,當(dāng)n≥2時(shí),由4(Sn+1)=,得4(Sn-1+1)=,兩式相減,得4an=-,
即=,所以an=··…··a1=××…××8=(n+1)3,
經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)也符合,所以an=(n+1)3.]
7、
6.-
解析 由an+1=,
得a2==-,
a3===,
a4===0,
所以數(shù)列{an}的循環(huán)周期為3.
故a2 015=a3×671+2=a2=-.
7.4n-1
解析 由已知可得,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn=n(2n+1),所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列,首項(xiàng)c1=S1=3,c2=S2-S1=10-3=7,故公差d=c2-c1=7-3=4,得數(shù)列的通項(xiàng)公式為cn=c1+(n-1)×4=4n-1.
8.bn=2n
解析 由題意得,對(duì)于任意的正整數(shù)n,bn=a+1,
所以bn+1=a+1,
又a+1=2(a+1)=2bn,
所以bn+1=2bn,又b1=a1+1=2
8、,
所以{bn}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以bn=2n.
9.2
解析 設(shè)bn=,得an=3nbn-λ,代入已知得3nbn-λ=3(3n-1bn-1-λ)+3n+4,變形為3n(bn-bn-1-1)=-2λ+4,這個(gè)式子對(duì)大于1的所有正整數(shù)n都成立.由于{bn}是等差數(shù)列,bn-bn-1是常數(shù),所以bn-bn-1-1=0,即-2λ+4=0,可得λ=2.
10.解 (1)因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,
所以an+1-an=|an+1-an|=pn.
而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.
又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,所以4a2=a1+3a3,
因而3p2-p=
9、0,解得p=或p=0.
當(dāng)p=0時(shí),an+1=an,
這與{an}是遞增數(shù)列矛盾,故p=.
(2)由于{a2n-1}是遞增數(shù)列,因而a2n+1-a2n-1>0,
于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①
因?yàn)?,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②
由①②知,a2n-a2n-1>0,
因此a2n-a2n-1=()2n-1=.③
因?yàn)閧a2n}是遞減數(shù)列,
同理可得,a2n+1-a2n<0,
故a2n+1-a2n=-()2n=.④
由③④可知,an+1-an=.
于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+-+…+
=1+·
=+·.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=+·.