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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第10講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式 課題 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式（共 4 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化； 2．三角函數(shù) （1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義； （2）借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（π/2α, πα的正弦、余弦、正切）。 命題走向 從近幾年的新課程高考考卷來看，試題內(nèi)容主要考察三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，但解決這類問題的基礎(chǔ)是任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式，在處理一些復(fù)雜的三角問題時(shí)，同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵。 預(yù)測xx年高考對(duì)本講的考察是： 1．題型是1道選擇題和解答題中小過程； 2．熱點(diǎn)內(nèi)容是三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，這也是新課標(biāo)教材的熱點(diǎn)內(nèi)容。 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 一．知識(shí)梳理： 1．任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。 為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。 2．終邊相同的角、區(qū)間角與象限角 角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角。 終邊相同的角是指與某個(gè)角α具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。 區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如α∈{α|≤α≤}=[，]。 3．弧度制 長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。 角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。 角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，l是圓心角所對(duì)的弧長，是半徑。 角度制與弧度制的換算主要抓住。 弧度與角度互換公式：1rad＝≈57.30=5718ˊ、1＝≈0.01745（rad）。 弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)）， 扇形面積公式：。 4．三角函數(shù)定義 在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則；；。 a的終邊 P(x,y)) O x y 利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么: (1)叫做的正弦,記做,即； （2）叫做的余弦,記做,即； （3）叫做的正切,記做,即。 5．三角函數(shù)線 O x y a角的終邊 P T M A 三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。 我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有 同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)， 規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。 如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。 6．同角三角函數(shù)關(guān)系式 使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。 幾個(gè)常用關(guān)系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα；(三式之間可以互相表示) 同理可以由sinα－cosα或sinαcosα推出其余兩式。 ②． ③當(dāng)時(shí)，有。 7．誘導(dǎo)公式 可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。 誘導(dǎo)公式一：，，其中 誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； － sin －sin sin －sin －sin sin cos cos cos －cos －cos cos cos sin （1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）； （2）記憶方法：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”； （3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)； （4）；。 二．典例分析 考點(diǎn)一：角的集合表示及象限角的判定 典題導(dǎo)入 　已知角α＝45， (1)在－720～0范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β； (2)設(shè)集合M＝， N＝，判斷兩集合的關(guān)系． 　(1)所有與角α有相同終邊的角可表示為： β＝45＋k360(k∈Z)， 則令－720≤45＋k360<0， 得－765≤k360<－45，解得－≤k<－， 從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675或β＝－315. (2)因?yàn)镸＝{x|x＝(2k＋1)45，k∈Z}表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合； 而集合N＝{x|x＝(k＋1)45，k∈Z}表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：MN(yùn). 由題悟法 1．利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角． 2．已知角α的終邊位置，確定形如kα，πα等形式的角終邊的方法：先表示角α的范圍，再寫出kα、πα等形式的角范圍，然后就k的可能取值討論所求角的終邊位置． 以題試法 1．(1)給出下列四個(gè)命題： ①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400是第四角限角；④－315是第一象限角．其中正確的命題有(　　) A．1個(gè)　　　　　　　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) (2)如果角α是第二象限角，則π－α角的終邊在第________象限． 解析：(1)－是第三象限角，故①錯(cuò)誤.＝π＋，從而是第三象限角正確．－400＝－360－40，從而③正確．－315＝－360＋45，從而④正確． (2)由已知＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)， 則－π－2kπ<－α<－－2kπ(k∈Z)， 即－π＋2kπ<－α<－＋2kπ(k∈Z)， 故2kπ<π－α<＋2kπ(k∈Z)， 所以π－α是第一象限角． 答案：(1)C　(2)一 考點(diǎn)二：三角函數(shù)的定義 典題導(dǎo)入 　(1)已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(t，t2＋1)(t>0)，則tan α的最小值為(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C. D. (2)(xx大慶模擬)已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則角α的最小正值為(　　) A. B. C. D. 　(1)根據(jù)已知條件得tan α＝＝t＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，tan α取得最小值2. (2)由題意知點(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cos α＝sin ＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值為. 　(1)B　(2)D 由題悟法 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解． (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值． 以題試法 2．(1)(xx東莞調(diào)研)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，則tan α＝(　　) A. B． C. D． (2)(xx濰坊質(zhì)檢)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m，－3)，且cos α＝－，則m等于(　　) A．－ B. C．－4 D．4 解析：(1)選B　由|OP|2＝x2＋＝1， 得x＝，tan α＝. (2)選C　由題意可知，cos α＝＝－， 又m<0，解得m＝－4. 考點(diǎn)三：扇形的弧長及面積公式 典題導(dǎo)入 　(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角． (2)已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？ 　(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r， 則?(舍)， 故扇形圓心角為. (2)設(shè)圓心角是θ，半徑是r， 則2r＋rθ＝40. S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r－10)2＋100≤100， 當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)，Smax＝100. 所以當(dāng)r＝10，θ＝2時(shí)，扇形面積最大． 若本例(1)中條件變?yōu)椋簣A弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________． 解析：設(shè)圓半徑為R，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長為2R， ∴正方形邊長為R，∴圓心角的弧度數(shù)是＝. 答案： 由題悟法 1．在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷． 2．記住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，α(0<α<2π)為圓心角，S是扇形面積． 以題試法 3．若扇形的面積為定值，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，該扇形的周長取到最小值？ 解：設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l，根據(jù)已知條件lR＝S扇，則扇形的周長為：l＋2R＝＋2R≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝2R，即R＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)l＝2，α＝＝2， 因此當(dāng)扇形的圓心角為2弧度時(shí)，扇形的周長取到最小值． 考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 典題導(dǎo)入 　(1)(xx江西高考)若tan θ＋＝4，則sin 2θ＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. (2)已知sin(3π＋α)＝2sin，則＝________. 　(1)∵tan θ＋＝4， ∴＋＝4， ∴＝4，即＝4， ∴sin 2θ＝. (2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin得tan α＝2. 原式＝＝＝－. 法二：由已知得sin α＝2cos α. 原式＝＝－. 　(1)D　(2)－ 在(2)的條件下，sin2α＋sin 2α＝________. 解析：原式＝sin2α＋2sin αcos α＝＝＝. 答案： 由題悟法 1．利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化． 2．應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin αcos α)2＝12sin αcos α，可以知一求二(參閱本節(jié)題型技法點(diǎn)撥)． 3．注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 以題試法 4．(1)(xx長沙模擬)若角α的終邊落在第三象限，則＋的值為(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，則cos α＝________. 解析：(1)由角α的終邊落在第三象限得sin α<0，cos α<0， 故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. (2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin2α＝4sin2β，① tan2α＝9tan2β，② 由①②得：9cos2α＝4cos2β，③ ①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4， ∵cos2α＋sin2α＝1， ∴cos2α＝，即cos α＝. 答案：(1)B　(2) 考點(diǎn)五：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 典題導(dǎo)入 　 (1)＝________. (2)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2}　　　　 B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} 　(1)原式 ＝ ＝＝ ＝－＝－＝－1. (2)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝＋＝2； k為奇數(shù)時(shí)，A＝－＝－2. 　(1)－1　(2)C 由題悟法 利用誘導(dǎo)公式化簡求值時(shí)的原則 (1)“負(fù)化正”，運(yùn)用－α的誘導(dǎo)公式將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)． (2)“大化小”，利用k360＋α(k∈Z)的誘導(dǎo)公式將大于360的角的三角函數(shù)化為0到360的三角函數(shù)． (3)“小化銳”，將大于90的角化為0到90的角的三角函數(shù)． (4)“銳求值”，得到0到90的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計(jì)算器求得． 以題試法 5．(1)(濱州模擬)sin 600＋tan 240的值等于(　　) A．－　　　　　　　　　　 B. C.－ D.＋ (2)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β，a，b均為非零實(shí)數(shù)，若f(2 012)＝－1，則f(2 013)等于________． 解析：(1)sin 600＋tan 240＝sin(720－120)＋tan(180＋60)＝－sin 120＋tan 60＝－＋＝. (2)由誘導(dǎo)公式知f(2 012)＝asin α＋bcos β＝－1， ∴f(2 013)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asin α＋bcos β)＝1. 答案：(1)B　(2)1 考點(diǎn)六：誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用 典題導(dǎo)入 　在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos (π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角． 　由已知得sin A＝sin B，cos A＝cos B兩式平方相加得2cos2A＝1， 即cos A＝或cos A＝－. (1)當(dāng)cos A＝時(shí)，cos B＝，又角A、B是三角形的內(nèi)角， ∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝. (2)當(dāng)cos A＝－時(shí)，cos B＝－， 又角A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝，B＝，不合題意． 綜上知，A＝，B＝，C＝. 由題悟法 1．誘導(dǎo)公式在三角形中經(jīng)常使用，常用的角的變形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sin C，cos＝sin 等； 2．求角時(shí)，通常是先求出該角的某一個(gè)三角函數(shù)值，再結(jié)合其范圍，確定該角的大?。? 以題試法 6．在三角形ABC中， (1)求證：cos2＋cos2＝1； (2)若cossintan (C－π)<0，求證：三角形ABC為鈍角三角形． 證明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，則＝－， 所以cos＝cos＝sin， 故cos2＋cos2＝1. (2)若cossintan (C－π)<0， 則(－sin A)(－cos B)tan C<0， 即sin Acos Btan C<0， ∵在△ABC中，00，或 ∴B為鈍角或C為鈍角，故△ABC為鈍角三角形． 板書設(shè)計(jì) 教學(xué)反思