第二課　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用 [核心速填] 1．三角函數(shù)的性質(zhì) (1)正弦函數(shù)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇－1,1]，奇函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間：(k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間：(k∈Z) (2)余弦函數(shù)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇－1,1]，偶函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ] (3)正切函數(shù)：定義域?yàn)椋恢涤驗(yàn)镽，奇函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間： 2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及簡單應(yīng)用 A，ω，φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響． (1)φ對y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響： (2)ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響： (3)A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響： [體系構(gòu)建] [題型探究] 三角函數(shù)圖象的畫法和解析 式的確定 　(1)函數(shù)y＝tan在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是(　　) (2)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖13所示． 圖13 ①求f(x)的解析式； ②請寫出g(x)＝f的表達(dá)式，并求出函數(shù)y＝g(x)的圖象的對稱軸和對稱中心. 【導(dǎo)學(xué)號：84352150】 (1)A　　[(1)y＝tan的周期T＝＝2π，排除B，D 當(dāng)x＝0時(shí)，tan＝－.故選A.] (2)①由圖可知A＝3，＝－，∴T＝π?ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋φ)，∴＋φ＝，φ＝－，∴f(x)＝3sin. ②由(1)知g(x)＝f＝3sin＝3sin＝3cos 2x，令2x＝kπ(k∈Z)，∴所求的對稱軸為直線x＝(k∈Z)，令2x＝＋kπ(k∈Z)，x＝＋(k∈Z)，∴所求的對稱中心為(k∈Z)． [規(guī)律方法]　(1)“五點(diǎn)法”作圖中的五點(diǎn)分別為圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及與x軸的交點(diǎn)，描點(diǎn)作圖并向左或向右平移即得正弦曲線和余弦曲線. (2)y＝sin x的圖象的對稱軸方程為x＝kπ＋，k∈Z，對稱中心為(kπ，0)，k∈Z， y＝cos x的圖象的對稱軸方程為x＝kπ，k∈Z，對稱中心為，k∈Z， y＝tan x的圖象的對稱中心為，k∈Z. (3)由已知條件確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要確定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介紹求φ的幾種方法. ①平衡點(diǎn)法 由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asin知它的平衡點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，所以我們可以找與原點(diǎn)相鄰的且處于遞增部分的平衡點(diǎn)，令其橫坐標(biāo)為x1＝－\f(φ,ω)，則可求φ. ②確定最值法 這種方法避開了“伸縮變換”且不必牢記許多結(jié)論，只需解一個(gè)特殊的三角方程. ③利用單調(diào)性 將函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與y＝sin x的圖象比較，選取它們的某一個(gè)單調(diào)區(qū)間得到一個(gè)等式，解答即可求出φ. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的振幅為4，周期為6π，初相為－. (1)寫出這個(gè)函數(shù)的解析式； (2)用“五點(diǎn)法”在所給坐標(biāo)系中作出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象． [解]　(1)由已知得A＝4，ω＝＝，φ＝－， 因此這個(gè)函數(shù)的解析式為y＝4sin. (2)列表： x π 4π 7π x－ 0 π 2π y＝4sin 0 4 0 －4 0 描點(diǎn)畫圖，其圖象如圖所示： 三角函數(shù)的圖象變換問題 　(1)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2 (2)將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位長度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能取值為(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．0 D．－ (1)D　(2)B　[(1)因?yàn)閥＝sin＝cos＝cos，所以曲線C1：y＝cos x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線y＝cos 2x，再把得到的曲線y＝cos 2x向左平移個(gè)單位長度，得到曲線y＝cos 2＝cos. 故選D. (2)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后 得y＝sin＝sin.若該函數(shù)為偶函數(shù)， 則＋φ＝kπ＋，k∈Z，故φ＝kπ＋.當(dāng)k＝0時(shí)φ＝.故選B.] [規(guī)律方法]　 1．函數(shù)y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R圖象的兩種方法 2．對稱變換 (1)y＝f(x)的圖象y＝－f(x)的圖象 (2)y＝f(x)的圖象y＝f(－x)的圖象 (3)y＝f(x)的圖象y＝－f(－x)的圖象 [跟蹤訓(xùn)練] 2．將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352151】 A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin D　[函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個(gè)周期即個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D.] 三角函數(shù)的性質(zhì) 　(1)若函數(shù)f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜0＜π)是偶函數(shù)，則f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. (2)已知函數(shù)f(x)＝2sin＋a＋1(其中a為常數(shù))． ①求f(x)的單調(diào)區(qū)間； ②若x∈時(shí)，f(x)的最大值為4，求a的值. 【導(dǎo)學(xué)號：84352152】 [思路探究]　(1)先根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，求θ，再依據(jù)單調(diào)性求增區(qū)間，最后與[0，π]求交集． (2)①由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求增區(qū)間 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求減區(qū)間 ②先求f(x)的最大值，得關(guān)于a的方程，再求a的值． (1)B　　[(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函數(shù)， 所以φ＝，f(x)＝3sin＝3cos 2x， 令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ， 可得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為，k∈Z， 所以f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為.] (2)①由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)． ②∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴－≤sin≤1， ∴f(x)的最大值為2＋a＋1＝4，∴a＝1. 母題探究：1.求本例(2)中函數(shù)y＝f(x)，x∈R取最大值時(shí)x的取值集合． [解]　當(dāng)f(x)取最大值時(shí)，2x＋＝＋2kπ， ∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z. ∴當(dāng)f(x)取最大值時(shí)，x的取值集合是. 2．在本例(2)的條件下，求不等式f(x)＜1的解集． [解]　由f(x)＜1得2sin＋2＜1， 所以sin＜－ 所以2kπ－＜2x＋＜2kπ－，k∈Z. 解得kπ－＜x＜kπ－，k∈Z. 所以不等式f(x)＜1的解集為. 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 　(1)如圖14，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為________． 圖14 (2)如圖15，點(diǎn)P是半徑為r cm的砂輪邊緣上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它從初始位置P0開始，按逆時(shí)針方向以角速度ω rad/s做圓周運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，并求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期和頻率. 【導(dǎo)學(xué)號：84352153】 圖15 (1)8　[(1)根據(jù)圖象得函數(shù)最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.] (2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)P0轉(zhuǎn)到點(diǎn)P位置時(shí)，點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的角度為ωt，則∠POx＝ωt＋φ. 由任意角的三角函數(shù)得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y＝rsin(ωt＋φ)，即為所求的函數(shù)關(guān)系式， 點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)周期為T＝， 頻率為f＝＝. [規(guī)律方法]　三角函數(shù)模型構(gòu)建的步驟 (1)收集數(shù)據(jù)，觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)是否具有周期性的重復(fù)現(xiàn)象. (2)制作散點(diǎn)圖，選擇函數(shù)模型進(jìn)行擬合. (3)利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題. (4)根據(jù)問題的實(shí)際意義，對答案的合理性進(jìn)行檢驗(yàn). [跟蹤訓(xùn)練] 3．某地昆蟲種群數(shù)量在七月份1～13日的變化如圖16所示，且滿足y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0，－π＜φ＜0)． 根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求函數(shù)解析式． 圖16 [解]　由圖象可知ymax＝900，ymin＝700， 且A＋b＝y(tǒng)max，－A＋b＝y(tǒng)min， 所以A＝＝＝100， b＝＝800，且T＝12＝， 所以ω＝，將(7,900)代入函數(shù)解析式得7＋φ＝＋2kπ，k∈Z. 所以φ＝－π＋2kπ，k∈Z.因?yàn)椋校鸡眨?， 所以φ＝－π，因此所求的函數(shù)解析式為： y＝100sin＋800.