2018年秋高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學案 新人教A版選修2-1.doc
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2.1 曲線與方程 2.1.1 曲線與方程 2.1.2 求曲線的方程 學習目標：1.了解曲線上點的坐標與方程的解之間的一一對應關系.2.理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念．(重點)3.通過具體的實例掌握求曲線方程的一般步驟，會求曲線的方程．(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．曲線的方程與方程的曲線 一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關系： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 思考：(1)如果曲線與方程僅滿足“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”，會出現(xiàn)什么情況？舉例說明． (2)如果曲線C的方程是f(x，y)＝0，那么點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是什么？ [提示] (1)會出現(xiàn)曲線上的點的坐標不滿足方程的情況，如方程y＝表示的曲線是半圓，而非整圓． (2)充要條件是f(x0，y0)＝0. 2．求曲線方程的步驟 [基礎自測] 1．思考辨析 (1)若點P的坐標是方程f(x，y)＝0的解，則點P在方程f(x，y)＝0的曲線上．( ) (2)單位圓上的點的坐標是方程x2＋y2＝1的解．( ) (3)方程y＝與方程y＝(x>0)是同一條曲線的方程．( ) [答案] (1)√ (2) (3) 2．已知直線l：x＋y－3＝0及曲線C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，則點M(2,1)( ) A．在直線l上，但不在曲線C上 B．在直線l上，也在曲線C上 C．不在直線l上，也不在曲線C上 D．不在直線l上，但在曲線C上 B [將點M的坐標代入直線l，曲線C的方程知點M在直線l上，也在曲線C上．] 3．到兩坐標軸距離之和為4的點M的軌跡方程為( ) 【導學號：46342051】 A．x＋y＝4 B．x－y＝4 C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4 D [點M(x，y)到兩坐標軸的距離分別為|x|和|y|，故選D.] [合 作 探 究攻 重 難] 曲線與方程的概念 (1)命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，下列命題中正確的是 ( ) A．方程f(x，y)＝0的曲線是C B．方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C C．f(x，y)＝0是曲線C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上 (2)分析下列曲線上的點與相應方程的關系： ①過點A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|＝2之間的關系； ②到兩坐標軸的距離的積等于5的點與方程xy＝5之間的關系； ③第二、四象限角平分線上的點與方程x＋y＝0之間的關系． [解析] (1)根據(jù)方程的曲線和曲線的方程的定義知A、C、D錯． [答案] (1)B (2)①過點A(2,0)平行于y軸的直線上的點的坐標都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解為坐標的點不一定都在過點A(2,0)且平行于y軸的直線上．因此|x|＝2不是過點A(2,0)平行于y軸的直線的方程． ②到兩坐標軸的距離的積等于5的點的坐標不一定滿足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解為坐標的點與兩坐標軸的距離之積一定等于5.因此到兩坐標軸的距離的積等于5的點的軌跡方程不是xy＝5. ③第二、四象限角平分線上的點的坐標都滿足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解為坐標的點都在第二、四象限角平分線上．因此第二、四象限角平分線上的點的軌跡方程是x＋y＝0. [規(guī)律方法] 1.解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是否是曲線的方程或判定曲線是否是方程的曲線)，只要一一檢驗定義中的兩個條件是否都滿足，并作出相應的回答即可． 2．判斷點是否在曲線上，就是判斷點的坐標是否適合曲線的方程． [跟蹤訓練] 1．(1)已知坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上，那么( ) 【導學號：46342052】 A．曲線C上的點的坐標都適合方程f(x，y)＝0 B．凡坐標不適合f(x，y)＝0的點都不在曲線C上 C．不在曲線C上的點的坐標必不適合f(x，y)＝0 D．不在曲線C上的點的坐標有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0 C [根據(jù)曲線的方程的定義知，選C．] (2)已知方程x2＋(y－1)2＝10. ①判斷點P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲線上； ②若點M在此方程表示的曲線上，求實數(shù)m的值． [解]?、僖驗?2＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10， 所以點P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，點Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上． ②因為點M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上， 所以x＝，y＝－m適合方程x2＋(y－1)2＝10， 即＋(－m－1)2＝10. 解得m＝2或m＝－. 故實數(shù)m的值為2或－. 用直接法(定義法)求曲線方程 [探究問題] 1．求曲線方程為什么要首先“建立適當?shù)淖鴺讼怠?？如何建系? 提示：只有建立了平面直角坐標系，才能用坐標表示點，才能把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡．建立坐標系時，應充分利用圖形的幾何性質，如中心對稱圖形，可利用對稱中心為原點建系；軸對稱圖形以對稱軸為坐標軸建系；條件中有直角，可將兩直角邊作為坐標軸建系等． 2．在求出曲線方程后，為什么要說明化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上？ 提示：根據(jù)條件求出的方程，只滿足“曲線上的點的坐標都是方程的解”，而沒說明“以方程的解為坐標的點都在曲線上”，故應說明． 在Rt△ABC中，斜邊長是定長2a(a＞0)，求直角頂點C的軌跡方程. 【導學號：46342053】 [思路探究] 以線段AB的中點為原點，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系， 法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解． 法二(定義法)：頂點C在以AB為直徑的圓上． [解] 法一(直接法)：取AB邊所在的直線為x軸，AB的中點O為坐標原點， 過O與AB垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系， 則A(－a,0)，B(a,0)，設動點C為(x，y)． 由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以()2＋()2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2. 由于當x＝a時，點C與A或B重合，故x≠a. 所以所求的點C的軌跡方程為x2＋y2＝a2(x≠a)． 法二(定義法)：建立平面直角坐標系同法一 因為AC⊥BC，則頂點C的軌跡是以AB為直徑的圓(除去A，B兩點)，因此頂點C的軌跡方程為x2＋y2＝a2(x≠a) 母題探究：1.(變條件)若本例題改為“一個動點P到直線x＝8的距離是它到點A(2,0)的距離的2倍．求動點P的軌跡方程．如何求解？” [解] 設P(x，y)，則|8－x|＝2|PA|. 則|8－x|＝2， 化簡，得3x2＋4y2＝48， 故動點P的軌跡方程為3x2＋4y2＝48. 2．(變條件)若本例題改為“已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程．”如何求解？ [解] 如圖，設OQ為過O點的一條弦，P(x，y)為其中點，則CP⊥OQ，設M為OC的中點，則M的坐標為. ∵∠OPC＝90， ∴動點P在以點M為圓心，OC為直徑的圓上， 由圓的方程得2＋y2＝(0
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