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1、
第66練 拋物線
訓(xùn)練目標(biāo)
熟練掌握拋物線的定義及幾何性質(zhì),能利用定義、幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題.
訓(xùn)練題型
(1)求拋物線方程;(2)利用定義、幾何性質(zhì)求最值、參數(shù)范圍、弦長等.
解題策略
(1)利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(2)掌握關(guān)于弦長、焦半徑的重要結(jié)論;(3)恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.
一、選擇題
1.(20xx·寧夏銀川九中月考)已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)在x軸上,其上點(diǎn)P(-3,m)到焦點(diǎn)的距離為5,則拋物線方程為( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=4x D.y2=-4x
2.(20xx·九江第一次統(tǒng)考)已知拋物線的方
2、程為y2=2px(p>0),過拋物線上一點(diǎn)M(p,p)和拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于另一點(diǎn)N,則|NF|∶|FM|等于( )
A.1∶ B.1∶
C.1∶2 D.1∶3
3.已知拋物線C:y2=4x,頂點(diǎn)為O,動(dòng)直線l:y=k(x+1)與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),則·的值為( )
A.5 B.-5
C.4 D.-4
4.(20xx·長春一模)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn),則的值等于( )
A. B.
C. D.
5.(20xx·武昌調(diào)研)設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點(diǎn)
3、,F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是( )
A.(0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
6.已知點(diǎn)A(2,1),拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F,若拋物線上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|最小,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.(2,1) B.(1,1)
C. D.
7.拋物線x2=ay(a>0)的準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)P,若l繞點(diǎn)P以每秒弧度的角速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t秒鐘后,恰與拋物線第一次相切,則t等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.已知拋物線x2=4y上有一條長為6
4、的動(dòng)弦AB,則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為( )
A. B.
C.1 D.2
二、填空題
9.(20xx·福州質(zhì)檢)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),分別過P,Q兩點(diǎn)作PP1,QQ1垂直于拋線物的準(zhǔn)線于P1,Q1,若|PQ|=2,則四邊形PP1Q1Q的面積是________.
10.已知過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),|AF|=2,則|BF|=______,△OAB的面積是________.
11.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬____
5、____米.
12.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,|AF|<|BF|,則|BF|=________.
答案精析
1.B [依題意,設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),則-(-3)=5,
∴p=4,∴拋物線方程為y2=-8x.]
2.C [由題意知直線l的方程為y=2,
聯(lián)立方程
得N(,-p).
所以|NF|=+=p,|MF|=p+=p,
所以|NF|∶|FM|=1∶2,故選C.]
3.A [設(shè)A,B,由已知得直線l過定點(diǎn)E(-1,0),因?yàn)镋,A,B三點(diǎn)共線,所以y2=y(tǒng)1,即(y1-y2)=y(tǒng)1-y2,因?yàn)閥1≠
6、y2,所以y1y2=4,
所以·=+y1y2=5.]
4.A [設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l:x=-,設(shè)|FB|=m,|FA|=n,
過A,B兩點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線AC,BD,
由拋物線定義知:|AC|=|FA|=n,|BD|=|FB|=m,
過B作BE⊥AC,E為垂足,
|AE|=|CE|-|AC|=|BD|-|AC|=m-n,
|AB|=|FA|+|FB|=n+m.
在Rt△ABE中,∠BAE=60°,
cos 60°===,即m=3n.
故===.]
5.C [拋物線C的方程為x2=8y,∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.由拋物線的定義知|MF|=y(tǒng)0+2.以F為圓
7、心,|FM|為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F為圓心,|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交,又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4,故42.]
6.D [由拋物線定義知,|PF|等于P到準(zhǔn)線x=-1的距離,當(dāng)PA與準(zhǔn)線垂直時(shí)|PA|+|PF|最小,∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,代入方程得x=.]
7.C [由x2=ay可得=,故P(0,-).設(shè)l:y=kx-,將其與x2=ay聯(lián)立,消去y可得-kx+=0,即4x2-4akx+a2=0,由題設(shè)知Δ=16k2a2-16a2=0,解得k=±1,當(dāng)k=-1時(shí),與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)不合,故k=1,則直線的傾斜角α=,又點(diǎn)的角速度為每秒
8、弧度,故第一次與拋物線相切時(shí),所用時(shí)間t==3,故選C.]
8.D [由題意知,拋物線的準(zhǔn)線l:y=-1,過點(diǎn)A作AA1⊥l于點(diǎn)A1,過點(diǎn)B作BB1⊥l于點(diǎn)B1,設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作MM1⊥l于點(diǎn)M1,
則|MM1|=.因?yàn)閨AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn)),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故點(diǎn)M到x軸的距離d≥2,故選D.]
9.1
解析 由題意得四邊形PP1Q1Q為直角梯形,|PP1|+|QQ1|=|PQ|=2,
|P1Q1|=|PQ|sin 30°=1,
∴S=·|P1Q1|=1.
10.2
9、2
解析 設(shè)A(x0,y0),
由拋物線定義知x0+1=2,
∴x0=1,則直線AB⊥x軸,
∴|BF|=|AF|=2,|AB|=4.
故△OAB的面積S=|AB||OF|=×4×1=2.
11.2
解析 如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).
由題意將點(diǎn)A(2,-2)代入x2=-2py,
得p=1,故x2=-2y.設(shè)B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=,
故水面寬為2米.
12.4+2
解析 由y2=4x,得焦點(diǎn)F(1,0).
又|AB|=8,故AB的斜率存在(否則|AB|=4).設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),將y=k(x-1)代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,故x1+x2=2+,
由|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,得x1+x2=2+=6,即k2=1,則x2-6x+1=0,又|AF|<|BF|,所以x1=3-2,x2=3+2,故|BF|=x2+1=3+2+1=4+2.