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1、 專(zhuān)題3 導(dǎo)數(shù) 一．選擇題 1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷11】在函數(shù)的圖象上，其切線(xiàn)的傾斜角小 于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷10】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 二．填空題 1.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷15】半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長(zhǎng)C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r ， 式可以用語(yǔ)

2、言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù). 對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于 ②的式子： . 式可以用語(yǔ)言敘述為： . 2.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷13】已知函數(shù)的圖象在M（1，f（1））處的切線(xiàn)方程是+2， . 三．解答題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷17】已知向量在區(qū)間（－1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍. 【解析】依題意 若函數(shù)在上是增函數(shù)，則

3、在上， 所以在恒成立，設(shè)， 由于的圖象是對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)且開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)， 故要使在區(qū)間（－1，1）上恒成立 故實(shí)數(shù)的取值范圍是. 2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1處取得極值－2，試用c表示a和b，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 3. 【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣(mài)出432件.如果降低價(jià)格。銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低銷(xiāo)x（單位：元，）的平方成正比.已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件. （Ⅰ）將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表

4、示成x的函數(shù); （Ⅱ）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？ 【解析】（Ⅰ）設(shè)商品降價(jià)元，則多賣(mài)的商品數(shù)為，若記商品在一個(gè)星期的獲利為， 則依題意有， 又由已知條件，，于是有， 所以． （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），我們有． 2 12 0 0 極小 極大 故時(shí)，達(dá)到極大值．因?yàn)?，，所以定價(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大． 4. 【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷17】已知函數(shù)（為常數(shù)，且）有極大值9. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若斜率為－5的直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求此直線(xiàn)方程. 【解析】(Ⅰ) f’(x)＝3x2

5、+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m, 當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞,－m) －m (－m,) (,+∞) f’(x) + 0 － 0 + f (x) 極大值 極小值 從而可知，當(dāng)x=－m時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值9， 即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1, 依題意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－. 又f(－1)＝6，f(－)＝， 所以切線(xiàn)方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－

6、5(x＋)， 即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0. 5. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷22】已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M. (Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值： （Ⅱ）若∣b∣>1,證明對(duì)任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值。 【解析】（I），由在處有極值 可得，解得或 若，則，此時(shí)沒(méi)有極值； 若，則 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

7、 1 0 + 0 極小值 極大值 當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。 （Ⅱ）證法1： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間之外。 在上的最值在兩端點(diǎn)處取得 故應(yīng)是和中較大的一個(gè) 即 證法2（反證法）：因?yàn)椋院瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間之外， 在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。 故應(yīng)是和中較大的一個(gè) 假設(shè)，則 （1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知； （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間內(nèi)， 此時(shí) ，即 下同解法1. 6. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)函數(shù)，其中a＞0，曲線(xiàn)在點(diǎn)P（0，）處的切線(xiàn)方程為y

8、=1. （Ⅰ）確定b、c的值； （Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)（）及（）處的切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)（0,2）證明：當(dāng)時(shí)，； （Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)（0,2）可作曲線(xiàn)的三條不同切線(xiàn)，求a的取值范圍. 由(1)-(2)得 又 ∴，此時(shí)，與矛盾，所以. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，過(guò)點(diǎn)(0,2)可作的三條切線(xiàn)，等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根. 設(shè)，則. 令＝0得 列表如下： 0 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 極大值1 ↘ 極小值 ↗ 由的單調(diào)性知，要使=0有三個(gè)相異的實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)，即. ∴a的取值范圍是. 7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全

9、國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】設(shè)函數(shù)，，其中，、為常數(shù)．已知曲線(xiàn)與在點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)． （Ⅰ）求、的值，并寫(xiě)出切線(xiàn)的方程； （Ⅱ）若方程有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、、，其中，且對(duì)任意的， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【解析】（Ⅰ），． 8.【2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷22】設(shè)函數(shù)，為正整數(shù)，a，b為常數(shù). 曲線(xiàn)在 處的切線(xiàn)方程為. （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求函數(shù)的最大值； （Ⅲ）證明：. 【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，由點(diǎn)在上，可得，即. 因?yàn)?，所? 9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)，，已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)

10、性； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為、關(guān)于的加權(quán)平均數(shù). （i）判斷, ,是否成等比數(shù)列，并證明； （ii）、的幾何平均數(shù)記為G. 稱(chēng)為、的調(diào)和平均數(shù)，記為H. 若，求 的取值范圍. 【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，＋∞)， f′(x)＝. 當(dāng)a＞b時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a＜b時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)①計(jì)算得f(1)＝＞0，，， 故， 得，即x的取值范圍為. 10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】為圓周率，為自然對(duì)數(shù)的

11、底數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）求，，，，，這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)； （3）將，，，，，這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論. 11. 【20xx高考湖北，文21】設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， ，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求，的解析式，并證明：當(dāng)時(shí)，，； （Ⅱ）設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，. 【答案】（Ⅰ），.證明：當(dāng)時(shí)，，，故 又由基本不等式，有，即 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ⑤⑥ 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于 ⑦ 等價(jià)于 ⑧于是設(shè)函數(shù) ，由⑤⑥，有 當(dāng)時(shí)，（1）若，由③④，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故⑧成立.綜合⑦⑧，得 .