課時(shí)規(guī)范練12　函數(shù)與方程 一、選擇題 1.方程2x-1+x-5=0的解所在的區(qū)間是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案:C 解析:令f(x)=2x-1+x-5,f(2)=-1<0,f(3)=2>0. ∴方程的解在(2,3)內(nèi). 2.函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:D 解析:由題可知,當(dāng)x>0時(shí),y=ln x與y=-2x+6的圖象有1個(gè)交點(diǎn);當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)y=-x(x+1)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn). 3.已知函數(shù)f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零點(diǎn)依次為a,b,c,則(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 答案:A 解析:∵ea=-a,∴a<0.∵ln b=-b,且b>0,∴0<b<1. ∵ln c=1,∴c=e>1,故選A. 4.在用二分法求方程的近似解時(shí),若初始區(qū)間的長(zhǎng)度為1,精確度要求是0.05,則取中點(diǎn)的次數(shù)是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C 解析:設(shè)經(jīng)過n次取中點(diǎn),則n滿足<0.05,即2n>20,由于24=16<20,25=32>20,故要經(jīng)過5次取中點(diǎn). 5.“函數(shù)f(x)=ax2+2x-1只有一個(gè)零點(diǎn)”是“a=-1”的(　　) A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案:A 解析:當(dāng)a=-1或a=0時(shí),函數(shù)f(x)都只有一個(gè)零點(diǎn). 6.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,則方程f(x)=log3|x|的解有(　　) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.多于4個(gè)[來源:] 答案:C 解析:若函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù),又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),結(jié)合當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=log3|x|的圖象如圖所示: 由圖可知函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=log3|x|的圖象共有4個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=log3|x|的解的個(gè)數(shù)是4,故選C. 二、填空題 7.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　　.  答案:(0,1) 解析:在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)=的圖象,如下: 發(fā)現(xiàn)當(dāng)0<m<1時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m有3個(gè)交點(diǎn), 即函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn). 8.用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間(2,3)上的近似解,取區(qū)間中點(diǎn)x0=2.5,那么下一個(gè)有解區(qū)間為　　　　　.  答案:(2,2.5) 解析:記f(x)=x3-2x-5,因?yàn)閒(2)=-1<0,f(2.5)=f-10>0,故下一個(gè)有解區(qū)間為(2,2.5). 9.關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2-ax+2b=0的一根在區(qū)間[0,1]上,另一根在區(qū)間[1,2]上,則2a+3b的最大值為　　　　　.  答案:9 解析:令f(x)=x2-ax+2b,根據(jù)題意知函數(shù)在[0,1],[1,2]上各存在一零點(diǎn),結(jié)合二次函數(shù)圖象可知滿足條件: 在平面直角坐標(biāo)系中作出滿足不等式組的點(diǎn)(a,b)所在的可行域如陰影部分所示,問題轉(zhuǎn)化為確定線性目標(biāo)函數(shù)z=2a+3b的最優(yōu)解,結(jié)合圖形可知當(dāng)a=3,b=1時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值9. 10.已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值為　　　　　.  答案:-2 解析:由題知:方程4x+m·2x+1=0只有一個(gè)零點(diǎn). 令2x=t(t>0), ∴方程t2+m·t+1=0只有一個(gè)正根, ∴∴m=-2. 11.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是-2和3,則不等式a·f(-2x)>0的解集是　　　　　.  答案:-<x<1 解析:由于f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是-2和3,[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根是-2和3, 因此 則f(x)=x2-x-6, 所以不等式a·f(-2x)>0, 整理為2x2+x-3<0,[來源:] 解之,得-<x<1. 三、解答題 12.若函數(shù)f(x)=2ax2-x-1在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍. 解:當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)是x=-1; 當(dāng)a≠0時(shí),若Δ>0,f(0)·f(1)<0,則a>1; 若Δ=0,即a=-,函數(shù)的零點(diǎn)是x=-2. 所以,a的取值范圍為(1,+∞).[來源:] 13.判斷方程3x-x2=0的負(fù)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),并說明理由. 解:設(shè)f(x)=3x-x2, 因?yàn)閒(-1)=-<0,f(0)=1>0, 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在[-1,0]上是連續(xù)不斷的, 所以函數(shù)f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點(diǎn). 又因?yàn)樵?-∞,0)上,函數(shù)y=3x遞增,y=x2遞減, 所以f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)遞增的. 故f(x)在(-1,0)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn). 因此方程3x-x2=0只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根. 14.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a,b,c∈R,且滿足a>b>c,f(1)=0.[來源:] (1)證明:函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交于不同的兩點(diǎn); (2)若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在[2,3]上的最小值是9,最大值為21,試求a,b的值. (1)證明:令ax2+bx+c=-bx(a≠0), 即ax2+2bx+c=0(a≠0),Δ=4b2-4ac=4(b2-ac). 由f(1)=0知a+b+c=0. 又∵a>b>c,∴a>0,c<0, ∴-ac>0,∴Δ=4(b2-ac)>0, ∴方程ax2+bx+c=-bx有2個(gè)不同的根, 即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交于不同的兩點(diǎn). (2)解:由題意知:F(x)=ax2+2bx+c, ∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=-. 由a+b+c=0知b=-a-c, ∴x=-=1+<1. 又∵a>0,∴F(x)在[2,3]上是增函數(shù), 有解得 四、選做題 1.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x2,若在區(qū)間[-1,3]內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案:C 2.設(shè)函數(shù)f(x)=函數(shù)y=f[f(x)]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　　　　.  答案:2 解析:f[f(x)]=令f[f(x)]=1,得x=1或x=4.故函數(shù)y=f[f(x)]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 3.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2. (1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn); (2)求f(x)>0的解集. 解:f(x)=x3-3x+2=x(x2-1)-2(x-1) =(x-1)[x(x+1)-2]=(x-1)2(x+2). (1)令f(x)=0,得x=-2或x=1,∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x=1或x=-2. (2)由f(x)>0,即(x-1)2(x+2)>0, ∴x+2>0且x≠1,即x>-2且x≠1. 故f(x)>0的解集為{x|x>-2且x≠1}.