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2019-2020年高一數學上冊必修12.5《不等式的證明》教案 一、教學內容分析 有關不等式的證明問題一直是數學中的難點，除一些基本方法外還牽涉到相當多的技巧問題.作為高一的不等式證明重在基本證明思路、方法的介紹，所以教材中也不牽涉過多的技巧問題，主要涉及利用不等式基本性質以及基本不等式來進行證明. 二、教學目標設計 1、掌握用比較法、綜合法和分析法證明不等式的基本思路. 2、能利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明. 3、在證明的過程中，加強不等式性質及基本不等式的應用. 4、代數證明基本能力的提升以及邏輯推理水平的進一步加強。 三、教學重點及難點 重點 利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明. 難點 分析法的基本思路及其表達. 四、教學過程設計 一、比較法 比較法有兩種： （1）比差法：求差與比. （2）比商法：求商與比，要注意討論分母的符號. 例1 求證：（1）. （2）. 證明：（1）因為， 所以，. （2）因為， 所以，. [說明] 本例的幾何意義. （1）的圖像在的下方，如圖所示（A點比B點低1個單位）. （2）的圖像在的圖像上方，如圖所示（A點比B點高）. 例2 設，，求證：.（補充） 證明： 因為，，又，，當且僅當時等號成立， 所以，，當且僅當時等號成立.故 . 另證：因為，，所以，則 .當且僅當時等號成立. 又，，故 .當且僅當時等號成立. [說明] 此例采用了比差和比商兩種方法給出證明，由證明過程體會兩種方法各自的“優(yōu)點”. 二、綜合法 從已知條件出發(fā)，利用各種已知的定理和運算性質作為依據，推導出要證的結論.這種證明方法稱為綜合法. 例3 已知、、均為正數，求證：. 證明： ， 因為、、均為正數，由基本不等式2和不等式性質得： 即，. 當且僅當時等號成立. 所以，不等式成立. 例4 已知、，求證：. 證明：.當且僅當時等號成立.所以不等式成立. 例5 求證：. 證明：因為，由基本不等式得， .當且僅當時等號成立. 所以，不等式成立. [說明] 此例給出了如何利用基本不等式求函數最值的一種方法. 例6 求證：. 證明：一方面， . 當且僅當時等號成立. 另一方面，.當且僅當時等號成立. 所以，，當且僅當等號同時成立. [說明] 利用基本不等式證明此例有一定難度，可適當選用. 三、分析法 從要證的結論出發(fā)，經過適當的變形，分析出使這個結論成立的條件，把證明結論轉化為判定這些條件是否成立的問題，如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以斷定原結論成立.這種證明方法稱為分析法. 分析法也可以如下敘述為： 欲證結論，需先證得， 欲要證得，需先證得， 欲要證得，需先證得， ……………………………， 欲要證得，需先證得. 當成立時，若以上步步可逆，則結論成立.用數學語言表述，必須保證下述過程成立 …，因為成立，所以結論成立. [說明] 分析法的證明過程即是不斷尋找充分條件的過程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用. 例7 求證：. 證明：因為，，則要證成立， 即證成立， 即證成立. 即證成立，即證成立，即證成立. 因為成立，且以上步步可逆，所以，. 例8 已知：，求證：. 證明：要證成立， 即證成立 即證成立， 即證成立， 由成立，且以上步步可逆，故有 . 例9 設、，求證：，并指出等號成立的條件. 證：先證“”. 注意到，，則對于任意、，要證成 即證成立， 即證成立， 即證成立， 由絕對值定義知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等號成立. 再證；“”. 由，，則對于任意、，要證成立， 即證成立， 即證成立， 即證成立， 即證成立， 由絕對值定義知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等號成立； 綜上可得，任意、，不等式成立. 例9證明的不等式對任意的實數、成立，以換得到的不等式，即也成立，此時，右端等號成立，左端等號成立. 以上證得的兩個不等式，是絕對值不等式的重要性質，稱之為 三角不等式 對于任意、， （1），左端等號成立，右端等號成立 （2），左端等號成立，右端等號成立. [說明] 有關三角不等式的教學是講全還是選講其中部分，可適學生的具體情況而定. 例10 已知，，求證：. 證明：由三角不等式可得： .所以，. [說明] 此例為練習2.4（5）中的一題. 四、課堂小結 五、作業(yè)布置 選用練習2.4（4）（5）（6）、習題2.3中的部分練習. 五、教學目標說明 有關不等式的證明可分為兩個課時進行.第一課時為比較法、綜合法；第二課時為分析法. 有關不等式證明問題的教學應側重于基本思路與基本方法的講解，難度不易過高，特別是在證明的技巧性上需嚴格控制，只需對不等式的基本性質以及基本不等式做適當應用即可. 教學中的難點為分析法的講解，一定要慎重.講清思路以及它的理論依據，特別在書寫格式上應提出嚴格的要求，防止學生出現證明過程由結論推至條件的嚴重錯誤. 三種方法介紹完之后，師生應有所歸納與小結，理清證明思路.事實上，一題往往會有多種證法，關鍵在于對題目的分析，選用哪種證法更為合適顯得尤為重要.