《新編高考數(shù)學復習:第九章 :第一節(jié)變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算突破熱點題型》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新編高考數(shù)學復習:第九章 :第一節(jié)變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算突破熱點題型(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編高考數(shù)學復習資料
第一節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算
[來源:]
考點一
導數(shù)的計算
[例1] 求下列函數(shù)的導數(shù):[來源:]
(1)y=(1-);(2)y=;
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e;
(5)y=.
[自主解答] (1)∵y=(1-)=-=x--x,
∴y′=(x-)′-(x)′=-x--x-.
(2)y′=′===.
(3)y′=′===.
(4)y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3x(ln 3)·ex+3xex-2xln 2=(ln 3+1)
2、·(3e)x-2xln 2.
(5)y′=
==.
【互動探究】
若將本例(3)中“tan x”改為“sin ”,應如何求解?
解:∵y=sin =-sin cos =-sin x,∴y′=-cos x.
【方法規(guī)律】
導數(shù)的計算方法
(1)連乘積形式:先展開化為多項式的形式,再求導.
(2)分式形式:觀察函數(shù)的結構特征,先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導.
(3)對數(shù)形式:先化為和、差的形式,再求導.
(4)根式形式:先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式,再求導.
(5)三角形式:先利用三角函數(shù)公式轉化為和或差的形式,再求導.
(6)復合函數(shù):確定復合關系,由
3、外向內(nèi)逐層求導.
求下列函數(shù)的導數(shù):
(1)y=;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=+;(4)y=;(5)y=+e2x.
解:(1)∵y==x-+x3+,
y′=(x-)′+(x3)′+(x-2sin x)′=-x-+3x2-2x-3sin x+x-2cos x.
(2)∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.
(3)∵y=+=,∴y′=′==.
(4)∵y==cos x-sin x,∴y′=-sin x-cos x.
(5)y′=(3-x)-(3-x)′+e2x(2x)′=-(3-x)-+2e2x.
4、
[例2] (1)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x,則f′(1)=( )
A.-e B.-1 C.1 D.e
(2)等比數(shù)列{an}中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),則f′(0)=( )
A.26 B.29 C.212 D.215
(3)(2013·江西高考)設函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導,且f(ex)=x+ex,則f′(1)=________.
[自主解答] (1)∵f(x)=2xf′(1)+ln x,∴f′(x)=
5、′+(ln x)′=2f′(1)+,
∴f′(1)=2f′(1)+1,即f′(1)=-1.
(2)因為f′(x)=x′·+′·x=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+′·x,所以f′(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+0=a1a2…a8.因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f′(0)=84=212.
(3)令t=ex,故x=ln t,所以f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x,所以f′(x)=+1,所以f′(1)=2.
[答案] (1)B (2)C (3)2
【方法規(guī)律】
導數(shù)運算的兩個技巧
(1)求函數(shù)的導數(shù)
6、要準確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運算法則求導數(shù).
(2)在求導過程中,要仔細分析函數(shù)解析式的結構特征,緊扣法則,記準公式,預防犯運算錯誤.
1.若函數(shù)f(x)=cos x+2xf′,則f與f的大小關系是( )
A.f=f B.f>f[來源:]
C.ff.
2.(2014·臺州模擬)已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)
7、是fn(x)的導函數(shù),即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,則f2 014(x)等于( )
A.-sin x-cos x B.sin x-cos x
C.-sin x+cos x D.sin x+cos x
解析:選C f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=f1′(x)=(sin x+cos x)′=cos x-sin x,
f3(x)=f2′(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x,f4(x)=f3′(x)=sin x-cos x,
f5(x)=f4′(x)=sin
8、 x+cos x.故fn(x)是以4為周期的周期函數(shù),又2 014=503×4+2,
∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x+cos x.
高頻考點
考點二 導數(shù)的幾何意義
1.導數(shù)的幾何意義是每年高考的必考內(nèi)容,考查題型既有選擇題、填空題,也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中,難度偏小,屬中低檔題.
2.高考對導數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個命題角度:
(1)已知切點求切線方程;
(2)已知切線方程(或斜率)求切點或曲線方程;
(3)已知曲線求切線傾斜角的取值范圍.
[例3] (1)(2012·新課標全國卷)曲線y=x(3lnx+1)在點(1,1)處的切
9、線方程為________________.
(2)(2013·廣東高考)若曲線y=ax2-ln x在點(1,a)處的切線平行于x軸,則a=________.
(3)(2013·江西高考)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標原點,則α=________.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(4)(2014·南京模擬)已知點P在曲線y=上,α為曲線在點P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是________.
[自主解答] (1)y′=3ln x+1+x·=3ln x+4,k=y(tǒng)′|x=1=4,故切線方程為y-1=4(x-1),即y=4x-3.
(2)∵f(x)=ax2-ln x,則f
10、′(x)=2ax-,∴f′(1)=2a-1=0,得a=.
(3)求導得y′=αxα-1,切線的斜率k=α,由點斜式得切線方程為y-2=α(x-1).
∵切線經(jīng)過原點(0,0),∴-2=α×(-1),α=2.(4)∵y=,∴y′===.∵ex>0,∴ex+≥2,∴y′∈[-1,0),∴tan α∈[-1,0).又α∈[0,π),∴α∈.
[答案] (1)y=4x-3 (2) (3)2 (4)
與導數(shù)幾何意義有關問題的常見類型及解題策略
(1)已知切點求切線方程.解決此類問題的步驟為:①求出函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的導數(shù),即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率
11、;
②由點斜式求得切線方程為y-y0=f′(x0)·(x-x0).
(2)已知斜率求切點.已知斜率k,求切點(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)求切線傾斜角的取值范圍.先求導數(shù)的取值范圍,即確定切線斜率的取值范圍,然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決.
1.已知直線y=kx+b與曲線y=x3+ax+1相切于點(2,3),則b的值為( )
A.-3 B.9 C.-15 D.-7
解析:選C 將點(2,3)分別代入曲線y=x3+ax+1和直線y=kx+b,得a=-3,2k+b=3.又k=y(tǒng)′|x=2=(3x2-3)|x=2=9,∴b=3
12、-2k=3-18=-15.
2.已知a為常數(shù),若曲線y=ax2+3x-ln x存在與直線x+y-1=0垂直的切線,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選A 由題意知曲線上存在某點的導數(shù)為1,所以y′=2ax+3-=1有正根,
即2ax2+2x-1=0有正根.當a≥0時,顯然滿足題意;當a<0時,需滿足Δ≥0,解得-≤a<0.綜上,a≥-.
3.若點P是曲線y=x2-ln x上任意一點,則點P到直線y=x-2的最小距離為________.
解析:設P(x0,y0)到直線y=x-2的距離最小,則y
13、′|x=x0=2x0-=1,得x0=1或x0=-(舍).∴P點坐標為(1,1).∴P到直線y=x-2的距離d==.
答案:
————————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1個區(qū)別——“過某點”與“在某點”的區(qū)別
曲線y=f(x)“在點P(x0,y0)處的切線”與“過點P(x0,y0)的切線”的區(qū)別:前者P(x0,y0)為切點,而后者P(x0,y0)不一定為切點.[來源:]
4個注意點——導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題
(1)利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號,防止與乘法公式混淆.
(2)利用導數(shù)公式求導數(shù)時,只要根據(jù)幾種基本函數(shù)的定義,判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù),再套用相應的導數(shù)公式求解,切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯.
(3)直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質,直線與曲線只有一個公共點,直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點.
(4)曲線未必在其切線的同側,如曲線y=x3在其過(0,0)點的切線y=0的兩側.