新編人教版精品教學(xué)資料 第2課時　補集及綜合應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解全集、補集的概念(難點).2.準(zhǔn)確翻譯和使用補集符號和Venn圖(重點).3.會求補集，并能解決一些集合綜合運算的問題(重點)． 預(yù)習(xí)教材P10－P11，完成下面問題： 知識點　補集的概念 (1)全集： ①定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集． ②記法：全集通常記作U. (2)補集 文字語言 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA 符號語言 ?UA＝{x|x∈U且x?A} 圖形語言 【預(yù)習(xí)評價】 (1)設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，則?U(A∪B)＝________. (2)已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若?AB＝{5}，則實數(shù)m＝________. 解析　(1)∵A∪B＝{1,2,3,4}， ∴?U(A∪B)＝{5}． (2)由?AB＝{5}知5∈A且5?B， 即5∈{3,4，m}， 故m＝5. 答案　(1){5}　(2)5 題型一　補集的基本運算 【例1】　(1)設(shè)集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，則?UM＝(　　) A．{x|0≤x≤2}　　　 B．{x|0<x<2} C．{x|x<0或x>2}　　 D．{x|x≤0或x≥2} (2)已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，則實數(shù)a＝________. 解析　(1)如圖，在數(shù)軸上表示出集合M，可知?UM＝{x|0≤x≤2}． (2)由題意可知解得a＝2. 答案　(1)A　(2)2 規(guī)律方法　求補集的方法 (1)列舉法表示：從全集U中去掉屬于集合A的所有元素后，由所有余下的元素組成的集合． (2)由不等式構(gòu)成的無限集表示：借助數(shù)軸，取全集U中集合A以外的所有元素組成的集合． 【訓(xùn)練1】　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，則?UA＝________. (2)設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實數(shù)m＝________. 解析　(1)借助數(shù)軸得?UA＝{x|x＝－3或x>4}． (2)∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的兩個根，∴m＝－3. 答案　(1){x|x＝－3或x>4}　(2)－3 題型二　集合交、并、補的綜合運算 【例2】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)． 解　利用數(shù)軸，分別表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，再求解． 則?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ?UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}． 所以A∩B＝{x|－2<x≤2}； (?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}； A∩(?UB)＝{x|2<x<3}． 規(guī)律方法　1.求解與不等式有關(guān)的集合問題的方法 解決與不等式有關(guān)的集合問題時，畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時端點的值是否能取到． 2．求解集合混合運算問題的一般順序 解決集合的混合運算時，一般先運算括號內(nèi)的部分，再計算其他部分． 【訓(xùn)練2】　已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}． 求：(1)(?SA)∩(?SB)；(2)?S(A∪B)；(3)(?SA)∪(?SB)；(4)?S(A∩B)． 解　(1)如圖所示，可得 A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ?SA＝{x|1<x<2或5≤x≤7}， ?SB＝{x|1<x<3}∪{7}． 由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝{x|1<x<2}∪{7}． (2)?S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}． (3)(?SA)∪(?SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3或5≤x≤7}． (4)?S(A∩B)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3或5≤x≤7}. 互動探究 　題型三　根據(jù)補集的運算求參數(shù)的值或范圍 【探究1】　如果a∈?UB，那么元素a與集合B有什么關(guān)系？“a∈A∩(?UB)”意味著什么？ 解　如果a∈?UB，那a?B，“a∈A∩(?UB)”意味著a∈A且a?B. 【探究2】　是否存在元素a，使得a∈A且a∈?UA？若集合A＝{x|－2<x≤3}，則?RA是什么？ 解　不存在a，使得a∈A且a∈?UA；若A＝{x|－2<x≤3}，則?RA＝{x|x≤－2或x>3}． 【探究3】　(1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，滿足B∩(?UA)＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求實數(shù)a，b的值． (2)已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A?RB，求a的取值范圍． 解　(1)∵B∩(?UA)＝{2}，∴2∈B，但2?A. ∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B. ∴解得∴a，b的值分別為，－. (2)?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?. ∵A?RB， ∴分A＝?和A≠?兩種情況討論． ①若A＝?，此時有2a－2≥a，∴a≥2. ②若A≠?，則有或∴a≤1. 綜上所述，a≤1或a≥2. 規(guī)律方法　由集合的補集求解參數(shù)的方法 (1)有限集：由補集求參數(shù)問題，若集合中元素個數(shù)有限時，可利用補集定義并結(jié)合集合知識求解． (2)無限集：與集合交、并、補運算有關(guān)的求參數(shù)問題，若集合中元素有無限個時，一般利用數(shù)軸分析法求解． 【訓(xùn)練3】　設(shè)全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求實數(shù)a的值． 解　∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A. ∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4. 當(dāng)a＝2時，|2a－1|＝3≠5，此時A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合題意． 當(dāng)a＝－4時，|2a－1|＝9，此時A＝{9,2}，U＝{2,3,5}， 不滿足條件?UA＝{5}，故a＝－4舍去． 綜上知a＝2. 課堂達標(biāo) 1．設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，則?UA＝(　　) A．{1,2}　　　 B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5}　　 D．? 解析　根據(jù)補集的定義計算．∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?UA＝{3,4,5}． 答案　B 2．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，則A∩(?UB)＝(　　) A．{x|1≤x<2}　　　B．{x|x<2} C．{x|x≥5}　　 D．{x|1<x<2} 解析　?UB＝{x|x<2或x≥5}，A∩(?UB)＝{x|1<x<2}． 答案　D 3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，則(?RA)∩B＝(　　) A．{－2，－1}　　　B．{－2} C．{－1,0,1}　　 D．{0,1} 解析　因為集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，則(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}． 答案　A 4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，則a＝________. 解析　∵A＝{x|1≤x<a}，?UA＝{x|2≤x≤5}，∴A∪(?UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(?UA)＝?，因此a＝2. 答案　2 5．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)． 解　將集合U，A，B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示， 則?UA＝{x|－1≤x≤3}； ?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}； 法一　(?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}． 法二　∵A∪B＝{x|－5≤x<1}， ∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}． 課堂小結(jié) 1．補集定義的理解 (1)補集是相對于全集而存在的，研究一個集合的補集之前一定要明確其所對應(yīng)的全集．比如，當(dāng)研究數(shù)的運算性質(zhì)時，我們常常將實數(shù)集R當(dāng)做全集． (2)補集既是集合之間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運算，還是一種數(shù)學(xué)思想． (3)從符號角度來看，若x∈U，AU，則x∈A和x∈?UA二者必居其一． 2．與集合的交、并、補運算有關(guān)的求參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關(guān)系時不要忘掉空集的情形． 3．不等式中的等號在補集中能否取到，要引起重視，還要注意補集是全集的子集． 4．補集的相關(guān)性質(zhì) (1)A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?. (2)?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U. (3)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)， ?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．