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1、
第75練 古典概型與幾何概型
訓練目標
(1)理解古典概型的概念、會求古典概型的概率;(2)會利用幾何概型的計算公式求幾何概型的概率.
訓練題型
(1)求簡單古典概型的概率;(2)與其他知識交匯求古典概型的概率及古典概型的應用;(3)長度型、面積型、體積型幾何概型;(4)幾何概型的應用.
解題策略
對于古典概型:讀懂題目,抓住解決問題的實質,即確定基本事件個數(shù)及所求事件包含基本事件的個數(shù).對于幾何概型:(1)理解并會應用計算公式;(2)利用圖形的幾何性質求面積、體積,復雜圖形可利用分割法、補形法.
一、選擇題
1.(20xx·亳州質檢)已知集合M={1,2,3
2、,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一點,O為坐標原點,則直線OA與y=x2+1有交點的概率是( )
A. B.
C. D.
2.(20xx·青島一模)如圖所示,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形,若直角三角形中較小的銳角θ=.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內隨機地投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內的概率是( )
A. B.
C. D.
3.(20xx·長沙調研)如圖,矩形OABC內的陰影部分由曲線f(x)=sin x(x∈(0,π))及直線x=a(a∈(0,π))與x軸圍成,向矩形OABC內隨機投擲一點,若該點落在陰影部分的概率為,
3、則a的值為( )
A. B.
C. D.
4.已知橢圓+y2=1的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,在長軸A1A2上任取一點M,過M作A1A2的垂線交橢圓的于點P,則使得·<0的點M的概率為( )
A. B.
C. D.
5.拋擲兩枚均勻的骰子,得到的點數(shù)分別為a,b,那么直線+=1的斜率k≥-的概率為( )
A. B.
C. D.
6.我們把日均收看體育節(jié)目的時間超過50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”.已知5名“超級體育迷”中有2名女性,若從中任選2名,則至少有1名女性的概率為( )
A. B.
C. D.
7.如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1
4、,0),且點C與點D在函數(shù)f(x)=的圖象上.若在矩形ABCD內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于( )
A. B.
C. D.
8.(20xx·昆明一模)小明從某書店購買5本不同的教輔資料,其中語文2本,數(shù)學2本,物理1本.若將這5本書隨機排并擺放在書架的同一層上,則同一科目的書都不相鄰的概率是( )
A. B.
C. D.
二、填空題
9.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù),則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________.
10.正月十六登高是“中國石刻藝術之鄉(xiāng)”、“中國民間文化藝術之鄉(xiāng)”四川省巴中市沿襲千年的獨特民俗.登高節(jié)前夕,李大
5、伯在家門前的樹上掛了兩串喜慶彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電后的4秒內任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是________.
11.已知平面區(qū)域D1={(x,y)||x|<2,|y|<2},D2={(x,y)|kx-y+2<0}.在區(qū)域D1內隨機選取一點M,若點M恰好取自區(qū)域D2的概率為p,且0
6、
1.C [易知過點(0,0)與y=x2+1相切的直線為y=2x(斜率小于0的情況無需考慮),集合N中共有16個元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4個,由古典概型知概率為=.]
2.A [易知小正方形的邊長為-1,故小正方形的面積為S1=(-1)2=4-2,大正方形的面積為S=2×2=4,故飛鏢落在小正方形內的概率P===.]
3.B [由題意知,陰影部分的面積為
sin xdx=(-cosx)=-cosa+cos 0=1-cosa,根據(jù)幾何概型的概率計算公式知
=,即cosa=-,而a∈(0,π),故a=,故選B.]
4.D [設
7、P(x,y),則·<0?(--x,-y)·(-x,-y)<0?x2-3+y2<0?x2-3+1-<0?|x|<,故所求的概率為=.]
5.D [記a,b的取值為數(shù)對(a,b),由題意知(a,b)的所有可能的取值有36種.由直線+=1的斜率k=-≥-,知≤,那么滿足題意的(a,b)可能的取值為(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9種,所以所求概率為=.]
6.A [用ai表示男性,其中i=1,2,3,bj表示女性,其中j=1,2.記“選出的2名全都是男性”為事件A,“選出的2名有1名男性1名女性”為事件B,“選出的2名
8、全都是女性”為事件C,則事件A包含(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),共3個基本事件,事件B包含(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6個基本事件,事件C包含(b1,b2),共1個基本事件.事件A,B,C彼此互斥,事件至少有1名女性包含事件B和C,所以所求事件的概率為=.]
7.B [依題意得,點C的坐標為(1,2),所以點D的坐標為(-2,2),所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD=3×2=6,陰影部分的面積S陰影=×3×1=,根據(jù)幾何概型的概率求解公式,得所求的概率P===,故選B.]
8.B [語文、數(shù)學只有一科
9、的兩本書相鄰,有2AAA=48(種)擺放方法;語文、數(shù)學兩科的兩本書都相鄰,有AAA=24(種)擺放方法;而五本不同的書排成一排總共有A=120(種)擺放方法.故所求概率為1-=.故選B.]
9.
解析 十個數(shù)中任取七個不同的數(shù)共有C種情況,七個數(shù)的中位數(shù)為6,那么6只能處在中間位置,有C種情況,于是所求概率P==.
10.
解析 設兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x,y,∴全部基本事件構成的區(qū)域為
符合題意的區(qū)域為
如圖所示,由幾何概型可知,所求概率為P=1-=.
11.[-1,0)∪(0,1]
解析 如圖所示,平面區(qū)域D1是由邊長等于4的正方形內部的點構成的,其面積為16,直線kx-y+2=0恒過定點P(0,2).由于原點必在區(qū)域D2外,且圖中每個陰影三角形的面積與大正方形的面積之比均為,故當k>0時,k∈(0,1];當k<0時,k∈[-1,0).從而k的取值范圍為[-1,0)∪(0,1].
12.
解析 若點P到原點的距離小于1,則,所以符合條件的點P構成的區(qū)域如圖中陰影部分所示,所以點P到原點的距離小于1的概率為=.