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1、
第五十六課時 曲線與方程
課前預習案
考綱要求
1.理解坐標法研究解析幾何問題的基本思想,會根據條件求曲線的軌跡方程.
2.掌握常用的幾種求軌跡方程的方法.
基礎知識梳理
1. 曲線與方程
在平面直角坐標系中,如果曲線C與方程F(x,y)=0之間具有如下關系:
(1)曲線C上點的坐標都是 .
(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都 .那么這個方程叫做 ,這條曲線叫做 .
2. 求動點的軌跡方程的一般步驟
(1)建系——建立
2、適當的坐標系.
(2)設點——設軌跡上的任一點P(x,y).
(3)列式——列出動點P所滿足的關系式.
(4)代換——依條件式的特點,選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x,y的方程式,并化簡.
(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.
3. 兩曲線的交點
(1)由曲線方程的定義可知,兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共解,即兩個曲線方程組成的方程組的實數解;反過來,方程組有幾組解,兩條曲線就有幾個交點;方程組無解,兩條曲線就沒有交點.
(2)兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數解.可見,求曲線的交點問題,就是求由它們的方程所組成的方程組的實
3、數解問題.
4.求軌跡方程的常用方法
(1)直接法:直接利用條件建立x,y之間的關系F(x,y)=0;
(2)待定系數法:已知所求曲線的類型,求曲線方程——先根據條件設出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數;
(3)定義法:先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程;
(4)代入法(相關點法):動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x0,y0)的變化而變化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲線上,則可先用x,y的代數式表示x0,y0,再將x0,y0代入已知曲線得要求的軌跡方程;
(5)參數法:當動點P(x,y)坐標之間的關系不易直接找到,也沒有相關動點
4、可用時,可考慮將x,y均用一中間變量(參數)表示,得參數方程,再消去參數得普通方程.
預習自測
1. 已知點A(-2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足·=x2-6,則點P的軌跡方程是__________.
2. 已知兩定點A(-2,0)、B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積為________.
3. 方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲線是 ( )
A.兩條直線 B.兩條射線
C.兩條線段 D.一條直線和一條射線
4. 已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是
5、線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則Q點的軌跡方程是 ( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0
C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0
5. 若點P到直線x=-1的距離比它到點(2,0)的距離小1,則點P的軌跡為 ( )
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
第五十六課時 曲線與方程(課堂探究案)
典型例題
考點1 直接法求軌跡方程
【典例1】已知M(4,0),N(1,0),若動點P滿足·=6||.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)設Q是曲線C上任意一點,求Q到直線l:x+
6、2y-12=0的距離的最小值.
【變式1】 如圖所示,過點P(2,4)作互相垂直的直線l1,l2,若l1交x
軸于A,l2交y軸于B,求線段AB中點M的軌跡方程.
考點2 定義法求軌跡方程
【典例2】已知兩個定圓O1和O2,它們的半徑分別是1和2,且|O1O2|=4.動圓M與圓O1內切,又與圓O2外切,建立適當的坐標系,求動圓圓心M的軌跡方程,并說明軌跡是何種曲線.
【變式2】如圖,點A為圓形紙片內不同于圓心C的定點,動點
M在圓周上,將紙片折起,使點M與點A重合,設折痕m交線
段CM于點N.現將圓形紙片放在平面直角坐標系xO
7、y中,設圓C:
(x+1)2+y2=4a2 (a>1),A(1,0),記點N的軌跡為曲線E.
(1)證明曲線E是橢圓,并寫出當a=2時該橢圓的標準方程;
(2)設直線l過點C和橢圓E的上頂點B,點A關于直線l的對稱點為點Q,若橢圓E的離心率e∈,求點Q的縱坐標的取值范圍.
考點3 相關點法求軌跡方程
【典例3】設F(1,0),M點在x軸上,P點在y軸上,且=2,⊥,當點P在y軸上運動時,求點N的軌跡方程.
【變式3】已知長為1+的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動,P是AB上一點,且=,求點P的軌跡C的方程.
當堂檢測
1. 方程(x2+y2-4
8、)=0的曲線形狀是 ( )
2. △ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),△ABC的內切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 (x>3) D.-=1 (x>4)
3. 平面直角坐標系中,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足=λ1+λ2(O為原點),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,則點C的軌跡是 ( )
A.直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線
4. 動點P為橢圓+=1 (a>b>0)上異于橢圓頂點(±a,0)的一
9、點,F1、F2為橢圓的兩個焦點,動圓C與線段F1P、F1F2的延長線及線段PF2相切,則圓心C的軌跡為 ( )
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.直線
第五十六課時 曲線與方程
課后拓展案
A組全員必做題
1. 已知點M(-3,0),N(3,0),B(1,0),動圓C與直線MN切于點B,過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P,則P點的軌跡方程為 ( )
A.x2-=1 (x>1) B.x2-=1 (x<-1)
C.x2+=1 (x>0) D.x2-=1 (x>1)
2. 有一動圓P恒過定點F(a,0)
10、(a>0)且與y軸相交于點A、B,若△ABP為正三角形,則點P的軌跡為 ( )
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.圓
3. 點P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點,過焦點作∠F1PF2外角平分線的垂線,垂足為M,則點M的軌跡是 ( )
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
4. P是橢圓+=1上的任意一點,F1、F2是它的兩個焦點,O為坐標原點,=+,則動點Q的軌跡方程是______________.
5. 已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角
11、頂點P的軌跡方程是______________.
B組提高選做題
1. 過橢圓+=1 (a>b>0)上任意一點M作x軸的垂線,垂足為N,則線段MN中點的軌跡方程是____________.
2. 如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,點M在AB上,且
AM=AB,點P在平面ABCD上,且動點P到直線A1D1的距離的平
方與P到點M的距離的平方差為1,在平面直角坐標系xAy中,動點
P的軌跡方程是____________.
3.已知點A(1,0),直線l:y=2x-4,點R是直線l上的一點,若=,求點P的軌跡方程.
4.如圖,設P是圓x2+y2
12、=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且|MD|=|PD|.
(1)當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程;
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度.
參考答案
預習自測
1.【答案】y2=x
【解析】=(3-x,-y),=(-2-x,-y),
∴·=(3-x)(-2-x)+y2=x2-x-6+y2=x2-6,∴y2=x.
2.【答案】 4π
【解析】設P(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2,
∴3x2+3y2-12x=0,即x2+y2-4x=0.
∴P的軌跡為以(2,0)為圓心,半徑為2的圓.即軌跡所包圍的面積等于4π.
13、3.【答案】D
【解析】原方程可化為或-1=0,
即2x+3y-1=0 (x≥3)或x=4,故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線.
4.【答案】D
【解析】由題意知,M為PQ中點,設Q(x,y),則P為(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.
5.【答案】D
【解析】依題意,點P到直線x=-2的距離等于它到點(2,0)的距離,故點P的軌跡是拋物線.
典型例題
【典例1】 (1)設動點P(x,y),
則=(x-4,y),=(-3,0),=(1-x,-y),
由已知得-3(x-4)=6,
化簡得3x2+4y2=12,即+=1.
∴點P的軌跡是橢圓C:
14、+=1.
(2)由幾何性質意義知,l與平行于l的橢圓C的切線l′的距離等于Q與l的距離的最小值.設l′:x+2y+D=0.將其代入橢圓方程消去x,化簡得:16y2+12Dy+3(D2-4)=0.
∴Δ=144D2-192(D2-4)=0?D=±4,
l′和l的距離的最小值為.
∴點Q與l的距離的最小值為.
【變式1】 設點M的坐標為(x,y),
∵M是線段AB的中點,
∴A點的坐標為(2x,0),B點的坐標為(0,2y).
∴=(2x-2,-4),=(-2,2y-4).
由已知·=0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0,
即x+2y-5=0.
∴線段AB中點M的軌跡方
15、程為x+2y-5=0.
【典例2】如圖所示,以O1O2的中點O為原點,O1O2所在直線為x
軸建立平面直角坐標系.
由|O1O2|=4,得O1(-2,0)、O2(2,0).設動圓M的半徑為r,則
由動圓M與圓O1內切,有|MO1|=r-1;
由動圓M與圓O2外切,有|MO2|=r+2.
∴|MO2|-|MO1|=3.∴點M的軌跡是以O1、O2為焦點,實軸長為3的雙曲線的左支.
∴a=,c=2,∴b2=c2-a2=.
∴點M的軌跡方程為-=1 (x≤-).
【變式2】(1)證明 依題意,直線m為線段AM的垂直平分線,
∴|NA|=|NM|.
∴|NC|+|NA|=|NC|+
16、|NM|=|CM|=2a>2,
∴N的軌跡是以C、A為焦點,長軸長為2a,焦距為2的橢圓.
當a=2時,長軸長為2a=4,焦距為2c=2,
∴b2=a2-c2=3.
∴橢圓的標準方程為+=1.
(2)解 設橢圓的標準方程為+=1 (a>b>0).
由(1)知:a2-b2=1.又C(-1,0),B(0,b),
∴直線l的方程為+=1.即bx-y+b=0.
設Q(x,y),因為點Q與點A(1,0)關于直線l對稱,
∴ 消去x得y=.
∵離心率e∈,∴≤e2≤,即≤≤.∴≤a2≤4.
∴≤b2+1≤4,即≤b≤,
∵y==≤2,當且僅當b=1時取等號.
又當b=時,y=;當
17、b=時,y=,∴≤y≤2.
∴點Q的縱坐標的取值范圍是[,2].
【典例3】設M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),
∴(x0,-y0)·(1,-y0)=0,∴x0+y=0.
由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),∴,即.
∴-x+=0,即y2=4x.
故所求的點N的軌跡方程是y2=4x.
【變式3】設A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),=,又=(x-x0,y),=(-x,y0-y),
所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.
因為|AB|=1+,即x+y=(1+)2,所以2
18、+[(1+)y]2=(1+)2,
化簡得+y2=1.∴點P的軌跡方程為+y2=1.
當堂檢測
1. 【答案】 C
【解析】 由題意可得x+y+1=0或它表示直線x+y+1=0和圓x2+y2-4=0在直線x+y+1=0右上方的部分.
2.【答案】 C
【解析】如圖,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根據雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲
線的右支,方程為-=1 (x>3).
3. 【答案】 A
【解析】 設C(x,y),則=(x,y),=(3,1),=(-1,3),
∵=λ1+λ
19、2,∴,又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一條直線.
4. 【答案】 D
【解析】 如圖所示,設三個切點分別為M、N、Q.
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|=
2a,
∴|F2N|=a-c,∴N點是橢圓的右頂點,
∴CN⊥x軸,∴圓心C的軌跡為直線.
A組全員必做題
1.【答案】 A
【解析】 設另兩個切點為E、F,如圖所示,則|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,
|NF|=|NB|.
從而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,所以P的
20、
軌跡是以M、N為焦點,實軸長為2的雙曲線的右支.a=1,c=3,
∴b2=8.故方程為x2-=1 (x>1).
2.【答案】 B
【解析】 設P(x,y),動圓P的半徑為R,由于△ABP為正三角形,
∴P到y(tǒng)軸的距離d=R,即|x|=R.
而R=|PF|=,∴|x|=·.
整理得:(x+3a)2-3y2=12a2,即-=1.
∴點P的軌跡為雙曲線.
3.【答案】 A
【解析】 如圖,延長F2M交F1P延長線于N.
∵|PF2|=|PN|,∴|F1N|=2a.
連接OM,則在△NF1F2中,OM為中位線,
則|OM|=|F1N|=a.∴M的軌跡是圓.
4. 【答案】
21、+=1
【解析】 由=+,又+==2=-2,
設Q(x,y),則=-=-(x,y)=,
即P點坐標為,又P在橢圓上,
則有+=1,即+=1.
5.【答案】 x2+y2=4 (x≠±2)
【解析】 設P(x,y),因為△MPN為直角三角形,
∴|MP|2+|NP|2=|MN|2,
∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.
∵M,N,P不共線,∴x≠±2,
∴軌跡方程為x2+y2=4 (x≠±2).
B組提高選做題
1. 【答案】?。?
【解析】 設MN的中點P(x,y),則點M(x,2y)在橢圓上,
∴+=1,即+=1.
2.【答案
22、】 y2=x-
【解析】 過P作PQ⊥AD于Q,再過Q作QH⊥A1D1于H,連接PH、
PM,可證PH⊥A1D1,設P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1,
得x2+1-=1,化簡得y2=x-.
3.解 ∵=,∴R,A,P三點共線,且A為RP的中點,
設P(x,y),R(x1,y1),則由=,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),則,
即x1=2-x,y1=-y,將其代入直線y=2x-4中,得y=2x,
∴點P的軌跡方程為y=2x.
4.解 (1)設M的坐標為(x,y),P的坐標為(xP,yP),
由已知得∵P在圓上,
∴x2+(y)2=25,即軌跡C的方程為+=1.
(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3),
設直線與C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線方程y=(x-3)代入C的方程,得
+=1,即x2-3x-8=0.
∴x1=,x2=.
∴線段AB的長度為|AB|=
===.