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2、 1 第六章　數(shù)　列 學案28　數(shù)列的概念與簡單表示法 導學目標： 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． 自主梳理 1．數(shù)列的定義 按________________著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的______________都叫這個數(shù)列的項；在函數(shù)意義下，數(shù)列是____________________

3、____的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：______________________，簡記為{an}，其中an是數(shù)列的第____項． 2．通項公式： 如果數(shù)列{an}的______與____之間的關(guān)系可以____________來表示，那么這個式子叫做數(shù)列的通項公式．但并非每個數(shù)列都有通項公式，也并非都是唯一的． 3．數(shù)列常用表示法有：_________、________、________. 4．數(shù)列的分類： 數(shù)列按項數(shù)來分，分為____________、__________；按項的增減規(guī)律分為________、________、__________和__________．遞增數(shù)列?an＋

4、1______an；遞減數(shù)列?an＋1______an；常數(shù)列?an＋1______an. 5．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系： 已知Sn，則an＝ 自我檢測 1．(20xx·汕頭月考)設(shè)an＝－n2＋10n＋11，則數(shù)列{an}從首項到第幾項的和最大 (　　) A．10 B．11 C．10或11 D．12 2．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于 (　　) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21 3．(20xx·龍巖月考)已知數(shù)列－1，，－，，…按此規(guī)律，則這個數(shù)列的通項公式是(　

5、　) A．a(chǎn)n＝(－1)n· B．a(chǎn)n＝(－1)n· C．a(chǎn)n＝(－1)n· D．a(chǎn)n＝(－1)n· 4．下列對數(shù)列的理解： ①數(shù)列可以看成一個定義在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函數(shù)； ②數(shù)列的項數(shù)是有限的； ③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點； ④數(shù)列的通項公式是唯一的． 其中說法正確的序號是 (　　) A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 5．(20xx·湖南長郡中學月考)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋

6、(n∈N*)，則該數(shù)列的通項an＝______. 探究點一　由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項 例1　寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)： (1)，，，，，…； (2)，－2，，－8，，…. 變式遷移1　寫出下列數(shù)列的一個通項公式： (1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…； (3)，，2，，…；(4)1,0,1,0，…. 探究點二　由遞推公式求數(shù)列的通項 例2　根據(jù)下列條件，寫出該數(shù)列的通項公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1 (n≥2)． 變式遷移

7、2　根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an； (3)a1＝2，an＋1＝an＋ln. 探究點三　由an與Sn的關(guān)系求an 例3　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項公式． 變式遷移3　(20xx·杭州月考)(1)已知{an}的前n項和Sn＝3n＋b，求{an}的通項公式． (2)已知在正項數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和且2＝an＋1，求an. 函數(shù)思想的應用 例　(12分)已知數(shù)列{an}的通項an＝(n＋1

8、)n (n∈N*)，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項？若有，求出最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由． 【答題模板】 解　方法一　令[4分] ??，∴n＝9或n＝10時，an最大，[10分] 即數(shù)列{an}有最大項，此時n＝9或n＝10.[12分] 方法二　∵an＋1－an＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n ＝n·，[2分] 當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，[10分] ∴數(shù)列{an}中有最大

9、項，為第9、10項．[12分] 【突破思維障礙】 有關(guān)數(shù)列的最大項、最小項，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用①作差法，②作商法，③圖象法．求最大項時也可用an滿足；若求最小項，則用an滿足. 數(shù)列實質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值． 【易錯點剖析】 本題解題過程中易出現(xiàn)只解出a9這一項，而忽視了a9＝a10，從而導致漏解． 1．數(shù)列的遞推公式是研究的項與項之間的關(guān)系，而通項公式則是研究的項an與項數(shù)n的關(guān)系． 2．求數(shù)列的通項公式是本節(jié)的重點，主要掌握三種方法：(1)由數(shù)列的前幾項歸納出一個通項公式，關(guān)鍵是善于觀察； (2)數(shù)列{

10、an}的前n項和Sn與數(shù)列{an}的通項公式an的關(guān)系，要注意驗證能否統(tǒng)一到一個式子中； (3)由遞推公式求通項公式，常用方法有累加、累乘． 3．本節(jié)易錯點是利用Sn求an時，忘記討論n＝1的情況． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx·安徽)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為 (　　) A．15 B．16 C．49 D．64 2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝，那么這個數(shù)列是 (　　) A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C

11、．擺動數(shù)列 D．常數(shù)列 3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于 (　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 4．(20xx·煙臺模擬)數(shù)列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，則a6等于 (　　) A．13 B. C．11 D. 5．數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為 (　　) A．5 B. C. D. 題號 1 2 3 4 5 答案

12、 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．數(shù)列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 010的值為________． 7．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且有Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項an＝__________________. 8．(20xx·安慶月考)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 …　…　…　…　…　… 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n (n≥3)行從左至右的第3個數(shù)是____________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)寫出下列各數(shù)列的一個通項公式． (1)1，2

13、，3，4，…； (2)－1，，－，，－，. 10．(12分)由下列數(shù)列{an}遞推公式求數(shù)列{an}的通項公式： (1)a1＝1，an－an－1＝n (n≥2)； (2)a1＝1，＝ (n≥2)； (3)a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)． 11．(14分)(2009·安徽)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)設(shè)cn＝a·bn，證明：當且僅當n≥3時，cn＋1

14、或它的子集)a1，a2，a3，…，an，…　n　 2.第n項　n　用一個公式　3.解析法(通項公式或遞推公式)　列表法　圖象法　4.有窮數(shù)列　無窮數(shù)列　遞增數(shù)列　遞減數(shù)列　擺動數(shù)列　常數(shù)列 >　<　＝　5.S1　Sn－Sn－1 自我檢測 1．C　2.C　3.C　4.C 5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，要使用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求； (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊涵著“從特殊到一般”的思想，得出的結(jié)論不一定可靠，在解答題中一般應用數(shù)學歸納法進行

15、證明． 解　(1)原數(shù)列為，，，，，…， ∴an＝＝. (2)原數(shù)列為，－，，－，，…， ∴an＝. 變式遷移1　解　(1)∵a1＝3＝21＋1， a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…， ∴an＝2n＋1. (2)將數(shù)列中各項統(tǒng)一成分母為2的分數(shù)，得 ，，，，，…， 觀察知，各項的分子是對應項數(shù)的平方， ∴數(shù)列通項公式是an＝. (3)將數(shù)列各項統(tǒng)一成的形式得 ，，，，…； 觀察知，數(shù)列各項的被開方數(shù)逐個增加3，且被開方數(shù)加1后，又變?yōu)?,6,9,12，…，所以數(shù)列的通項公式是an＝. (4)從奇數(shù)項，偶數(shù)項角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作數(shù)列1

16、,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…對應項相加之和的一半組成的數(shù)列，也可用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值和零點值來調(diào)整表示． 所以an＝ 或an＝ (n∈N*)， 或an＝或an＝sin2 (n∈N*)， 或an＝ (n∈N*)． 例2　解題導引　利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，一般有以下三種方法： (1)累加法：如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項an＋1與an的差的一個關(guān)系式，我們可依次寫出前n項中所有相鄰兩項的差的關(guān)系式，然后把這n－1個式子相加，整理求出數(shù)列的通項公式． (2)累積法：如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項an＋1與an的商的一個關(guān)系式，我們可依次寫出前n項中所有相鄰

17、兩項的商的關(guān)系式，然后把這n－1個式子相乘，整理求出數(shù)列的通項公式． (3)構(gòu)造法：根據(jù)所給數(shù)列的遞推公式以及其他有關(guān)關(guān)系式，進行變形整理，構(gòu)造出一個新的等差或等比數(shù)列，利用等差或等比數(shù)列的通項公式求解． 解　(1)當n＝1,2,3，…，n－1時，可得n－1個等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1， 將其相加， 得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)． ∴an＝a1＋＝2＋. (2)方法一　an＝··…···a1 ＝n－1·n－2·…·2·1 ＝1＋2＋…＋(n－1)＝， ∴an＝. 方法二　由2n－1an＝an－1， 得an＝n－

18、1an－1. ∴an＝n－1an－1 ＝n－1·n－2an－2 ＝n－1·n－2·…·1a1 ＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝ 變式遷移2　解　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3， ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3， 又a1＋1＝2， ∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1. ∴＝n，＝n－1， …… ＝3， ＝2， a1＝1. 累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！. 故an＝n！. (3)∵an＋1＝an＋ln， ∴a

19、n＋1－an＝ln＝ln . ∴an－an－1＝ln ， an－1－an－2＝ln ， …… a2－a1＝ln ， 累加可得，an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n. 又a1＝2，∴an＝ln n＋2. 例3　解題導引　an與Sn的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況．一般地，當a1＝S1適合an＝Sn－Sn－1時，則需統(tǒng)一“合寫”．當a1＝S1不適合an＝Sn－Sn－1時，則通項公式應分段表示，即an＝ 解　當n＝1時， a1＝

20、S1＝2×12－3×1＋1＝0； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1時，an＝4×1－5＝－1≠a1， ∴an＝ 變式遷移3　解　(1)a1＝S1＝3＋b， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 當b＝－1時，a1適合此等式； 當b≠－1時，a1不適合此等式． ∴當b＝－1時，an＝2·3n－1； 當b≠－1時，an＝. (2)由2＝an＋1，得Sn＝2， 當n＝1時，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝2－2， 整理

21、，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵數(shù)列{an}各項為正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0. ∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． ∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. 課后練習區(qū) 1．A　2.A　3.A　4.D　5.B 6.　7.　8. 9．解　(1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…， ∴an＝n＋(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分) (2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－， a4＝，…， ∴an＝(－1)n·(n∈N*)．………………………………………………………(12分) 1

22、0．解　(1)由題意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2. 將上述各式等號兩邊累加得， an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2， 即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝， 故an＝.……………………………………………………………………………(4分) (2)由題意得，＝，＝，…，＝，＝. 將上述各式累乘得，＝，故an＝.……………………………………………………(8分) (3)由an＝2an－1＋1， 得an＋1＝2(an－1＋1)， 又a1＋1＝2≠0，所以＝2， 即數(shù)列{an＋1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列． 所

23、以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(12分) 11．(1)解　a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分) 對于n≥2有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也適合， ∴{an}的通項公式an＝4n.………………………………………………………………(3分) 將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.………………………………(4分) (求bn方法一)對于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1， Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)， ∴bn

24、＝bn－1，bn＝21－n.……………………………………………………………………(6分) (求bn方法二)對于n≥2，由Tn＝2－bn得 Tn＝2－(Tn－Tn－1)， 2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)， Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n， Tn＝2－21－n， bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n. b1＝1也適合．……………………………………………………………………………(6分) 綜上，{bn}的通項公式bn＝21－n.…………………………………………………………(8分) (2)證明　方法一　由cn＝a·bn＝n22

25、5－n，………………………………………………(10分) 得＝2.………………………………………………………………………(12分) 當且僅當n≥3時，1＋≤<， ∴<·()2＝1，又cn＝n2·25－n>0， 即cn＋1