課時(shí)分層作業(yè)(十七)　向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1.等于(　　) A．2a－b　 B．2b－a C．b－a D．a(chǎn)－b B　[原式＝(a＋4b－4a＋2b) ＝(－3a＋6b) ＝－a＋2b＝2b－a.] 2．已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352203】 ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na，則m＝n. A．①④ B．①② C．①③ D．③④ B　[①正確．②正確．③錯(cuò)誤．由ma＝mb得m(a－b)＝0當(dāng)m＝0時(shí)也成立，推不出a＝b.④錯(cuò)誤．由ma＝na得(m－n)a＝0當(dāng)a＝0時(shí)也成立，推不出m＝n.] 3．若5＋3＝0，且||＝||，則四邊形ABCD是(　　) A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 D　[由5＋3＝0知，∥且||≠|(zhì)|，故此四邊形為梯形，又||＝||，所以梯形ABCD為等腰梯形．] 4．已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使a，b共線的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352204】 ①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e； ②存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，使λa－μb＝0； ③xa＋yb＝0(其中實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝0)； ④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b. A．①②　　 B．①③ C．②　　 D．③④ A　[對于①，可解得a＝e，b＝－e，故a與b共線；對于②由于λ≠μ.故λ，μ不全為0，不妨設(shè)λ≠0則由λa－μb＝0得a＝b，故a與b共線；對于③，當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，a與b不一定共線；對于④，梯形中沒有條件AB∥CD，可能AC∥BD，故a與b不一定共線．] 5．如圖2231，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么＝(　　) 圖2231 A.－ B.＋ C.＋ D.－ D　[＝，＝＝－，所以＝＋＝－.] 二、填空題 6．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. －　[由題意可以設(shè)a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b， 因?yàn)閍與b不共線， 所以有解得] 7．若＝t(t∈R)，O為平面上任意一點(diǎn)，則＝________.(用，表示) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352205】 (1－t)＋t　[＝t，－＝t(－)， ＝＋t－t＝(1－t)＋t.] 8．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若－3＋2＝0，則＝________. 2　[∵－3＋2＝0， ∴－＝2(－)，∴＝2， ∴＝2.] 三、解答題 9．如圖2232，在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點(diǎn)D，使DB＝OB，DC與OA交點(diǎn)為E，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量，. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352206】 圖2232 [解]∵AC＝BA，∴A是BC的中點(diǎn)， ∴＝(＋)， ∴＝2－＝2a－b. ∴＝－＝－ ＝2a－b－b＝2a－b. 10．設(shè)兩個(gè)非零向量e1，e2不共線，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A，B，D三點(diǎn)共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由． [解]　設(shè)存在k∈R，使得A，B，D三點(diǎn)共線， ∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2. 又∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴＝λ， ∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)， ∴∴k＝－8， ∴存在k＝－8，使得A，B，D三點(diǎn)共線． [沖A挑戰(zhàn)練] 1．設(shè)a，b都是非零向量．下列四個(gè)條件中，使＝成立的條件是(　　) A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b| C　[，分別表示a，b的單位向量．對于A，當(dāng)a＝－b時(shí)，≠；對于B，當(dāng)a∥b時(shí)，可能有a＝－b，此時(shí)≠；對于C，當(dāng)a＝2b時(shí)，＝＝；對于D，當(dāng)a∥b且|a|＝|b|時(shí)，可能有a＝－b，此時(shí)≠.綜上所述，使＝成立的條件是a＝2b，選C.] 2．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P ，且＋＋＝，則(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352207】 A．P在△ABC內(nèi)部 B．P在△ABC外部 C．P在AB邊上或其延長線上 D．P在AC邊上 D　[因?yàn)椋?，所以＋＝＋＝? 所以2＋＋＝3， 所以(＋)＋(＋)＝3， 即＝3， 所以點(diǎn)P在AC邊上，且為AC的三等分點(diǎn)．] 3．如圖2233所示，給出下列結(jié)論： 圖2233 ①＝a＋b；②＝－a－b； ③＝a－b；④＝a＋b. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． ①③　[設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則a＝x＋y，b＝x－y， 解得x＝a＋b，y＝a－b. 即＝a＋b，＝a－b， ＝x＋y＝＋＝a－b， ＝x＋y＝＋＝a＋b. 故①③正確，②④錯(cuò)誤．] 4．已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m的值為________． 3　[∵＋＋＝0，∴點(diǎn)M是△ABC的重心． ∴＋＝3，∴m＝3.] 5．如圖2234，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，AE＝AD，＝a，＝b. 圖2234 (1)用a，b分別表示向量，； (2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352208】 [解]　(1)∵＝(＋)＝(a＋b)， ∴＝＝(a＋b)， ∵＝＝b， ∴＝－＝－a＋b. (2)證明：由(1)知＝－a＋b， ＝－a＋b＝， ∴＝. ∴與共線． 又BE，BF有公共點(diǎn)B，∴B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．