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幾何概型 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( ) A. 710 B. 58 C. 38 D. 310 （正確答案）B ? 【分析】 本題考查概率的計(jì)算，考查幾何概型，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)． 求出一名行人前25秒來到該路口遇到紅燈，即可求出至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率． 【解答】 解：∵紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈， ∴一名行人前25秒來到該路口遇到紅燈， ∴至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為2540=58． 故選B． 2. 在區(qū)間[-1,4]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x，則x≤1的概率為( ) A. 25 B. 35 C. 15 D. 23 （正確答案）A 解：∵在區(qū)間[-1,4]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x， ∴x≤1的概率P=1-(-1)4-(-1)=25， 故選：A． 根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可． 本題主要考查概率的計(jì)算，根據(jù)幾何概型的概率公式轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)長度之比是解決本題的關(guān)鍵． 3. 已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3，若在區(qū)間[-4,4]上取一個(gè)隨機(jī)數(shù)x0，則f(x0)≤0的概率是 ( ) A. 34 B. 58 C. 12 D. 38 （正確答案）C 令-x2+2x+3=0可得x=-1或x=3，則x0∈［-4，-1］或x0∈［3，4］時(shí)，f(x0)≤0． 所求概率為38+18=12 4. 如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則( ) A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 （正確答案）A 解：如圖：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b， ∴a2=b2+c2， ∴SⅠ=124bc=2bc，SⅢ=12πa2-2bc， SⅡ=12πc2+12πb2-SⅢ=12πc2+12πb2-12πa2+2bc=2bc， ∴SⅠ=SⅡ， ∴P1=P2， 故選：A． 如圖：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b，分別求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所對應(yīng)的面積，即可得到答案． 本題考查了幾何概型的概率問題，關(guān)鍵是求出對應(yīng)的面積，屬于基礎(chǔ)題． 5. 如圖所示，在△ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則△PBC的面積不超過△ABC面積一半的概率是( ) A. 12 B. 14 C. 13 D. 34 （正確答案）D 解：記事件A={△PBC的面積不超過S2}， 基本事件空間是三角形ABC的面積，(如圖) 事件A的幾何度量為圖中陰影部分的面積(DE是三角形的中位線)， 因?yàn)殛幱安糠值拿娣e是整個(gè)三角形面積的34， 所以P(A)=34， 故選：D 先分析題目求在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積不超過S2的概率，即可考慮畫圖求解的方法，然后根據(jù)圖形分析出基本的事件空間與事件的幾何度量是什么.再根據(jù)幾何關(guān)系求解出它們的比例即可． 本題主要考查了幾何概型.由這個(gè)題目可以看出，解決有關(guān)幾何概型的問題的關(guān)鍵是認(rèn)清基本事件空間是指面積還是長度或體積，同學(xué)們需要注意． 6. 已知菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=π6，若在菱形內(nèi)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1的概率為( ) A. π4 B. 1-π4 C. π8 D. 1-π8 （正確答案）D 解：分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑的圓， 則所以概率對應(yīng)的面積為陰影部分， 則四個(gè)圓在菱形內(nèi)的扇形夾角之和為2π， 則對應(yīng)的四個(gè)扇形之和的面積為一個(gè)整圓的面積S=π12=π， ∵S菱形ABCD=AB?BCsinπ6=4412=8， ∴S陰影=S菱形ABCD-S空白=8-π12=8-π． 因此，該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率P=S陰影S菱形=8-π8=1-π8， 故選：D． 根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)區(qū)域的面積進(jìn)行求解即可． 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)對應(yīng)分別求出對應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵． 7. 甲、乙兩位同學(xué)約定周日早上8：00-8：30在學(xué)校門口見面，已知他們到達(dá)學(xué)校的時(shí)間是隨機(jī)的，則甲要等乙至少10分鐘才能見面的概率為( ) A. 23 B. 13 C. 29 D. 79 （正確答案）C 解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型， 試驗(yàn)包含的所有事件是Ω={(x,y)|0≤x≤30，0≤y≤30} 事件對應(yīng)的集合表示的面積是s=900， 滿足條件的事件是A={(x,y)|0≤x≤30，0≤y≤30，y-x≥10}，事件對應(yīng)的集合表示的面積是122020=200， 根據(jù)幾何概型概率公式得到P=29． 故選C． 由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是Ω={(x,y)|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出事件對應(yīng)的集合表示的面積，寫出滿足條件的事件是A={(x,y)|0≤x≤30，0≤y≤30，y-x≥10}，算出事件對應(yīng)的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果． 本題是一個(gè)幾何概型，對于這樣的問題，一般要通過把試驗(yàn)發(fā)生包含的事件所對應(yīng)的區(qū)域求出，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形面積，用面積的比值得到結(jié)果． 8. 在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，若事件“3x-m<0”發(fā)生的概率為16，則實(shí)數(shù)m=( ) A. 1 B. 12 C. 13 D. 16 （正確答案）A 解：解不等式3x-m<0，可得x0時(shí)的概率( ) A. 132 B. 932 C. 3132 D. 2332 （正確答案）B 【分析】 本題主要考查幾何概型.如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè).本題利用幾何概型求解即可.在a-o-b坐標(biāo)系中，畫出f(1)>0對應(yīng)的區(qū)域，和a、b都是在區(qū)間[0,4]內(nèi)表示的區(qū)域，計(jì)算它們的比值即得． 【解答】 解：f(1)=-1+a-b>0，即a-b>1， 如圖，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)， S△ABC=92，P=9244=932， 故選B． 11. 如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點(diǎn)連線成軸對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( ) A. 14 B. 12 C. π8 D. π4 （正確答案）C 解：設(shè)正方形邊長為2，則正方形面積為4， 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分的面積S=12π12=π2． ∴在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是P=π24=π8． 故選：C． 設(shè)出正方形邊長，求出正方形面積，再求出正方形內(nèi)切圓中的黑色部分的面積，由面積比得答案． 本題考查幾何概型，關(guān)鍵是明確測度比為面積比，是基礎(chǔ)題． 12. 在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則事件“3x-1<0”發(fā)生的概率為( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 （正確答案）D 解：由幾何概型可知，事件“3x-1<0”可得x<13， ∴在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則事件“3x-1<0”發(fā)生的概率為： P(3x-1<0)=132=16． 故選：D． 利用幾何概型求概率.先解不等式，再利用解得的區(qū)間長度與區(qū)間[0,2]的長度求比值即得． 本題主要考查了幾何概型，簡單地說，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)=x2，若在矩形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于______ ． （正確答案）512 解：由已知，矩形的面積為4(2-1)=4， 陰影部分的面積為12(4-x2)dx=(4x-13x3)|?12=53， 由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于512； 故答案為：512． 分別求出矩形和陰影部分的面積，利用幾何概型公式，解答． 本題考查了定積分求曲邊梯形的面積以及幾何概型的運(yùn)用；關(guān)鍵是求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式解答． 14. 設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域x-y+1≥00≤x≤1y≥0內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，則滿足a2+b2≤1的概率是______． （正確答案）π6 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即B(1,2)，A(1,0)，C(0,1)， 則四邊形OABC的面積S=1+221=32， 則第一象限內(nèi)對應(yīng)a2+b2≤1的面積為14π， ∴根據(jù)幾何概型的概率公式可得滿足a2+b2≤1的概率是π432=π6， 故答案為：π6 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論． 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，求出對應(yīng)的區(qū)域面積是解決本題的關(guān)鍵． 15. 已知|x|≤2，|y|≤2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，當(dāng)x，y∈R時(shí)，點(diǎn)P滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率為______． （正確答案）π16 解：如圖，點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD及其內(nèi)部 滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的點(diǎn)位于的區(qū)域是 以C(2,2)為圓心，半徑等于2的圓及其內(nèi)部 ∴P滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率為 P1=S扇形S正方形=14?π?2244=π16． 故答案為：π16 根據(jù)題意，滿足|x|≤2且|y|≤2的點(diǎn)P在如圖的正方形ABCD及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，而滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的點(diǎn)P在以C為圓心且半徑為2的圓及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).因此，所求概率等于圓C與正方形ABCD重疊部分扇形面積與正方形ABCD的面積之比，根據(jù)扇形面積和正方形面積計(jì)算公式，即可求出本題的概率． 本題給出點(diǎn)P滿足的條件，求點(diǎn)P到點(diǎn)C(2,2)距離小于或等于2的概率.著重考查了正方形、扇形面積計(jì)算公式和幾何概型計(jì)算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題． 16. 已知水池的長為30m，寬為20m，一海豚在水池中自由游戲，則海豚嘴尖離池邊超過4m的概率為______． （正確答案）1125 【分析】 本題考查幾何概型，明確測度，正確求解面積是關(guān)鍵.測度為面積，找出點(diǎn)離岸邊不超過4m的點(diǎn)對應(yīng)的圖形的面積，并將其和長方形面積一齊代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解． 【解答】 解：如圖所示： 長方形面積為2030，小長方形面積為2212， 陰影部分的面積為2030-2212， ∴海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率為P=1-22122030=1125． 故答案為1125． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 17. 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0． (1)若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． （正確答案）解：設(shè)事件A為“方程有實(shí)根”． 當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為a≥b (1)由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件共12個(gè)： (0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2) 其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值． 事件A中包含9個(gè)基本事件， ∴事件A發(fā)生的概率為P=912=34 (2)由題意知本題是一個(gè)幾何概型， 試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2} 滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b} ∴所求的概率是32-122232=23 首先分析一元二次方程有實(shí)根的條件，得到a≥b (1)本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件可以通過列舉得到結(jié)果數(shù)，滿足條件的事件在前面列舉的基礎(chǔ)上得到結(jié)果數(shù)，求得概率． (2)本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)概率等于面積之比，得到概率． 本題考查古典概型及其概率公式，考查幾何概型及其概率公式，本題把兩種概率放在一個(gè)題目中進(jìn)行對比，得到兩種概率的共同之處和不同點(diǎn)． 18. 如圖，扇形AOB的圓心角為90°，點(diǎn)P在弦AB上，且OP=2AP，延長OP交弧AB于點(diǎn)C，現(xiàn)向該扇形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形AOC內(nèi)的概率為______． （正確答案）13 解：設(shè)AP=x，OP=2x，由正弦定理可求得， sin∠AOP=APsin∠OAPOP=2222=12，所以∠POA=30°， 所以扇形AOC的面積為1314πOA2，扇形AOB的面積為14πOA2， 從而所求概率為1314πOA214πOA2=13． 故答案為：13． 求出扇形AOC的面積，扇形AOB的面積，從而得到所求概率． 本題主要考查幾何概型，正確求出扇形的面積是關(guān)鍵． 19. 某市小型機(jī)動(dòng)車駕照“科二”考試中共有5項(xiàng)考查項(xiàng)目，分別記作①，②，③，④，⑤． 項(xiàng)目 學(xué)員編號 ① ② ③ ④ ⑤ (1) T T T (2) T T T (3) T T T T (4) T T T (5) T T T T (6) T T T (7) T T T T (8) T T T T T (9) T T T (10) T T T T T 注“T”表示合格，空白表示不合格 (1)某教練將所帶10名學(xué)員的“科二”模擬考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(如表所示)，并打算從恰有2項(xiàng)成績不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補(bǔ)測(只測不合格的項(xiàng)目)，求補(bǔ)測項(xiàng)目種類不超過3項(xiàng)的概率； (2)如圖，某次模擬演練中，教練要求學(xué)員甲倒車并轉(zhuǎn)向90°，在汽車邊緣不壓射線AC與射線BD的前提下，將汽車駛?cè)胫付ǖ耐＼囄?根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)員甲轉(zhuǎn)向90°后可使車尾邊緣完全落在線段CD上，且位于CD內(nèi)各處的機(jī)會(huì)相等.若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽車寬度為1.8m，求學(xué)員甲能按教練要求完成任務(wù)的概率． （正確答案）解：(1)由題意得共有5名學(xué)員(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有2兩項(xiàng)成績不合格，從中任意抽取2人進(jìn)行補(bǔ)測，共有10種情況： 學(xué)員編號 補(bǔ)測項(xiàng)目 項(xiàng)數(shù) (1)(2) ②③⑤ 3 (1)(4) ②③④⑤ 4 (1)(6) ③④⑤ 3 (1)(9) ①③⑤ 3 (2)(4) ②④⑤ 3 (2)(6) ②③④⑤ 4 (2)(9) ①②⑤ 3 (4)(6) ②③④ 3 (4)(9) ①②④⑤ 4 (6)(9) ①③④⑤ 4 由表格可知全部的10種情況中有6種情況補(bǔ)測項(xiàng)目不超過3項(xiàng)， ∴補(bǔ)測項(xiàng)目不超過3項(xiàng)的概率為P=610=35； (2)在線段CD上取兩點(diǎn)B，D，使得BB=DD=1.8m， 記汽車尾部左端點(diǎn)為M，則當(dāng)M位于線段AB上時(shí)，學(xué)員可按教練要求完成任務(wù)． ∴學(xué)員甲能按要求完成任務(wù)的概率為 ． (1)利用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值； (2)利用幾何概型的概率公式，計(jì)算所求的概率值． 本題考查了列舉法求古典概型的概率和幾何概型的概率計(jì)算問題，是中檔題．