專題能力提升練 二十二 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 (45分鐘　80分) 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x) -x+3的零點(diǎn)的集合為 (　　) A.{1,3}　 B.{-3,-1,1,3} C.{2-7,1,3} D.{-2-7,1,3} 【解析】選D.當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3; 當(dāng)x<0時(shí),由f(x)是奇函數(shù)得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3得x=-2-7(正根舍去).選D. 2.已知函數(shù)f(x)=ax+x-b的零點(diǎn)x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常數(shù)a,b滿足0<b<1<a,則n的值為 (　　) A.2 B.1 C.-2 D.-1 【解題指南】根據(jù)指數(shù)函數(shù),一次函數(shù)的單調(diào)性,及增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可得函數(shù)f(x)=ax+x-b為增函數(shù),結(jié)合常數(shù)a,b滿足0<b<1<a,可得f(-1)<0,f(0)>0,進(jìn)而可得n的值. 【解析】選D.由題意得函數(shù)f(x)=ax+x-b為增函數(shù),常數(shù)a,b滿足0<b<1<a, 所以f(-1)=1a-1-b<0,f(0)=1-b>0, 所以函數(shù)f(x)=ax+x-b在(-1,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn), 故n=-1. 3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是 (　　) A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多 C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油 D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油 【解析】選D.根據(jù)圖象知消耗1升汽油,乙車最多行駛里程大于5千米,故選項(xiàng)A錯(cuò);以相同速度行駛時(shí),甲車燃油效率最高,因此以相同速度行駛相同路程時(shí),甲車消耗汽油最少,故選項(xiàng)B錯(cuò);甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升,行駛1小時(shí),里程為80千米,消耗8升汽油,故選項(xiàng)C錯(cuò);最高限速80千米/小時(shí),丙車的燃油效率比乙車高,因此相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,故選項(xiàng)D對(duì). 4.函數(shù)f(x)=sinx+π4cosx+π4+cos2x-log2|x|-12的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選B.由已知得f(x)=12cos2x+1+cos2x2-log2|x|-12=cos2x-log2|x|,令f(x)=0,即cos2x=log2|x|,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=cos2x與y=log2|x|的圖象,有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2. 【加固訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=|lnx|-1,g(x)=-x2+2x+3,用min{m,n}表示m,n中最小值,設(shè)h(x)=min{f(x),g(x)},則函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3　 D.4 【解析】選C.由f(x)=0可得x=e,x=1e;由g(x)=0可得x=-1,x=3,且當(dāng)x=e時(shí), g(e)>0.當(dāng)x<0時(shí)無(wú)意義,結(jié)合函數(shù)的圖象可知方程h(x)=0有三個(gè)根.故應(yīng)選C. 5.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=4f1x,當(dāng)x∈14,1時(shí),f(x)=lnx,若在14,4上,方程f(x)=kx有三個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (　　) A.-8ln2,-4e　 B.(-4ln4,-2ln2] C.-4e,-2ln2 D.-4e,-2ln2 【解析】選D. 依題意可得f(x)=lnx,14≤x≤1,-4lnx,1<x≤4,畫出f(x)的圖象,如圖.根據(jù)圖象可得:當(dāng)直線y=kx過點(diǎn)B時(shí),與y=f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),此時(shí)k=-4ln44=-2ln2;當(dāng)直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象相切于點(diǎn)T時(shí),直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),此時(shí)切線方程為y-(-4lnx0)=-4x0(x-x0),可得:4lnx0=4,x0=e,切線的斜率k=-4x0=-4e,所以有三個(gè)交點(diǎn)時(shí),-4e<k≤-2ln2. 6.函數(shù)f(x)=a,x=0,1e|x|+1,x≠0,若關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五個(gè)不同的零點(diǎn),則a的取值范圍是 (　　) A.(1,2) B.32,2 C.1,32 D.1,32∪32,2 【解析】選D.作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示: 令f(x)=t,則2t2-(2a+3)t+3a=0, 所以t=a或t=32. (1)若a≤1或a≥2時(shí),則由圖象可知f(x)=a只有一解x=0,而f(x)=32有兩解,關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有三個(gè)不同的零點(diǎn),不符合題意; (2)若a=32,由圖象可知f(x)=a有三解, 關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有三個(gè)不同的零點(diǎn),不符合題意; (3)若1<a<32或32<a<2,則由圖象可知f(x)=a有三解,f(x)=32有兩解, 關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五個(gè)不同的零點(diǎn),符合題意. 綜上,a的范圍是1,32∪32,2. 【加固訓(xùn)練】 (2018德陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)=xex-1,若關(guān)于x的方程f2(x)-m|f(x)|-2m-3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是 (　　) A.-32,0 B.-32,-23 C.-32,-23 D.-23,0 【解析】選C.f′(x)=1-xex-1, 可得x∈(-∞,1)時(shí),f′(x)>0,x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0, 所以f(x)在(-∞,1)遞增,在(1,+∞)遞減. 可知y=|f(x)|的大致圖象如圖所示, 設(shè)|f(x)|=t,則|f(x)|2-m|f(x)|-2m-3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即為t2-mt-2m-3=0有兩個(gè)根t1,t2, ①若t1=1,t2=0時(shí),t1+t2=m=1,t1t2=-2m-3=0,不存在實(shí)數(shù)m, ②若t1=1,t2>1時(shí),當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí),12-m-2m-3=0,m=-23, 代入t2-mt-2m-3=0另一根為-53,不符合題意. ③t1∈(0,1),t2∈(-∞,0)時(shí), 設(shè)h(t)=t2-mt-2m-3, h(1)=12-m-2m-3>0,h(0)=-2m-3<0, -32<m<-23, 所以m的取值范圍為-32,-23. 二、填空題(每小題5分,共10分) 7.(2018達(dá)州一模)已知函數(shù)f(x)=mlnx-x(m∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2), e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則x1,x2,e的大小關(guān)系是________(用“<”連接). 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=mlnx-x有兩個(gè)零點(diǎn), 所以m≠0,由方程mlnx-x=0,得mlnx=x,即lnx=1mx, 若m<0,兩函數(shù)y=lnx與y=1mx的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意; 若m>0,設(shè)直線y=1mx與曲線y=lnx相切于(x0,lnx0), 則y′|x=x0=1x0, 所以切線方程為y-lnx0=1x0(x-x0), 把原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)代入,可得-lnx0=-1,即x0=e. 因?yàn)閮珊瘮?shù)y=lnx與y=1mx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2(x1<x2), 所以x1<e<x2. 答案:x1<e<x2 8.(2018南充一模)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)?x∈R,有f(x+2)=f(x) -f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,若函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是________. 【解析】因?yàn)閒(x+2)=f(x)-f(1), 且f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù), 令x=-1可得f(-1+2)=f(-1)-f(1), 又f(-1)=f(1), 所以f(1)=0,則有f(x+2)=f(x), 所以f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù). 當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2, 函數(shù)的圖象為開口向下、頂點(diǎn)為(3,0)的拋物線段. 因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn), 令g(x)=loga(|x|+1),則f(x)的圖象和g(x)的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn). 因?yàn)閒(x)≤0,所以g(x)≤0,可得0<a<1, 要使函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn), 則有g(shù)(2)>f(2),可得loga(2+1)>f(2)=-2, 即loga3>-2,所以3<1a2,解得-33<a<33,又0<a<1,所以0<a<33, 答案:0,33 三、解答題(每小題10分,共40分) 9.有一種新型的洗衣液,去污速度特別快.已知每投放k(1≤k≤4,且k∈R)個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=kf(x),其中f(x)=248-x-1,0≤x≤4,7-12x,4<x≤14.若多次投放,則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中冼衣液的濃度不低于4克/升時(shí),它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次k個(gè)單位的洗衣液,當(dāng)兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3克/升,求k的值. (2)若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘? (3)若第一次投放2個(gè)單位的洗衣液,10分鐘后再投放1個(gè)單位的洗衣液,則在第12分鐘時(shí)洗衣液是否還能起到有效去污的作用?請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)由題意知k248-2-1=3, 所以k=1. (2)因?yàn)閗=4, 所以y=968-x-4,0≤x≤4,28-2x,4<x≤14. 當(dāng)0≤x≤4時(shí),由968-x-4≥4, 解得-4≤x<8,所以0≤x≤4. 當(dāng)4<x≤14時(shí),由28-2x≥4,解得x≤12, 所以4<x≤12. 綜上可知,當(dāng)y≥4時(shí),0≤x≤12, 所以只投放一次4個(gè)單位的洗衣液的有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘. (3)在第12分鐘時(shí),水中洗衣液的濃度為27-1212+1248-(12-10)-1=5(克/升),又5>4, 所以在第12分鐘時(shí)還能起到有效去污的作用. 10.已知函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中m為常數(shù). (1)若對(duì)任意x∈R有f(x)≥0成立,求m的取值范圍. (2)當(dāng)m>1時(shí),判斷f(x)在[0,2m]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由. 【解析】(1)f′(x)=ex-m-1, 令f′(x)=0,得x=m. 故當(dāng)x∈(-∞,m)時(shí),ex-m<1,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(m,+∞)時(shí),ex-m>1,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x=m時(shí),f(m)為極小值,也是最小值. 令f(m)=1-m≥0,得m≤1, 即若對(duì)任意x∈R有f(x)≥0成立,則m的取值范圍是(-∞,1]. (2)當(dāng)m>1時(shí),f(x)在[0,2m]上有兩個(gè)零點(diǎn),理由如下: 由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)m>1時(shí),f(m)=1-m<0. 因?yàn)閒(0)=e-m>0,f(0)f(m)<0, 所以f(x)在(0,m)上有一個(gè)零點(diǎn). 因?yàn)閒(2m)=em-2m,令g(m)=em-2m, 因?yàn)楫?dāng)m>1時(shí),g′(m)=em-2>0, 所以g(m)在(1,+∞)上單調(diào)遞增, 所以g(m)>g(1)=e-2>0,即f(2m)>0. 所以f(m)f(2m)<0,所以f(x)在(m,2m)上有一個(gè)零點(diǎn).所以f(x)在[0,2m]上有兩個(gè)零點(diǎn). 【加固訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+e2x(x>0). (1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍. (2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根. 【解析】(1)因?yàn)間(x)=x+e2x≥2e2=2e(x>0), 當(dāng)且僅當(dāng)x=e2x時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)x=e時(shí),g(x)有最小值2e. 因此g(x)=m有零點(diǎn),只需m≥2e. 所以m∈[2e,+∞). (2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根, 則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 如圖所示,作出函數(shù)g(x)=x+e2x(x>0)的大致圖象. 因?yàn)閒(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2, 所以其對(duì)稱軸為x=e,f(x)max=m-1+e2. 若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),必須有m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1. 即g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根, 則m的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞). 11.如圖,陰影部分為古建筑群所在地,其形狀是一個(gè)長(zhǎng)為2km,寬為1km的矩形,矩形兩邊AB,AD緊靠在兩條互相垂直的路上,現(xiàn)要過點(diǎn)C修一條直線的路l,這條路不能穿過古建筑群,且與另兩條路交于點(diǎn)P和Q. (1)設(shè)AQ=x(km),將△APQ的面積S表示為x的函數(shù). (2)求△APQ的面積S(k2m)的最小值. 【解析】(1)AQ=x, 則由AQBC=APBP=APAP-AB得:x=APAP-2, 即AP=2xx-1, 故S=12APAQ=x2x-1(x>1). (2)由(1)得:S′=x2-2x(x-1)2(x>1); 當(dāng)x∈(1,2)時(shí),S′<0,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),S′>0, 故x=2時(shí),Smin=4. 12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為3.當(dāng)1≤x≤3時(shí),f(x)=x2+4. (1)求f(5)+f(7)的值. (2)若關(guān)于x的方程f(x)=mx2(m∈R)在區(qū)間[4,6]上有實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為3,所以f(5)=f(2)=8,f(7)=f(4)=f(1)=5, 所以f(5)+f(7)=13. (2)設(shè)x∈[4,6],則x-3∈[1,3],因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為3, 所以f(x)=f(x-3)=(x-3)2+4. 方程f(x)=mx2在[4,6]上有實(shí)根?(x-3)2+4x2=m在[4,6]上有實(shí)根,設(shè)g(x)=(x-3)2+4x2=13x2-6x+1 =131x-3132+413, 因?yàn)閤∈[4,6],所以1x∈16,14, 因?yàn)?13∈16,14, 所以g(x)min=413, 又因?yàn)?4-313<313-16,所以g(x)max=g(6)=1336,所以g(x)∈413,1336, 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為413,1336. (建議用時(shí):50分鐘) 1.已知函數(shù)f(x)=2x-a,x≤1,-x+a,x>1,則“函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)”成立的充分不必要條件是a∈ (　　) A.(0,2] B.(1,2] C.(1,2) D.(0,1] 【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x-a,x≤1,-x+a,x>1,則“函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)”?2-a≥0,-1+a>0,a>0, 解得1<a≤2. 所以“函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)”成立的充分不必要條件是a∈(1,2). 2.(2018德陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)=xx+1,x∈(-1,+∞),若關(guān)于x的方程f2(x) +m|f(x)|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是 (　　) A.-32,0 B.-32,-43 C.-32,-43 D.-43,0 【解析】選C.f(x)=1+-1x+1,y=|f(x)|, x∈(-1,+∞)的圖象如圖: 設(shè)|f(x)|=t,則|f(x)|2+m|f(x)|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即為t2+mt+2m+ 3=0有兩個(gè)根, ①t=0時(shí),代入t2+mt+2m+3=0得m=-32,即t2-32t=0,另一根為32,只有一個(gè)交點(diǎn),舍去; ②一個(gè)在(0,1)上,一個(gè)在[1,+∞)上時(shí), 設(shè)h(t)=t2+mt+2m+3, h(0)=2m+3>0,h(1)=1+m+2m+3≤0,解得-32<m≤-43. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=-│x│,g(x)=lg(ax2-4x+1),若對(duì)任意x1∈R,都存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　　) A.(-∞,4] B.(0,4] C.(-4,0] D.[4,+∞) 【解析】選A.f(x)=-│x│≤0,所以f(x)的值域是(-∞,0]. 設(shè)g(x)的值域?yàn)锳,因?yàn)閷?duì)任意x1∈R,都存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),所以(-∞,0]?A.設(shè)y=ax2-4x+1的值域?yàn)锽,則(0,1]?B. 顯然當(dāng)a=0時(shí),上式成立.當(dāng)a>0時(shí),Δ=16-4a≥0, 解得0<a≤4. 當(dāng)a<0時(shí),ymax=4a-164a≥1,即1-4a≥1恒成立. 綜上,a≤4. 4.已知函數(shù)f(x)=(x2-x-1)ex,設(shè)關(guān)于x的方程f2(x)-mf(x)=5e(m∈R)有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則n的所有可能的值為(　　) A.3 B.1或3 C.4或6 D.3或4或6 【解析】選A.f′(x)=ex(2x-1)+(x2-x-1)ex=ex(x2+x-2),所以當(dāng)x<-2或x>1時(shí), f′(x)>0,當(dāng)-2<x<1時(shí),f′(x)<0, 所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增, f(x)的極大值為f(-2)=5e2,f(x)的極小值為f(1)=-e. 作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示: 因?yàn)閒2(x)-mf(x)=5e(m∈R), 所以f2(x)-mf(x)-5e=0,Δ=m2+20e>0, 令f(x)=t,則t1t2=-5e.不妨設(shè)t1<0<t2, (1)若t1<-e,則0<t2<5e2,此時(shí)f(x)=t1無(wú)解,f(x)=t2有三解; (2)若t1=-e,則t2=5e2,此時(shí)f(x)=t1有一解,f(x)=t2有兩解; (3)若-e<t1<0,則t2>5e2,此時(shí)f(x)=t1有兩解,f(x)=t2有一解; 綜上,f2(x)-mf(x)=5e有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解. 【加固訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0,若關(guān)于x的方程f2(x)-3f(x)+a=0(a∈R)有 8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是 (　　) A.0,14 B.13,3 C.(1,2) D.2,94 【解析】選D.令f(x)=t,作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象可知關(guān)于x的方程f2(x)-3f(x)+a=0有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根, 需要求一個(gè)f(x)的值有四個(gè)不同x對(duì)應(yīng).則關(guān)于t的方程t2-3t+a=0在(1,2)上有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,令g(t)=t2-3t+a,則Δ=9-4a>0,g(1)=a-2>0,g(2)=a-2>0,解得2<a<94. 5.(2018荊州一模)習(xí)總書記在十九大報(bào)告中明確指出,“要著力解決突出環(huán)境問題,堅(jiān)持全民共治,源頭防治,持續(xù)實(shí)施大氣污染防治行動(dòng),打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)”.為落實(shí)十九大報(bào)告精神,某市環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為:f(x)= 2xx2+42xx2+4-a+34,x∈[0,24],其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù),且a∈0,12. (1)令t(x)=2xx2+4,x∈[0,24],求t(x)的最值. (2)若用每天f(x)的最大值作為當(dāng)天的綜合污染指數(shù),市政府規(guī)定:每天的綜合污染指數(shù)不得超過2.試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)? 【解析】(1)由t(x)=2xx2+4,x∈[0,24],得t′(x)=2(x2+4)-2x2x(x2+4)2=-2(x+2)(x-2)(x2+4)2,x∈[0,24], 令t′(x)≥0,得(x+2)(x-2)≤0,即0≤x≤2, 令t′(x)<0,得(x+2)(x-2)>0,即x>2, 所以t(x)在[0,2]上遞增,在(2,+∞)上遞減, 所以當(dāng)x=0時(shí),t(x)min=0;當(dāng)x=2時(shí),t(x)max=12. (2)由(1)t=2xx2+4,x∈[0,24], 令g(t)=f(x)=t|t-a|+34,t∈0,12, 則g(t)=-t2+at+34,0≤t≤at2-at+34,a<t≤12, 因?yàn)間(t)在0,a2和a,12上遞增,在a2,a上遞減, 且ga2=34+a24,g12=1-a2, ga2-g12=a24+a2-14, 令a24+a2-14≥0,解得2-1≤a≤12; 令a24+a2-14<0,解得0≤a<2-1, 所以f(x)max=1-12a,0≤a<2-1,34+a24,2-1<a≤12, 因?yàn)閒(x)max≤1, 所以目前市中心的綜合污染指數(shù)沒有超標(biāo). 6.已知函數(shù)y=f(x),若在定義域內(nèi)存在x0,使得f(-x0)=-f(x0)成立,則稱x0為函數(shù)f(x)的局部對(duì)稱點(diǎn). (1)若a∈R且a≠0,證明:函數(shù)f(x)=ax2+x-a必有局部對(duì)稱點(diǎn). (2)若函數(shù)f(x)=2x+b在區(qū)間[-1,2]內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍. (3)若函數(shù)f(x)=4x-m2x+1+m2-3在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)由f(x)=ax2+x-a得f(-x)=ax2-x-a, 代入f(-x)=-f(x)得ax2+x-a+ax2-x-a=0, 得到關(guān)于x的方程ax2-a=0(a≠0), 其中Δ=4a2,由于a∈R且a≠0, 所以Δ>0恒成立, 所以函數(shù)f(x)=ax2+x-a必有局部對(duì)稱點(diǎn). (2)f(x)=2x+b在區(qū)間[-1,2]內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn), 所以方程2x+2-x+2b=0在區(qū)間[-1,2]上有解, 于是-2b=2x+2-x, 設(shè)t=2x,12≤t≤4, 所以-2b=t+1t,其中2≤t+1t≤174, 所以-178≤b≤-1. (3)因?yàn)閒(-x)=4-x-m2-x+1+m2-3, 由f(-x)=-f(x),所以4-x-m2-x+1+m2-3 =-(4x-m2x+1+m2-3), 于是4x+4-x-2m(2x+2-x)+2(m2-3)=0…(*)在R上有解, 令t=2x+2-x(t≥2),則4x+4-x=t2-2, 所以方程(*)變?yōu)閠2-2mt+2m2-8=0在區(qū)間[2,+∞)內(nèi)有解,需滿足條件: Δ=4m2-8(m2-4)≥0,2m+4(8-m2)2≥2,即-22≤m≤22,1-3≤m≤22, 化簡(jiǎn)得1-3≤m≤22. 【加固訓(xùn)練】 (2018資陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=-x(x+2)2,-3≤x≤0,2ex(4-x)-8,x>0,如果使等式f(x1)x1+4=f(x2)x2+2=2f(x3)2x3+1成立的實(shí)數(shù)x1,x3分別都有3個(gè),而使該等式成立的實(shí)數(shù)x2僅有2個(gè),則f(x2)x2+2的取值范圍是________. 【解析】當(dāng)-3≤x≤0時(shí),y=-x(x+2)2的導(dǎo)數(shù)為y′=-(x+2)(3x+2), 可得-2<x<-23時(shí),函數(shù)遞增;-3<x<-2,-23<x<0時(shí),函數(shù)遞減; 當(dāng)x>0時(shí),y=2ex(4-x)-8的導(dǎo)數(shù)為y′=2ex(3-x), 當(dāng)x>3時(shí),函數(shù)遞減;0<x<3時(shí),函數(shù)遞增, x=3時(shí),y=2e3-8, 作出函數(shù)f(x)的圖象. 等式f(x1)x1+4=f(x2)x2+2=2f(x3)2x3+1=k表示點(diǎn)(-4,0),(-2,0),-12,0與f(x)圖象上的點(diǎn)的連線的斜率相等, 由(-3,3)與(-4,0)的連線與f(x)有3個(gè)交點(diǎn), 且斜率為3,則k的最大值為3; 由題意可得,過(-2,0)的直線與f(x)的圖象相切,轉(zhuǎn)到斜率為3的時(shí)候, 實(shí)數(shù)x2僅有2個(gè), 設(shè)切點(diǎn)為(m,n)(-2<m<0), 求得切線的斜率為-(m+2)(3m+2)=-m(m+2)2m+2, 解得m=-1, 此時(shí)切線的斜率為1,則k的范圍是(1,3]. 答案:(1,3]