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1、高考沖刺排列組合、二項(xiàng)式定理 編稿：孫永釗審稿：張林娟 【高考展望】 命題角度：該部分的命題就是圍繞兩個(gè)點(diǎn)展開(kāi).第一個(gè)點(diǎn)是圍繞排列，組合展開(kāi)，設(shè)計(jì)利用排列組 合和兩個(gè)基本原理求解的實(shí)際計(jì)數(shù)問(wèn)題的試題，目的是考查對(duì)排列組合基本方法的掌握程度，考查分類與 整合的思想方法，試題都是選擇題或者填空題，難度中等或者偏易；第二點(diǎn)是圍繞二項(xiàng)式定理展開(kāi)，涉及 利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式計(jì)算二項(xiàng)式中特定項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、系數(shù)和等試題，目的是考查對(duì)二項(xiàng)式定理的 掌握程度和基本的運(yùn)算求解能力，試題也都是選擇題或者填空題，難度中等. 預(yù)計(jì)高考對(duì)該部分的考查基本方向不變，即考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題、二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但

2、由于排 列，組合試題的特點(diǎn)，也不排除出現(xiàn)難度稍大的試題的可能. 復(fù)習(xí)建議：該部分的復(fù)習(xí)以基本問(wèn)題為主，要點(diǎn)有兩個(gè)：一個(gè)是引導(dǎo)學(xué)生掌握解決排列，組合問(wèn)題的 基本思想，即分類與分步的思想，使學(xué)生在解題時(shí)有正確的思維方向；一個(gè)是掌握好二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公 式的應(yīng)用，這是二項(xiàng)式定理的考查核心. 【知識(shí)升華】 一、排列與組合 1、 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是關(guān)于計(jì)數(shù)的兩個(gè)基本原理，兩者的區(qū)別在于分步計(jì)數(shù)原理和分步 有關(guān)，分類計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān). 2、 排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進(jìn)行排列或組合，求共有多少種方 法的問(wèn)題.區(qū)別排列問(wèn)題與組合問(wèn)題要看是否與順序有關(guān)，與順序

3、有關(guān)的屬于排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)的屬于 組合問(wèn)題. 3、 排列與組合的主要公式 ① 排列數(shù)公式：A；；' = — = 〃(〃一 1) ? ? ? (〃 一 in 4-1) (mWn) (〃一 in)\ A： =n! =n(n—l)(n—2) 2 ? I. ② 組合數(shù)公式：C： =—-—= 〃E)(mWn). ml(n - m)\ x (〃？ 一 1) x ? ? ? x 2 x 1 ③ 組合數(shù)性質(zhì)：①C；：=C「"(mWn). ②C?+C：+C：+??? + C；；=2” ③ c? + c； + c；.?. = c：+c；+... = 2”t 4、 分類應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行，

4、確?！安宦?、“不重”，分步要做到“步驟連續(xù)”和“步驟獨(dú)立”，并 能完成事項(xiàng). 整數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)之和為256-72=184. 【例9】設(shè)(1 + x)* =%+qx + ... + 6史,則小。%中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】由題知=C； (i = 0,l,2,???8),逐個(gè)驗(yàn)證知C； = C； = 1,其它為偶數(shù)，選A。 【例10】若(A+—r的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)，則展開(kāi)式中F項(xiàng)的系數(shù)為 2x (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【答案】B 【解析】因?yàn)?工+上)〃的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)C；、*、成等差

5、數(shù)列，所以c?+Lc； = c：, 2x 2 4 4 即 /?2-9/2+ 8 = (),解得：〃 =8或 〃 =1 (舍)。7；+1 = C^~r(—Y = (-), o 令8 — 2,=4可得， 2x 2 尸=2,所以Y4的系數(shù)為q)2c；=7,故選B。 類型四、排列組合綜合問(wèn)題 【例11】現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張 卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為() A. 232 B. 252 C. 472 D. 484 【思路點(diǎn)撥】分兩類，含有紅色卡片、不含紅色卡片一(推理)含有紅色卡片時(shí)只要從其余的1

6、2張卡片中任 取2張即可，不含紅色長(zhǎng)片時(shí)只要從其余的12張卡片中任取3張且不是同一種顏色一(結(jié)論)根據(jù)分類加法 計(jì)數(shù)原理求出總數(shù). 【答案】C 【解析】方法1：若含有紅色卡片，則只要從其余12張卡片中任選2張即可，選法為C：C：=264種，若 不含紅色卡片，則只要從12選3的選法中去掉取同一種顏色的即可，選法為C% —3C： =208.所以總的選 法為 264+208=472. 方法2：若沒(méi)有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C：C!C=64種， 若2色相同，則有C；C；C：C： = 144：若紅色卡片有1張，則剩余2張若不同色，有= 種，若同色則有C\ Cl C

7、~ =72,所以共有64+144+192+72=472,故選C. 舉一反三： 【變式】某次會(huì)展共展出5件藝術(shù)作品，其中不同書(shū)法作品2件、不同繪畫(huà)作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)1 件，在展臺(tái)上將這5件作品排成一排，要求2件書(shū)法作品必須相鄰，2件繪畫(huà)作品不能相鄰，則該會(huì)展展 出這5件作品不同的方案有 種.(用數(shù)字作答) 【答案】24 【解析】2件書(shū)法作品看作一個(gè)整體，方法數(shù)是A；=2,把這個(gè)整體與標(biāo)志性建筑作品排列，有種排列 方法,其中隔開(kāi)了三個(gè)空位，在其中插入2件繪畫(huà)作品，有方法數(shù)A；=6.根據(jù)乘法原理，共有方法數(shù)2X2X6 =24. 5、 界定“元素與位置”要辯證地看待，“特殊元素”、“特

8、殊位置”可直接優(yōu)先安排，也可間接處理. 6、 解排列組合綜合問(wèn)題注意先選后排的原則，復(fù)雜的排列、組合問(wèn)題利用分類思想轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題 求解. 7、 常見(jiàn)的解題策略有以下幾種： （1） 特殊元素優(yōu)先安排的策略； （2） 合理分類與準(zhǔn)確分步的策略； （3） 排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略； （4） 正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略； （5） 相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略； （6） 不相鄰問(wèn)題插空處理的策略； （7） 定序問(wèn)題除法處理的策略； （8） 分排問(wèn)題直排處理的策略； （9） “小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略； （10） 構(gòu)造模型的策略. 二、二項(xiàng)式定理 1、 二項(xiàng)式定理

9、 （a +b）n =C? an+C* an_1b+...+C； an-rbr+...+C； b%其中各項(xiàng)系數(shù)就是組合數(shù)C：,展開(kāi)式共有n+1項(xiàng), 第 r+1 項(xiàng)是 Tp =C；an_rbr. 2、 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)Tr+i=C；an_rbr（r=0,l?..n）叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式。 3、 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) ① 在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等， 即 C： = C「（r=0,1,2,???,!!）. fl - ② 若n是偶數(shù)，則中間項(xiàng)（第《+ 1項(xiàng)）的二項(xiàng)公式系數(shù)最大，其值為C：：若n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)（第 %」項(xiàng)和

10、第%2項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，并且最大，其值為c〃2 =c,2 . ③ 所有二項(xiàng)式系數(shù)和等于2七即Ct +C； +C： +???■＜： =2氣 ④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和, 即C*+C：+???=Ct+C：+???=2n-i. 4、二項(xiàng)式定理解題：四大熱點(diǎn)，四條規(guī)律： （1） 四大熱點(diǎn)：①通項(xiàng)運(yùn)用型；②系數(shù)配對(duì)型；③系數(shù)和差型；④綜合應(yīng)用型. （2） 四條規(guī)律：①常規(guī)問(wèn)題通項(xiàng)分析法；②系數(shù)和差賦值法；③近似問(wèn)題截項(xiàng)法；④整除（或余數(shù)） 問(wèn)題展開(kāi)法. 【典型例題】 類型一、分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 【例1】用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小

11、方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂 不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？ 【思路點(diǎn)撥】顏色可以反復(fù)使用，即說(shuō)明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色，首先確定第一個(gè)小方 格的涂法，再考慮其相鄰的兩個(gè)小方格的涂法. 【解析】如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2, 3, 4,第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂 上，有5種不同的涂法. ①當(dāng)?shù)?、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有A：=12（種）不同的涂法，第4個(gè)小方格有 3種不同的涂法.由分步計(jì)數(shù)原理可知，有5X12X3=180（種）不同的涂法； I 1 I 9 I ②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂

12、法，由于相鄰兩格不同色，因此 第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知，有5X4X4=80（種）不同涂法.I ' 1 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有180+80=260（種）不同的涂法. 【總結(jié)升華】涂色問(wèn)題的解決方法 （1） 涂色問(wèn)題沒(méi)有固定的方法可循，只能按照題目的實(shí)際情況，結(jié)合兩個(gè)原理與排列組合的知識(shí)靈活 處理，其難點(diǎn)是對(duì)相鄰區(qū)域顏色不同的處理，解決的方法往往要采用分類討論的方法，根據(jù)“兩個(gè)原理” 計(jì)算. （2） 本題也可以考慮對(duì)使用的顏色的種數(shù)進(jìn)行分類，如果使用2種顏色，則只能是第1,4涂一種、第 2, 3涂一種，方法數(shù)是Cl =20；若是使用3種顏色，若第1,2,

13、3方格不同色，第4個(gè)方格只能和第1 個(gè)方格相同，方法數(shù)是C；A；=60,如果第1,2,3方格只用兩種顏色，則第4個(gè)方格只能用第3種顏色， 方法數(shù)是C；X3X2=60；如果使用4種顏色，方法數(shù)是C；A：=120.根據(jù)加法原理總的涂法種數(shù)是260. 舉一反三： 【變式】某次活動(dòng)中，有30個(gè)人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人任意2人 不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為 （用數(shù)字作答）. 【答案】7 200 【解析】其中最先選出的一個(gè)有30種方法，此時(shí)這個(gè)人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，選第二個(gè)人有20種方法，此時(shí)該人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)4

14、行3列的隊(duì)形，此時(shí)第 三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30X20X 12 = 7 200. 【例2】將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1 名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（） A. 12 種 B. 10 種 C. 9 種 D. 8 種 【思路點(diǎn)撥】先安排教師、再配之學(xué)生即可，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求之. 【答案】A 【解析】分別從2名教師中選1名，4名學(xué)生中選2名安排到甲地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)即可，則乙地就安排 剩下的教師與學(xué)生，故不同的安排方法共有C；C： = 12種.故選A. 【總結(jié)升華】?jī)蓚€(gè)基本原理

15、是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的根據(jù)，在計(jì)數(shù)問(wèn)題中一般是先根據(jù)不同情況進(jìn)行分類，然后 對(duì)于每一類的計(jì)數(shù)問(wèn)題再分步完成，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出每類的數(shù)目，最后使用分類加法計(jì)數(shù)原理 得到結(jié)果. 舉一反三： 【變式1】在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行的一項(xiàng)物理實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一 步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（） A. 34 種 B. 48種 C. 96 種 D. 144 種 【答案】C 【解析】先實(shí)施A,有2種編排方法；再將程序B和C視為一個(gè)整體（有2種順序）與其他3個(gè)程序全排列 共有2 種編排方法；故實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有2x2 =96種.故選C.

16、 【變式2］某次活動(dòng)中，有30個(gè)人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人任意2 人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為 .（用數(shù)字作答） 【答案】1200 【解析】其中最先選出的一個(gè)有3（）種方法，此時(shí)這個(gè)人所在的行和列共1（）個(gè)位置不能再選人，還剩一個(gè) 5行4列的隊(duì)形，選第二個(gè)人有20種方法，此時(shí)該人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形， 此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30X20X12 =1200種. 6 類型二、排列與組合 【例3】（1）從甲、乙等5個(gè)人中選出3人排成一列，則甲不在排頭的排法種數(shù)是 A. 12 B. 24

17、 C. 36 D. 48 （2）值域?yàn)椋?, 5, 1（）｝,其對(duì)應(yīng)關(guān)系為尸/+1的函數(shù)的個(gè)數(shù)為 A. 1 B. 27 C. 39 D. 8 【思路點(diǎn)撥】⑴分“選甲”與“不選甲”兩類進(jìn)行討論: （2）根據(jù)函數(shù)的值域，求出函數(shù)定義域中可能包含的元素，分類討論確定其定義域. 【答案】（1）D （2）B 【解析】⑴若選甲，則有種排法； 若不選甲，則有A；種排法，則共有+A；=48（種）. （2）分別由￥+1=2, ￥+1 = 5, *2+i = io解得*=±1, >=±2,》=±3,由函數(shù)的定義，定義域中 元素的選取分四種情況： ① 取三個(gè)元素：有- C\ - C；=8（種）；

18、 ② 取四個(gè)元素：先從±1, ±2, ±3三組中選取一組C；,再?gòu)氖Ｏ碌膬山M中選兩個(gè)元素故 共有C：? C\ - C； = 12（種）； ③ 取五個(gè)元素：C；=6（種）： ④ 取六個(gè)元素：1種. 由分類計(jì)數(shù)原理，共有8+12+6+1=27（種）. 【總結(jié)升華】排列、組合問(wèn)題的解法： 解排列組合綜合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類"、“分步"的角度入手.“分析”就是找出題目的條 件、結(jié)論.哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有無(wú) 限制等；“分類”就是對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；“分步”就 是把問(wèn)題化成凡

19、個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，然后逐步解決. 舉一反三： 【變式1】某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那 么不同的選派方案種數(shù)為 A. 14 B. 24 C. 28 D. 48 【答案】A 【解析】選1名女生的方案有：種；選2名女生的方案有：種； 故至少選1名女生共有：C；C： + C；C：=14種方案. 【變式2】用0,1,2, 3,4排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的 個(gè)數(shù)是 A. 36 B. 32 C. 24 I）. 20 【答案】1） 【解析】0,1, 2, 3,

20、4五個(gè)數(shù)字，偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰的排法共有種排法，其中0在首位的 排法有總種，所以共有 "- =20個(gè)五位數(shù). 【例4】一排9個(gè)座位坐了 3個(gè)三口之家.若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為() A. 3X3! B. 3X(3! )3 C. (3! )4 D. 9! 【思路點(diǎn)撥】將一家三口作為為一個(gè)集團(tuán)，三個(gè)集團(tuán)全排列，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得解； 【答案】C 【解析】由已知，該問(wèn)題是排列中捆綁法的應(yīng)用，即先把三個(gè)家庭看作三個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，而后每 個(gè)家庭內(nèi)部進(jìn)行全排列，即不同坐法種數(shù)為A； A； A； A；=(3!)七 【總結(jié)升華】本題是元素相鄰的排列，只要把相鄰元素看作一

21、個(gè)整體即可. 舉一反三： 【變式】(1)某市端午期間安排甲、乙等6支隊(duì)伍參加端午賽龍舟比賽，若在安排比賽賽道時(shí)不將甲安排 在第--及第二賽道上，且甲和乙不相鄰，則不同的安排方法有() A. 96 種 B. 192 種 C. 216 種 D. 312 種 (2)從5名學(xué)生中任選4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競(jìng)賽，且每科競(jìng)賽只有1人參加，若 甲不參加生物競(jìng)賽，則不同的選擇方案共有 種. 【答案］⑴D (2)96 【解析】⑴若甲在第三、四、五道，則乙的安排方法有三種，此時(shí)方法數(shù)是3X3XA：=216；若甲在第 六道，則乙的安排方法有四種，此時(shí)的方法數(shù)是4A：=96.故總數(shù)為21

22、6+96=312. (2)選出的4名學(xué)生如果不含甲，則方法數(shù)為A： =24；選出的5名學(xué)生如果含甲，選法為C：,甲的參 賽方法數(shù)是3,其余3個(gè)學(xué)生全排列，方法數(shù)是C；X3XA：=72.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，總的方法數(shù)是 24 + 72=96. 【例5】在送醫(yī)下鄉(xiāng)活動(dòng)中，某醫(yī)院安排3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生到三所鄉(xiāng)醫(yī)院工作，每所醫(yī)院至少安排 一名醫(yī)生，且女醫(yī)生不安排在同一鄉(xiāng)醫(yī)院工作，則不同的分配方法總數(shù)為() A. 78 B. 114 C. 108 D. 120 【思路點(diǎn)撥】先分組后分配，然后減去兩名女醫(yī)生在一個(gè)I關(guān)院的情況. 【答案】B =25,故分配方案的總 【解析】五人分組有(1

23、,1,3), (1,2,2)兩種分組方案，方法數(shù)是 數(shù)是25人；=150種.當(dāng)僅僅兩名女醫(yī)生一組時(shí)，分組數(shù)是C4,當(dāng)兩名女醫(yī)生中還有一名男醫(yī)生時(shí)，分組 方法也是C：,故兩名女醫(yī)生在一個(gè)醫(yī)院的分配方案是6^ =36.符合要求的分配方法總數(shù)是150-36=114. 【總結(jié)升華】在分配問(wèn)題中如果待分配的元素?cái)?shù)目多余分配的位置數(shù)目，就要先分組然后再進(jìn)行分配. 舉一反三： 【變式】201()年上海世博會(huì)某國(guó)將展出5件藝術(shù)作品，其中不同書(shū)法作品2件、不同繪畫(huà)作品2件、標(biāo)志 性建筑設(shè)計(jì) 1件，在展臺(tái)上將這5件作品排成一排，要求2件書(shū)法作品必須相鄰，2件繪畫(huà)作品不能相鄰，則該國(guó)展 出這5件作品不同

24、的方案有 種?(用數(shù)字作答) 【答案】24 【解析】把需要相鄰的兩個(gè)元素看做一個(gè)整體，然后不相鄰的元素外的元素進(jìn)行排列，在隔出的空位上安 排需要不相鄰的元素.2件書(shū)法作品看做一個(gè)整體，方法數(shù)是A；=2,把這個(gè)整體與標(biāo)志性建筑作品排列， 有種排列方法，其中隔開(kāi)了三個(gè)空位，在其中插入2件繪畫(huà)作品，有方法數(shù)A；=6.根據(jù)乘法原理，故 共有方法數(shù)2X2X6=24. 【例6高清視頻：復(fù)數(shù) 排列組合二項(xiàng)式定理例6課程11):369691］在直線ax + by + c = O中，a, b, c是 取自集合｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝中的3個(gè)不同元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么這樣的直線有

25、多少條？ 【思路點(diǎn)撥】把決定“直線條數(shù)”的特征性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為對(duì)“a, b, c”的情況討論。 【解析】設(shè)直線的傾斜角為a ,并且。為銳角。 則tana =— — >0,不妨設(shè)a>b,那么b<0 a 當(dāng)c尹0時(shí),則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法，并且其中任意兩條直線不重合，所以這樣的直線 有 3X3X4=36 條 當(dāng)c=0時(shí)，a有3種取法,b有3種取法，其中直線:3x-3y=0, 2x-2y=0, x-y=0重合，所以這樣的直線有3X 3-2=7 條 故符合條件的直線有7+3.6=43條 類型三、二項(xiàng)式定理 6 例7(1) (2015漳州二模)設(shè)a= f (cosx

26、-sinx) dx^則二項(xiàng)式 仁之+乏)展開(kāi)式中的X，項(xiàng)的 0 x 系數(shù)為( ) A. - 20 B. 20 C. - 160 D. 160 (2) (2015 浙江模擬)己知(a - x) 5=ao+ajx+a2X2+**+a5X5,若 a2=80,則 ao+ai+az+**+35=( )利用二 項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2求出a?,列出方程求出a,令二項(xiàng)展開(kāi)式的x=l求出展開(kāi)式的 系數(shù)和. A. 32 B. 1 C. - 243 D. 1 或-243 【思路點(diǎn)撥】(1)計(jì)算定積分求得a的值，在二項(xiàng)式(乂2+圣)E展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的幕指數(shù)等 于3,求得r的值，即

27、可求得展開(kāi)式中的b項(xiàng)的系數(shù). (2)利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2求出a2,列出方程求出a,令二項(xiàng)展開(kāi)式的x=l求 出展開(kāi)式的系數(shù)和. (1)【答案】C 【解忻】由于 a= J J (cosx_sinx) dx=(sinx+cosx) | - 2, 6 _o r 則二項(xiàng)式 怎2+史) 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+l=C?x"兀( )=(?2)「?C?x'"3r,令］2?3r=3, x 6 x 6 解得r=3,故展開(kāi)式中的x，項(xiàng)的系數(shù)為- 8x20=-160，故選C. ⑵【答案】B 【解析】(a-x) 5展開(kāi)式通項(xiàng)為Tw= ( - 1)ra5rC5rxr 令r=2

28、得 a2=a3C52=8O? 知 a=2 令二項(xiàng)展開(kāi)式的x=l得l8=l=ao+ai+...+a$故選B. 【總結(jié)升華】五招制勝，解決二項(xiàng)式問(wèn)題 二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，應(yīng)對(duì)二項(xiàng)式定理問(wèn)題主要有五種方法： (1)特定項(xiàng)問(wèn)題通項(xiàng)公式法；(2)系數(shù)和與差型問(wèn)題賦值法；(3)近似問(wèn)題截項(xiàng)法；(4)整除(或余數(shù))問(wèn)題展開(kāi)法; (5)最值問(wèn)題不等式法. 在二項(xiàng)式定理問(wèn)題中，常見(jiàn)的誤區(qū)有： (1) 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)『+1中，項(xiàng)數(shù)與k的關(guān)系搞不清； (2) 二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)混淆不清； (3)在展開(kāi)二項(xiàng)式(a-b)n或求特定項(xiàng)時(shí)，忽略中間的“一”號(hào). 舉一反三: 【變式】(201

29、5 成都校級(jí)模擬)在(x2+^) ”的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式 X ) C. 30 D. 120 中常數(shù)項(xiàng)是( A. 15 B. 20 【答案】A 【解析】..?二項(xiàng)展開(kāi)式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 又?. ?二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第4項(xiàng) ???展開(kāi)式中共有7項(xiàng) /. n=6 展開(kāi)式的通項(xiàng)為L(zhǎng)+1 =Cg (x2) 6r (1) r=C6rxl2'3r 令 12 ? 3r=0, r=4, 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為T5=C64=15故選A 【例8】(1) (x2+2)(4-D5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是() x A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 (

30、2)設(shè)。UZ,且 0Wovl3,若 512012+? 能被 13 整除，貝ij a={ ) A. 0 B. I C. 11 D. 12 【思路點(diǎn)撥】(I)要求展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)需使用多項(xiàng)式乘法法則，先求(4■-1)5展開(kāi)式中『2的系數(shù)和常數(shù) X_ 項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得結(jié)果; (2)要求。值需知512 32被13除所得余數(shù)，先變形51=4X13 — 1后使用二項(xiàng)式定理得之，再根據(jù)余數(shù) 確定。值. 【答案】(1)D (2)D 【解析】⑴因?yàn)椤?— — ,又2(4-I)5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 x~ x~ ；r 2C；([)°(-I)』一2, x2(4-D5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為故二項(xiàng)式

31、(J+2)(4-V x x x r 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為一 2+5 = 3. (2)512°i2 + o = 】 +(i3X4 — 1)2 °12 =。+(1 —13X4)2" =。+[ — Go. X4+C；o[2(13X4)2 + ???+C拾; (13X"i2, 顯然當(dāng)。+1 = 13奴 kEZ,即 〃=一1 + 13奴 AEZ 時(shí)，5】2。12+。= |3婦~ 13X4[-Cou +Un2 (13X4》 +…+C器？(13X4)2 31],能被13整除?因?yàn)橐嘁?旦。Wovl3,所以“=12.故選D. 【總結(jié)升華】?jī)蓚€(gè)二項(xiàng)式相乘時(shí)求其中某項(xiàng)的系數(shù)，需要根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行，此

32、時(shí)要注意不要漏掉 了其中的項(xiàng)，要把各種可能的情況都考慮進(jìn)去：二項(xiàng)式定理解決整除性問(wèn)題時(shí)，需要構(gòu)造二項(xiàng)式，基本原 則是根據(jù)除數(shù)對(duì)己知式進(jìn)行變換. 舉一反三： 【變式】⑴(1+歡)6(1 +*)"展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為() A. 1 B. 46 C. 4245 D. 4246 (2)(五+ —巳)' 的展開(kāi)式中，含x的非整數(shù)次'舔的項(xiàng)的系數(shù)之和為() A. 256 B. 184 C. 120 D. 72 【答案】(1)D (2)B 1 ? 4 5 【解析】(1)第一個(gè)展開(kāi)式中x的指數(shù)依次是0, — , — , 1,—,己，2,第二個(gè)展開(kāi)式中x的指數(shù)依次 3 3 3 3 1 1 3 5 3 7 9 5 是0, ——，-1, — 一，-2,根據(jù)多項(xiàng)式的乘法規(guī)則，常數(shù) 4 2 4 4 2 4 4 2 項(xiàng)只能是第一個(gè)展開(kāi)式中x的指數(shù)是0,1,2的項(xiàng)與第二個(gè)展開(kāi)式中x的指數(shù)是0.-L-2的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積, 根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式得，(1 +衣三(1+4產(chǎn)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為l + C；C% + CfC%=4246.正確選項(xiàng) 為D. 1 丑_? (2)Tru=C；^)r(-=)s-r = C；x7_~,當(dāng)，=0,4,8時(shí)為含X的整數(shù)次'舔的項(xiàng)，所以展開(kāi)式中含X的整 數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)之和為C? + C： +的=72,展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為28=256,故展開(kāi)式中含x的非