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2019-2020年人教A版高一數(shù)學(xué)必修一 3-2-2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例 教案 一、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能： 1．會(huì)分析所給出數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖． 2．會(huì)利用選擇或建立的函數(shù)模型． 3．會(huì)運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題． 過程與方法： 1．通過對(duì)給出的數(shù)據(jù)的分析，抽象出相應(yīng)的確定性函數(shù)模型，并驗(yàn)證函數(shù)模型的合理性． 2．通過收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并通過觀察圖像判斷問題所適用的函數(shù)模型，在合理選擇部分?jǐn)?shù)據(jù)計(jì)算機(jī)的擬合功能得出具體的滿意的函數(shù)解析式，并應(yīng)用模型解決實(shí)際問題． 情感、態(tài)度和價(jià)值觀： 1．經(jīng)歷建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)源自生活，服務(wù)生活，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值． 2．培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和探索精神，優(yōu)化學(xué)生的理性思維和求真務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度． 二、重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并通過觀察圖像選擇問題所適用的函數(shù)模型，利用演算或計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)建立具體的函數(shù)解析式． 難點(diǎn)：怎樣合理分析數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型和建立具體的函數(shù)解析式． 三、教學(xué)方法 通過讓學(xué)生觀察、思考、交流、討論、展示。 四、教學(xué)過程 （1）溫故知新，提出問題；上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題，主要的函數(shù)模型有，，，．但在實(shí)際解決問題中，我們常常碰到?jīng)]有函數(shù)模型或不能建立確切的函數(shù)模型，那我們又改如何選擇和確定函數(shù)模型，如何解決實(shí)際問題呢？ 設(shè)計(jì)意圖：從溫故的角度自然地復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)模型內(nèi)容，進(jìn)入學(xué)習(xí)函數(shù)模型實(shí)際應(yīng)用的情景，以及為本節(jié)課中選擇函數(shù)模型作好鋪墊．同時(shí)提出沒有函數(shù)模型或不能建立確切的函數(shù)模型的實(shí)際問題如何解決，明確本節(jié)課的任務(wù)，以及點(diǎn)出本節(jié)課的課題． （2）問題探究；例1 人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y=y0ert，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率. 下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 人數(shù)/萬人 55196 56300 57482 58796 60266 年份 1955 1956 1957 1958 1959 人數(shù)/萬人 61456 62828 64563 65994 67207 （1）如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符； （2）如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億？ 師生：共同完成例1 解答： （1）設(shè)1951~1959年的人口增長(zhǎng)率分別為r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增長(zhǎng)率，r1≈0.0200. 同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276， r8≈0.0222，r9≈0.0184. 于是，1951~1959年期間，我國人口的年均增長(zhǎng)率為；r(r1+r2+…+r9)9≈0.0221. 令y0=55196，則我國在1950~1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為y=55196e0.0221t，t∈N. 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖并作出函數(shù)y=55196e0.0221t (t∈N)的圖象 由圖可以看出，所得模型與1950~1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合. （2）將y=130000代入y=55196e0.0221t， 由計(jì)算器可得t≈38.76. 所以，如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而是讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國將面臨難以承受的人口壓力. 例2 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表 身高/cm 60 70 80 90 100 110 體重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 身高/cm 120 130 140 150 160 170 體重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 （1）根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式. （2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？ 解答：（1）以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖.根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可考慮以y=abx作為刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型. 如果取其中的兩組數(shù)據(jù)(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=abx得：，用計(jì)算器算得a≈2，b≈1.02. 這樣，我們就得到一個(gè)函數(shù)模型：y=21.02x. 將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，或作出上述函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系. （2）將x=175代入y=21.02x得y=21.02175，由計(jì)算器算得y≈63.98. 由于7863.98≈1.22＞1.2， 所以，這個(gè)男生偏胖. 設(shè)計(jì)意圖：利用問題串引導(dǎo)學(xué)生分析問題所提供的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，由數(shù)據(jù)特點(diǎn)抽象出函數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生建模能力，從而提高解決問題的能力．學(xué)生獨(dú)立思考與學(xué)生小組合作，即鍛煉學(xué)生的思考能力，又加強(qiáng)學(xué)生的小組合作，學(xué)會(huì)團(tuán)結(jié)合作，為下一種選擇函數(shù)模型作好必要知識(shí)和能力鋪墊．利用圖像發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型，滲透數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)加深對(duì)函數(shù)的表格、解析式、圖像的三種表示形式． 歸納總結(jié)：通過建立函數(shù)模型，解決實(shí)際實(shí)際問題的基本過程： 設(shè)計(jì)意圖：回顧解題過程，系統(tǒng)總結(jié)一個(gè)較為完整的建立函數(shù)模型解決問題的過程，學(xué)生理解從解題過程上升為解題策略，培養(yǎng)學(xué)生的反思和總結(jié)能力． 當(dāng)堂檢測(cè)： 1．某商人購貨，進(jìn)價(jià)按原價(jià)扣去25%，他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后可獲得售價(jià)25%的純利，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)與按新價(jià)讓利總額之間的函數(shù)關(guān)系是 . 2．已知鐳經(jīng)過100年，質(zhì)量便比原來減少4.24%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過年后的剩留量為，則的函數(shù)解析式為 . 3．某企業(yè)實(shí)行裁員增效.已知現(xiàn)有員工人，每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬元，據(jù)評(píng)估在生產(chǎn)條件不變的條件下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)收0.01萬，但每年需付給每位下崗工人0.4萬元的生活費(fèi)，并且企業(yè)正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的，設(shè)該企業(yè)裁員人后年純收益為萬元. (1)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍. (2) 當(dāng)時(shí)，問該企業(yè)應(yīng)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益？(注：在保證能取得最大經(jīng)濟(jì)效益的情況下，能少裁員，應(yīng)盡量少裁.) 4．某工廠今年1月，2月，3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了預(yù)測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份數(shù)的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)(其中，，為常數(shù)).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請(qǐng)問選擇以上哪個(gè)函數(shù)作為模型較好？并說明理由. 答案；1．(x?N*) 2． 3．(1)由題意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x， 因?yàn)?，所?即x的取值范圍是中的自然數(shù). (2)因?yàn)椋?40＜a≤280，所以當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，，y取最大值.當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，，y取最大值.(因?yàn)楸M可能少裁人，所以舍去.) 答：當(dāng)員工人數(shù)為偶數(shù)時(shí)，裁員人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)員工人數(shù)為奇數(shù)時(shí)， 裁員 人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益. 4．設(shè)y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則有；解得 所以f(4)＝－0.0542＋0.354＋0.7＝1.3.① 設(shè)y2＝g(x)＝mnx＋p則有；解得 所以g(4)＝－0.80.54＋1.4＝135.② 比較①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的實(shí)際產(chǎn)量1.37萬件.故選擇y＝－0.80.5x＋1.4作為模型較好. 五、課堂小結(jié) 所謂數(shù)學(xué)模型是指對(duì)客觀實(shí)際的特征或數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象概括，用形式化的數(shù)學(xué)語言表述的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型剔除了事物中一切與研究目標(biāo)無本質(zhì)聯(lián)系的各種屬性，在純粹狀態(tài)下研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，函數(shù)就是最重要的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)解決方程問題，使求解變得容易進(jìn)行，這是數(shù)學(xué)模型間的相互轉(zhuǎn)換在發(fā)揮作用.而用函數(shù)解決實(shí)際問題，則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁. 六、課后作業(yè) 課時(shí)練與測(cè) 七、教學(xué)反思