新編人教版精品教學(xué)資料 1.2.2　函數(shù)的表示法 第1課時　函數(shù)的表示法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點.2.掌握求函數(shù)解析式的常見方法(重點、難點)． 預(yù)習(xí)教材P19－P20，完成下面問題： 知識點　函數(shù)的三種表示方法 表示法 定義 解析法 用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 圖象法 用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 列表法 列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 【預(yù)習(xí)評價】　(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何一個函數(shù)都可以用列表法表示．(　　) (2)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示．(　　) (3)函數(shù)的圖象一定是其定義區(qū)間上的一條連續(xù)不斷的曲線．(　　) 提示　(1)×　如果函數(shù)的定義域是連續(xù)的數(shù)集，則該函數(shù)就不能用列表法表示； (2)×　有些函數(shù)的是不能畫出圖象的，如f(x)＝； (3)×　反例：f(x)＝的圖象就不是連續(xù)的曲線． 題型一　作函數(shù)的圖象 【例1】　作出下列函數(shù)的圖象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； (2)y＝x2－2x(x∈[0,3))． 解　 (1)這個函數(shù)的圖象由一些點組成，這些點都在直線y＝x＋1上，如圖(1)所示． (2)因為0≤x＜3，所以這個函數(shù)的圖象是拋物線y＝x2－2x介于0≤x＜3之間的一部分，如圖(2)所示． 規(guī)律方法　作函數(shù)圖象的步驟及注意點 (1)作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點、連線．作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖象． (2)函數(shù)的圖象可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關(guān)鍵點，如圖象與坐標(biāo)軸的交點、區(qū)間端點，二次函數(shù)的頂點等等，還要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點． 【訓(xùn)練1】　畫出下列函數(shù)的圖象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)． 解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖象如圖(1)． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余曲線．如圖(2)． 題型二　列表法表示函數(shù) 【例2】　已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 則f(g(1))的值為________；滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________． 解析　∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1. f(g(x))與g(f(x))與x相對應(yīng)的值如下表所示： x 1 2 3 f(g(x)) 1 3 1 g(f(x)) 3 1 3 ∴f(g(x))>g(f(x))的解為x＝2. 答案　1　2 規(guī)律方法　列表法表示函數(shù)的相關(guān)問題的解法 解決此類問題關(guān)鍵在于弄清每個表格表示的函數(shù)，對于f(g(x))這類函數(shù)值的求解，應(yīng)從內(nèi)到外逐層求解，而求解不等式，則可分類討論或列表解決． 【訓(xùn)練2】　已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 (1)f[g(1)]＝__________； (2)若g[f(x)]＝2，則x＝__________. 解析　(1)由表知g(1)＝3， ∴f[g(1)]＝f(3)＝1； (2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2， 再由表知x＝1. 答案　(1)1　(2)1 考查方向 　題型三　求函數(shù)的解析式 方向1　待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 【例3－1】　(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝16x－25，則函數(shù)f(x)的解析式為________． (2)已知f(x)是二次函數(shù)且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，則函數(shù)f(x)的解析式為________． 解析　(1)設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，則f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，所以解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝， 所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋. (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，則f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x. 故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1. 答案　(1)f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋　(2)f(x)＝x2－x＋1 方向2　換元法(或配湊法)、方程組法求函數(shù)解析式 【例3－2】　(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 解　(1)法一　(換元法)：令t＝＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二　(配湊法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因為＋1≥1，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，① ∴將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.② ∴由①②得3f(x)＝x2－6x， ∴f(x)＝x2－2x. 規(guī)律方法　求函數(shù)解析式的類型及方法 (1)若已知所要求的解析式f(x)的類型，可用待定系數(shù)法求解，其步驟為：①設(shè)出所求函數(shù)含有待定系數(shù)的解析式； ②把已知條件代入解析式，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)； ③解方程(組)，得到待定系數(shù)的值； ④將所求待定系數(shù)的值代回所設(shè)解析式． (2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有兩種方法： ①換元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意：換元后新元的范圍． ②配湊法，即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可． (3)方程組法：當(dāng)同一個對應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時，可構(gòu)造方程組求解． 課堂達(dá)標(biāo) 1．下列函數(shù)y＝f(x)，則f(11)＝(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A．2　　　 B．3　　　 C．4　　 D．5 解析　由表可知f(11)＝4. 答案　C 2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，則f(x)的表達(dá)式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x　　　 B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3　　 D．f(x)＝x2＋6x－10 解析　法一　設(shè)t＝x－1，則x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5， ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，f(x)的表達(dá)式是f(x)＝x2＋6x； 法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)， ∴f(x)＝x2＋6x； ∴f(x)的表達(dá)式是f(x)＝x2＋6x.故選A． 答案　A 3．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(f(3))＝________. x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 解析　由題設(shè)給出的表知f(3)＝4，則f(f(3))＝f(4)＝1，故填1. 答案　1 4．已知f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，則f(x)的解析式為________． 解析　設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b. ∴解得或 答案　f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8 5．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)畫出f(x)圖象的簡圖； (2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域． 解　(1)f(x)圖象的簡圖如圖所示． (2)觀察f(x)的圖象可知，f(x)圖象上所有點的縱坐標(biāo)的取值范圍是[－1,3]，則f(x)的值域是[－1,3]． 課堂小結(jié) 1．函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點 2.描點法畫函數(shù)圖象的步驟：(1)求函數(shù)定義域；(2)化簡解析式；(3)列表；(4)描點；(5)連線． 3．求函數(shù)解析式常用的方法有：(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)消元法等．