2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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1.3.2 “楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì) [教材研讀] 預(yù)習(xí)教材P32~35,思考以下問題 1.楊輝三角具有哪些特點? 2.二項式系數(shù)的性質(zhì)有哪些? [要點梳理] 1.楊輝三角的特點 (1)在同一行中每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等. (2)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和,即C=C+C. 2.二項式系數(shù)的性質(zhì) [自我診斷] 判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”) 1.楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列.( ) 2.二項式展開式的二項式系數(shù)和為C+C+…+C.( ) 3.二項式展開式中系數(shù)最大項與二項式系數(shù)最大項相同.( ) [答案] 1.√ 2. 3. 思考:楊輝三角的第n行數(shù)字規(guī)律與二項展開式有何聯(lián)系? 提示:楊輝三角的第n行數(shù)字規(guī)律是二項式(a+b)n展開式的二項式系數(shù),即(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Cbn. 如圖在“楊輝三角”中,斜線AB的上方,從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,記其前n項和為Sn,求S19的值. [解] 由圖知,數(shù)列中的首項是C,第2項是C,第3項是C,第4項是C,…,第17項是C,第18項是C,第19項是C. ∴S19=(C+C)+(C+C)+(C+C)+…+(C+C)+C=C+C+C+…+C+C=C+C+C+C+…+C-1+C=C-1+C=274. 解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路 (1)觀察:對題目進(jìn)行多角度觀察,找出每一行的數(shù)與數(shù)之間,行與行之間的數(shù)的規(guī)律. (2)表達(dá):將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá). (3)結(jié)論:由數(shù)學(xué)表達(dá)式得出結(jié)論. 【溫馨提示】 楊輝三角的作用 (1)直觀地看出或探究二項式系數(shù)的性質(zhì); (2)當(dāng)二項式系數(shù)不大時,可借助它直接寫出各項的二項式系數(shù). [跟蹤訓(xùn)練] 如圖,在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中,第________行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3. [解析] 由楊輝三角知,第一行中的數(shù)是C,C;第2行中的數(shù)是C,C,C;第3行中的數(shù)是C,C,C,C,…,第n行中的數(shù)是C,C,C,…,C,設(shè)第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3,則C∶C=2∶3,解之得n=34. [答案] 34 題型二 求展開式的系數(shù)和 思考:(a+b)n的展開式的二次項系數(shù),當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式: 計算每一行的系數(shù)和,你能看出什么規(guī)律? 提示:2,4,8,16,32,64,…,其系數(shù)和為2n. 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. [思路導(dǎo)引] 解決此類問題常用賦值法,對x賦特殊的值,從而求解. [解] (1)令x=0,則a0=-1, 令x=1,則a7+a6+…+a1+a0=27=128.① 所以a1+a2+…+a7=129. (2)令x=-1, 則-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,② 由得:a1+a3+a5+a7=[128-(-4)7]=8256. (3)由得:a0+a2+a4+a6=[128+(-4)7]=-8128. (4)解法一:∵(3x-1)7展開式中a0,a2,a4,a6均小于零,a1,a3,a5,a7均大于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =a1+a3+a5+a7-(a0+a2+a4+a6)=8256-(-8128)=16384. 解法二:|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| 即為(1+3x)7展開式中各項的系數(shù)和, 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(1+3)7=47=16384. “賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法,根據(jù)題目要求,靈活賦給字母不同值.一般地,要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系,令x=0可得常數(shù)項,令x=1可得所有項系數(shù)之和,令x=-1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差. [跟蹤訓(xùn)練] 已知(1-3x)8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8.求: (1)a0+a1+…+a8; (2)a0+a2+a4+a6+a8; (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|. [解] (1)令x=1,得a0+a1+…+a8=28=256.① (2)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=48.② ①+②,得2(a0+a2+a4+a6+a8)=28+48, ∴a0+a2+a4+a6+a8=(28+48)=32896. (3)由于(1-3x)8=C+C(-3x)+C(-3x)2+…+C(-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8, 故a0,a2,a4,a6,a8>0,a1,a3,a5,a7<0, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8=48=65536. 思考:二項展開式中系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項),這種說法對嗎? 提示:錯誤.二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的,二項式系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項),但是項的系數(shù)的最大值與項其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān). 已知f(x)=n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992. (1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項; (2)求展開式中系數(shù)最大的項. [思路導(dǎo)引] 令x=1,求得各項系數(shù)和,而二項式系數(shù)之和為2n,依題意可解得n的值. [解] (1)令x=1,則二項式各項系數(shù)的和為f(1)=(1+3)n=4n,又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知,4n-2n=992. ∴(2n)2-2n-992=0, ∴(2n+31)(2n-32)=0, ∴2n=-31(舍),或2n=32, ∴n=5. 由于n=5為奇數(shù),所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項,它們分別是 T3=C(x)3(3x2)2=90x6, T4=C(x)2(3x2)3=270x. (2)展開式的通項公式為Tr+1=C3rx(5+2r). 假設(shè)Tr+1項系數(shù)最大,則有 ∴ ∴ ∴≤r≤.∵r∈N,∴r=4. ∴展開式中系數(shù)最大的項為T5=C34x=405x. (1)求二項式系數(shù)最大的項,要依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a+b)n中的n進(jìn)行討論,n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大;n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大. (2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的.求展開式系數(shù)最大的項,如求(a+bx)n(a、b∈R展開式中系數(shù)最大的項,一般是采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1,A2,…,An+1,且第r+1項系數(shù)最大,應(yīng)用解出r來,即得系數(shù)最大的項. [跟蹤訓(xùn)練] 在8的展開式中, (1)求二項式系數(shù)最大的項; (2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項? [解] Tr+1=C()8-rr=(-1)rC2rx. (1)二項式系數(shù)最大的項為中間項,即為第5項, 故T5=C24x=1120x-6. (2)設(shè)第r+1項系數(shù)的絕對值最大, 則即 整理得于是r=5或6. 故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項. 1.本節(jié)課的重點是二項式系數(shù)的性質(zhì)及展開式的系數(shù)和問題,難點是二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用. 2.本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)與楊輝三角有關(guān)的問題,見典例1; (2)求展開式的系數(shù)和,見典例2; (3)展開式中的最大值問題,見典例3. 3.要重點關(guān)注以下幾個易錯點 (1)若展開式的系數(shù)的絕對值與對應(yīng)二項式系數(shù)相等,可轉(zhuǎn)化為確定二項式系數(shù)的最值來解決. (2)一般地,二項展開式f(x)中的各項系數(shù)和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)和為[f(1)+f(-1)],偶數(shù)項系數(shù)和為[f(1)-f(-1)]. (3)“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題的常用方法,賦值就是對展開式中的字母用具體數(shù)值代替,注意賦的值要有利于問題的解決,賦值時可以取一個值或幾個值,也可以取幾組值,解決問題時要避免漏項等情況.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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