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2019-2020年高一數(shù)學(xué)必修4 第三章 簡(jiǎn)單的三角恒等變換小結(jié)與復(fù)習(xí) 教案 一、【教學(xué)目標(biāo)】 重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生在已有的公式基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換，體會(huì)三角變換的特點(diǎn). 難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過(guò)程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過(guò)程的能力. 知識(shí)點(diǎn)：三角恒等變換. 能力點(diǎn)：通過(guò)變換，使學(xué)生在變換的思想和方法的過(guò)程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力. 教育點(diǎn)：通過(guò)公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn). 自主探究點(diǎn)：利用已有公式證明積化和差、和差化積公式. 訓(xùn)練（應(yīng)用）點(diǎn)：利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與證明 考試點(diǎn)：簡(jiǎn)單的三角恒等變換. 易錯(cuò)易混點(diǎn)：和（差）角公式，倍角公式的符號(hào)以及特殊角的三角函數(shù)值. 拓展點(diǎn)：所有公式之間的內(nèi)在聯(lián)系. 兩角和與差的正弦、 余弦、正切公式 二、【知識(shí)梳理】 二倍角的正弦、 余弦、正切公式 公式 公式 兩 弦 角 余 和 弦 與 正 差 切 的 公 正 式 公式的運(yùn)用 公式 注意角度的各種存在形式 公式 利用三角函數(shù)求最值問(wèn)題 公式 給角求值 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 給值求值 簡(jiǎn)恒單等的變?nèi)?換角 三角函數(shù)式的求值 給式求值 給值求角 三角函數(shù)式的證明 “化一”公式的應(yīng)用 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式 ；； . 2.三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧 （1）常見(jiàn)角的變換：；；；；； （2）方程思想： 知一求二； （3）“1”的替換：等； （4）切弦互化； （5）公式變形 ； （6）輔助角公式： (其中輔助角所在象限由點(diǎn)所在的象限決定, ). 常用結(jié)論 : ， . 3.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)與方法: 化為單角或同角，函數(shù)名稱少，次數(shù)盡量低，盡量不含分母和根號(hào).口訣：大角化小角，負(fù)角化正角，異名化同名，切化弦，高次化低次. 4.三角函數(shù)式的求值的類(lèi)型一般可分為: (1)“給角求值”：給出非特殊角求式子的值——化非特殊角為特殊角，再用公式計(jì)算； （2）“給值求值”：給出一些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)式的值——變換角,找出已知角與所求角的聯(lián)系； （3）“給式求值”：給出的三角函數(shù)式的值，求其他式子的值——化簡(jiǎn)已知式或所求式，再求； （4）“給值求角”：——先求角的某一三角函數(shù)值,結(jié)合角的范圍求出角,要特別注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，有時(shí)需要討論. 5.證明及其基本方法: （1）化繁為簡(jiǎn)法； （2）左右歸一法 ； （3）變更命題法； （4）條件等式的證明關(guān)鍵在于分析已知條件與求證結(jié)論之間的區(qū)別與聯(lián)系． 三、【范例導(dǎo)航】 例1.求值： . 【分析】這道題目中出現(xiàn)了很多不同的角，所以要充分把握角之間的關(guān)系，通過(guò)通分、切化弦以及和（差）角、倍角公式化異為同. 【解答】原式 【點(diǎn)評(píng)】在解決化簡(jiǎn)求值一類(lèi)題目時(shí)，要注意三看，一看角，二看函數(shù)名，三看形式，從而找到問(wèn)題的切入點(diǎn)． 變式訓(xùn)練：求的值． 【分析】從形式上看，因此把代換成，接著提取公因式再利用和(差)角公式就能夠求出其值． 【解答】原式 【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查角的變換、兩角和與差的的正余弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力． 例2.證明：. 證明：左邊 右邊 所以等式成立. 變式訓(xùn)練：證明：（1）； （2） 【分析】（1）從形式上看可以利用二倍角公式進(jìn)行證明； （2）從形式上看，因此通分之后利用和（差）角公式就可以證明. 【解答】證明：（1） 原式左邊 右邊 所以等式成立. （2） 原式左邊 右邊 所以等式成立. 【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查角的變換、兩角和與差的的正余弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力． 例3. 求函數(shù)的最小正周期和最小值，并寫(xiě)出該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間． 【分析】通過(guò)平方差公式和化一變形公式化成這種形式，即可討論其所有的性質(zhì)． 【解答】 所以，最小值為; 由得 又因?yàn)? 所以該函數(shù)的遞增區(qū)間為. 【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)題目平方差公式是入手點(diǎn)，能夠看到這一點(diǎn)，后面的問(wèn)題就迎刃而解. 變式訓(xùn)練：已知函數(shù). （1）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； （2）若，求的值． 【分析】可以化成的形式，然后再求周期、及最值等，本題應(yīng)先降冪，利用，比較簡(jiǎn)單，必須掌握． 【解答】（1） 所以函數(shù)的最小正周期為. 因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)， 又， 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1; （2）由（1）可知, 又因?yàn)?，所以? 由，得， 從而， 所以 ． 【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力． 例4. 在中，，求的值. 【分析】由于是三角形，所以隱含的條件就是，因此，那么利用兩角和的余弦公式就可以求解. 【解答】因?yàn)?，所? 又因?yàn)?，所以? （1）若角為銳角，顯然符合題意； （2）若角為鈍角，因?yàn)?，所以? 又，所以， 故，不符合題意，舍去； 所以 【點(diǎn)評(píng)】本題的思路還是比較清晰的，但是經(jīng)過(guò)計(jì)算之后，會(huì)發(fā)現(xiàn)有兩組值，而其中有一組值是不符合題意的，需要舍去，所以這里是一個(gè)非常容易忽略的地方，因此需要特別注意. 變式訓(xùn)練：設(shè)都是銳角，且，求. 【分析】從形式上看，所以可以利用兩角差的余弦公式展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算． 【解答】因?yàn)榍?，所以? 又因?yàn)?，所以? 而，，故， 因此，所以； 所以 【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)題目同例4類(lèi)似，在求的值時(shí)有兩個(gè)值，但是同樣需要根據(jù)已知條件舍去一個(gè)值，這是本題的難點(diǎn)，具體操作時(shí)要和學(xué)生進(jìn)行充分地討論，為什么要舍去一個(gè)值，明白其來(lái)龍去脈. 四、【解法小結(jié)】 1.運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通，熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征； 2. 在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值； 3.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃? 五、【布置作業(yè)】 必做題： 1.設(shè)為銳角，若，則的值為 　　 ． 2. 等于 　　 ． 3. 如果，那么等于 　　 ． 4．已知函數(shù)，（其中）的最小正周期為． （1）求的值； （2）設(shè)，，，求的值． 答案：1.；　　2.；　　3．；　　4. ，. 選做題：設(shè). （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值及相應(yīng)的取值. 答案：（1）；（2）. 六、【教后反思】 三角恒等變換這一章最大的特點(diǎn)是公式非常多，因此熟練掌握公式是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，所以本節(jié)課在一開(kāi)始就列出了本章的知識(shí)脈絡(luò)以及出現(xiàn)的公式，目的是讓學(xué)生從宏觀上把握這一章的內(nèi)容；本節(jié)課所選擇的例題具有一定的代表性，主要是讓學(xué)生理解公式在恒等變換中的綜合應(yīng)用以及方法技巧的掌握，目的在于訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力、變通能力，由于個(gè)別題目較難，所以在具體實(shí)施時(shí)遇到了一定的困難，沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的效果，應(yīng)想辦法把一個(gè)難的問(wèn)題分解，讓學(xué)生能夠愉快地接受．