數(shù)形結(jié)合思想專練 一、選擇題 1．若f(x)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又f(－3)＝0，則xf(x)<0的解集是(　　) A．{x|－3<x<0或x>3} B．{x|x<－3或0<x<3} C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3<x<0或0<x<3} 答案　B 解析　 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則在(－∞，0)上是減函數(shù)． 而xf(x)是奇函數(shù)，畫 xf(x)大致圖象如圖， 由圖可知：xf(x)<0的解集為{x|x<－3或0<x<3}．故選B． 2．如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，則的最大值為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　方程(x－2)2＋y2＝3的幾何意義為坐標(biāo)平面上的一個圓，圓心為M(2，0)，半徑為r＝(如圖)，而＝，則表示圓M上的點(diǎn)A(x，y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)的連線的斜率．所以該問題可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)A在以M(2，0)為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值．由圖可知當(dāng)∠OAM在第一象限，且直線OA與圓M相切時，OA的斜率最大，此時OM＝2，AM＝，OA⊥AM，則OA＝＝1，tan∠AOM＝＝，故的最大值為．故選D． 3．已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C． D． 答案　C 解析　如圖，設(shè)O＝a，O＝b，O＝c，則C＝a－c，C＝b－c． 由題意知C⊥C，∴O，A，C，B四點(diǎn)共圓．∴當(dāng)OC為圓的直徑時，|c|最大，此時，|O|＝． 4．(2019貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱 B．函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù) C．函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸 D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱 答案　A 解析　由f(x)＝＝2＋知f(x)是y＝(a>0)型函數(shù)，作出其簡圖如圖所示．從圖象可以看出f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，2)成中心對稱；其在區(qū)間(－∞，1)和(1，＋∞)上均是減函數(shù)；沒有能使AB∥x軸的點(diǎn)存在．即只有A正確．故選A． 5．定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x)＝f(4－x)＝f(x－4)，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝3x－x－1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|的零點(diǎn)個數(shù)為(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 答案　B 解析　由題意知，f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線x＝2對稱，周期是4．當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝3x－x－1，f′(x)＝3xln 3－1，則f′(x)≥0在[0，2]上恒成立，由此作出函數(shù)f(x)的圖象．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|log2(x－1)|的圖象，由圖象知，兩函數(shù)圖象共有32個交點(diǎn)，則函數(shù)g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|共有32個零點(diǎn)，故選B． 二、填空題 6．當(dāng)x∈(1，2)時，(x－1)2<logax恒成立，則a的取值范圍為________． 答案　(1，2] 解析　在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的圖象，若y＝logax過(2，1)，則loga2＝1，∴a＝2．結(jié)合圖形，若使x∈(1，2)時，(x－1)2<logax恒成立，則1<a≤2． 7．已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－2，4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使△APF的周長最小，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 答案?。?， 解析　因?yàn)?－2)2<84， 所以點(diǎn)A(－2，4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部，如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，連接AQ，由拋物線的定義可知，△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點(diǎn)共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|．因?yàn)锳(－2，4)，所以不妨設(shè)△APF的周長最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為－2，． 8．(2018北京模擬)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)．當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝2x．若在區(qū)間[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　， 解析　由題可知f(x)為周期為2的偶函數(shù)，可得圖象如右，因?yàn)樵趨^(qū)間[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四個不相等的實(shí)數(shù)根，即過定點(diǎn)A(－2，0)的直線y＝ax＋2a在區(qū)間[－2，3]與函數(shù)f(x)圖象恰有四個交點(diǎn)，則由圖可知直線斜率kAC<a<kAB，由A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)可得斜率kAC＝，kAB＝，即可得a的取值范圍為，． 三、解答題 9．(2018山西四校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|． (1)求f(x)的最小值，并求出f(x)取最小值時x的取值范圍； (2)若不等式f(x)≤a(x＋1)的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2時取等號，∴f(x)min＝3，此時x∈[－1，2]． (2)f(x)＝ 那么函數(shù)f(x)的圖象如圖所示． 由于y＝a(x＋1)的圖象是過定點(diǎn)P(－1，0)、斜率為a的直線，由圖可得不等式f(x)≤a(x＋1)的解集為空集時，a的取值范圍是kAC≤a<kPB，即a∈[－2，1)． 10．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90，求m的最大值． 解　根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3，4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m． 因?yàn)椤螦PB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m．要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離． 因?yàn)閨OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6， 即m的最大值為6． 11．已知a>0，函數(shù)f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)． (1)當(dāng)a＝1時，求所有使f(x)＝x成立的x的值； (2)當(dāng)a∈(0，3)時，求函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[1，2]上的最小值． 解　(1)當(dāng)a＝1時，因?yàn)閤|x－1|＋1＝x， 所以x＝－1或x＝1． (2)f(x)＝ (其示意圖如圖所示) ①當(dāng)0<a≤1時，x≥1≥a，這時，f(x)＝x2－ax＋1，對稱軸是 x＝≤<1， 所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，2]上遞增，f(x)min＝f(1)＝2－a； ②當(dāng)1<a≤2時，當(dāng)x＝a時，函數(shù)f(x)min＝f(a)＝1； ③當(dāng)2<a<3時，x≤2<a，這時，f(x)＝－x2＋ax＋1，對稱軸是x＝∈，f(1)＝a，f(2)＝2a－3． 因?yàn)?2a－3)－a＝a－3<0， 所以函數(shù)f(x)min＝f(2)＝2a－3． 綜上，當(dāng)0<a≤1時，f(x)min＝2－a；當(dāng)1<a≤2時，f(x)min＝1；當(dāng)2<a<3時，f(x)min＝2a－3． 12．設(shè)函數(shù)F(x)＝其中f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝x2－ln x，方程F(x)＝a2有且僅有四個解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　x∈(0，1)時，g′(x)＝x－<0，x∈(1，＋∞)時，g′(x)＝x－>0，所以當(dāng)x＝1時，g(x)取極小值g(1)＝． (1)當(dāng)a＝0時，方程F(x)＝a2不可能有4個解； (2)當(dāng)a<0時，因?yàn)閒′(x)＝3a(x2－1)，若x∈(－∞，0]時，f′(x)＝3a(x2－1)，當(dāng)x∈(－1，0]時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)<0，所以當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖1所示，從圖象可以看出F(x)＝a2不可能有4個解； (3)當(dāng)a>0時，當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(－1，0]時，f′(x)<0，所以當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖2所示，從圖象看出方程F(x)＝a2若有4個解，則<a2<2a，且2a>，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 分類討論思想專練 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－3，2]上的最大值為4，則a等于(　　) A．－3 B．－ C．3 D．或－3 答案　D 解析　當(dāng)a>0時，f(x)在[－3，－1]上單調(diào)遞減，在[－1，2]上單調(diào)遞增，可知當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值，即8a＋1＝4，解得a＝．當(dāng)a<0時，易知f(x)在x＝－1處取得最大值，即－a＋1＝4，所以a＝－3．綜上可知，a＝或－3．故選D． 2．(2018河南洛陽一模)函數(shù)f(x)＝ 若f(1)＋f(a)＝2，則a的所有可能值為(　　) A．1 B．1，－ C．－ D．1， 答案　B 解析　f(1)＝e1－1＝e0＝1，要使f(1)＋f(a)＝2，則需f(a)＝1．當(dāng)a≥0時，由f(a)＝ea－1＝1得a－1＝0，即a＝1；當(dāng)－1<a<0時，由f(a)＝sin(πa2)＝1得πa2＝2kπ＋(k∈Z)，∴a2＝2k＋(k∈Z)，由－1<a<0知k只能取0，此時a2＝，∵－1<a<0，∴a＝－．綜上，a＝1或－．故選B． 3．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有兩個不等實(shí)根，則a的取值范圍是(　　) A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．0， 答案　D 解析　方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有兩個不同實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a有兩個交點(diǎn)． ①當(dāng)0<a<1時，如圖1，∴0<2a<1，即0<a<． ②當(dāng)a>1時，如圖2，而y＝2a>1不符合要求． 綜上0<a<．故選D． 4．(2018邯鄲摸底)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝存在最小值，則f(2a)的取值范圍為(　　) A．[3，＋∞) B．[2，＋∞) C．(1，2] D．(1，3] 答案　A 解析　當(dāng)a＞1時，f(x)的值域?yàn)閇2，＋∞)∪(1＋loga2，＋∞)；當(dāng)0＜a＜1時，f(x)的值域?yàn)閇2，＋∞)∪(－∞，1＋loga2)．由f(x)存在最小值知a＞1且1＋loga2≥2，所以a∈(1，2]，因而f(2a)＝1＋loga(2a)＝1＋loga2＋logaa≥3．故選A． 5．(2018福建質(zhì)檢)已知A，B分別為橢圓C的長軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)．若△ABF為等腰三角形，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，則|BF|2＝|OF|2＋|OB|2＝c2＋b2＝a2，|AB|2＝|OA|2＋|OB|2＝a2＋b2，所以|AB|＞|BF|． ①如圖，點(diǎn)F與A，B同側(cè)時．|AF|＝a－c，|BF|＝a，所以|AF|＜|BF|，所以|AB|＞|BF|＞|AF|，所以△ABF不能構(gòu)成等腰三角形． ②如圖，點(diǎn)F與A，B異側(cè)時．|AB|＝，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，所以|AF|＞|BF|，|AB|＞|BF|．所以|AF|＝|AB|，故(a＋c)2＝a2＋b2，即(a＋c)2＝2a2－c2，整理得2e2＋2e－1＝0，e＝．又0＜e＜1，所以離心率e＝．故選A． 6．在約束條件下，當(dāng)3≤s≤5時，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是(　　) A．[6，15] B．[7，15] C．[6，8] D．[7，8] 答案　D 解析　由?取點(diǎn)A(2，0)，B(4－s，2s－4)，C(0，s)，C′(0，4)． ①當(dāng)3≤s<4時，可行域是四邊形OABC(含邊界)，如圖1所示，此時，7≤zmax<8． ②當(dāng)4≤s≤5時，此時可行域是△OAC′，如圖2所示，zmax＝8．綜上，z＝3x＋2y最大值的變化范圍是[7，8]．故選D． 二、填空題 7．一條直線過點(diǎn)(5，2)，且在x軸，y軸上的截距相等，則這條直線的方程為________________． 答案　x＋y－7＝0或2x－5y＝0 解析　設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當(dāng)a＝0時，直線過原點(diǎn)，此時直線方程為y＝x，即2x－5y＝0；當(dāng)a≠0時，設(shè)直線方程為＋＝1，則求得a＝7，方程為x＋y－7＝0． 8．在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________． 答案　或6 解析　當(dāng)q＝1時，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，顯然成立；當(dāng)q≠1時，由題意，得 所以可得＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－，此時，a1＝＝6．綜上可知，a1＝或6． 9．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則a＋b＝________． 答案?。? 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時，函數(shù)取得極值10，得 聯(lián)立①②得或 當(dāng)a＝4，b＝－11時， f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1兩側(cè)的符號相反，符合題意． 當(dāng)a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側(cè)的符號相同，所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去． 綜上可知a＝4，b＝－11，所以a＋b＝－7． 三、解答題 10．(2018廣東三校聯(lián)考)設(shè)各項(xiàng)不為0的數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝－29，2Sn＝anan＋1． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn的最小值． 解　(1)∵a1＝－29，2Sn＝anan＋1，① ∴2Sn＋1＝an＋1an＋2，② ②－①得2an＋1＝an＋1(an＋2－an)， ∵an≠0，∴an＋2－an＝2， ∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，又a1＝－29， ∴當(dāng)n為奇數(shù)時，an＝a1＋2＝n－30； 在①中，令n＝1，得2S1＝2a1＝a1a2，∴a2＝2， 又?jǐn)?shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列， ∴當(dāng)n為偶數(shù)時，an＝a2＋2＝n； ∴an＝ (2)由(1)可知當(dāng)n為偶數(shù)時，an＝n>0， ∴要使Sn最小，其中n必然是奇數(shù)． ∴當(dāng)n為奇數(shù)時， Sn＝＋ ＝， 且y＝x2－29x－30的圖象的對稱軸為x＝＝14．5， ∵n∈N*，且n是奇數(shù)， ∴當(dāng)n＝15時，Smin＝S15＝＝－120． 11．如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊三角形ADB以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動． (1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，求CD； (2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論． 解　(1)取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE， ∵△ADB是等邊三角形，∴DE⊥AB． 當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時， ∵平面ADB∩平面ABC＝AB， ∴DE⊥平面ABC，可得DE⊥CE． 由已知可得DE＝，EC＝1， 在Rt△DEC中， CD＝＝2． (2)當(dāng)△ADB以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD． 證明：①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時，∵AC＝BC，AD＝BD， ∴C，D都在線段AB的垂直平分線上，則AB⊥CD． ②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時，由①知AB⊥DE． 又∵AC＝BC，∴AB⊥CE． 又DE，CE為相交直線，∴AB⊥平面CDE， 由CD?平面CDE，得AB⊥CD． 綜上所述，總有AB⊥CD． 12．(2018湖南六校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(t，2)到焦點(diǎn)F的距離為，且向量在向量上的投影為正數(shù)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． (1)若M－，0，過點(diǎn)M，P的直線l1與拋物線相交于另一點(diǎn)Q，求的值； (2)若直線l2與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，與圓M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E兩點(diǎn)，OA⊥OB，試問：是否存在實(shí)數(shù)a，使得|DE|的長為定值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)將點(diǎn)P(t，2)代入y2＝2px得t＝， 由點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為及拋物線的定義，得＋＝， 解得p＝1或4． 當(dāng)p＝1時，y2＝2x，F(xiàn)，0，P(2，2)滿足向量在向量上的投影為正數(shù)； 當(dāng)p＝4時，y2＝8x，F(xiàn)(2，0)，P，2，此時向量在向量上的投影為負(fù)數(shù)，舍去． 故拋物線C的方程為y2＝2x，F(xiàn)，0，P(2，2)． ∴直線l1的方程為y＝x＋， 聯(lián)立y2＝2x，可得xQ＝， 又∵|QF|＝xQ＋，|PF|＝xP＋， ∴＝＝． (2)設(shè)直線l2的方程為x＝ty＋m(m≠0)， 代入拋物線方程可得y2－2ty－2m＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝2t，y1y2＝－2m，① 由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝(ty1＋m)(ty2＋m)＋y1y2＝0， 整理得(t2＋1)y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2＝0，② 將①代入②解得m＝2， ∴直線l2：x＝ty＋2， ∵圓心M(a，0)到直線l2的距離為d＝， ∴|DE|＝2， 顯然當(dāng)a＝2時，|DE|＝2，|DE|的長為定值． 13．(2018廣東華師大附中測試二)已知函數(shù)f(x)＝2(a－1)x＋b． (1)討論函數(shù)g(x)＝ex－f(x)在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性； (2)已知函數(shù)h(x)＝ex－xf－1，若h(1)＝0，且函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍． 解　(1)由題意得g(x)＝ex－2(a－1)x－b， 所以g′(x)＝ex－2(a－1)． 當(dāng)a≤時，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上單調(diào)遞增； 當(dāng)a≥＋1時，g′(x)≤0， 所以g(x)在[0，1]上單調(diào)遞減； 當(dāng)<a<＋1時，令g′(x)＝0，得 x＝ln (2a－2)∈(0，1)， 所以函數(shù)g(x)在[0，ln (2a－2)]上單調(diào)遞減， 在(ln (2a－2)，1]上單調(diào)遞增． 綜上所述，當(dāng)a≤時，函數(shù)g(x)在[0，1]上單調(diào)遞增； 當(dāng)<a<＋1時，函數(shù)g(x)在[0，ln (2a－2)]上單調(diào)遞減，在(ln (2a－2)，1]上單調(diào)遞增； 當(dāng)a≥＋1時，函數(shù)g(x)在[0，1]上單調(diào)遞減． (2)h(x)＝ex－xf－1＝ex－(a－1)x2－bx－1， h′(x)＝ex－2(a－1)x－b＝g(x)， 設(shè)x0為h(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個零點(diǎn)， 則由h(0)＝h(x0)＝0， 可知h(x)在區(qū)間(0，x0)上不單調(diào)， 則g(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)存在零點(diǎn)x1， 同理，g(x)在區(qū)間(x0，1)內(nèi)存在零點(diǎn)x2，所以g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)． 由(1)知，當(dāng)a≤時，g(x)在[0，1]上單調(diào)遞增， 故g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，不符合題意； 當(dāng)a≥＋1時，g(x)在[0，1]上單調(diào)遞減， 故g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，不符合題意． 當(dāng)<a<＋1時， g(x)在[0，ln (2a－2)]上單調(diào)遞減， 在(ln (2a－2)，1]上單調(diào)遞增． 因此x1∈(0，ln (2a－2))，x2∈(ln (2a－2)，1)， 必有g(shù)(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a＋2－b>0， 由h(1)＝0，得a＋b＝e，g＝＋1－e<0． 又g(0)＝a－e＋1>0，g(1)＝2－a>0， 解得e－1<a<2， 所以a的取值范圍是(e－1，2)．